{"id":727,"date":"2026-10-04T11:00:34","date_gmt":"2026-10-04T10:00:34","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/wahadlo-proste\/"},"modified":"2026-10-04T11:00:34","modified_gmt":"2026-10-04T10:00:34","slug":"wahadlo-proste","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/wahadlo-proste\/","title":{"rendered":"Kalkulator wahad\u0142a prostego"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Wyznacz okres wahad\u0142a na podstawie jego d\u0142ugo\u015bci<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"727\" data-favorite-title=\"Wahad\u0142o proste\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/wahadlo-proste\/\" data-favorite-excerpt=\"Oblicz okres wahad\u0142a prostego na podstawie jego d\u0142ugo\u015bci i przyspieszenia grawitacyjnego albo znajd\u017a d\u0142ugo\u015b\u0107 potrzebn\u0105 dla zadanego okresu. Wprowad\u017a znan\u0105 warto\u015b\u0107 i otrzymaj okres, cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 oraz liczb\u0119 wahni\u0119\u0107 na minut\u0119.\" aria-label=\"Dodaj do ulubionych\" data-favorite-icon=\"icon icon-physic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/wahadlo-proste\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-727\" data-post=\"727\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Pola danych<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Rozwi\u0105\u017c za pomoc\u0105<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-1\" name=\"rozwi_za_pomoc\"><option value=\"length\" selected>D\u0142ugo\u015b\u0107 wahad\u0142a (L)<\/option><option value=\"period\">Okres drga\u0144 (T)<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><div class=\"field is-single has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">D\u0142ugo\u015b\u0107 wahad\u0142a (L)<\/label><div class=\"term\">L<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"dugo_wahada_l\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 1\" min=\"0\" value=\"1\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"jednostka\" aria-label=\"Jednostka\"><option value=\"m\" selected>m<\/option><option value=\"cm\">cm<\/option><option value=\"ft\">ft<\/option><option value=\"in\">in<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-2\">Odleg\u0142o\u015b\u0107 od punktu zawieszenia do \u015brodka ci\u0119\u017carka.<\/small><\/div><div class=\"field is-single has-term\" id=\"input-3\" hidden><label for=\"field-4\">Okres drga\u0144 (T)<\/label><div class=\"term\">T<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"okres_drga_t\" id=\"field-4\" aria-describedby=\"calc-unit-4 calc-info-4\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 2\" min=\"0\" value=\"2\"\/><div class=\"unit\" id=\"calc-unit-4\">s<\/div><small id=\"calc-info-4\">Czas jednego pe\u0142nego wahni\u0119cia tam i z powrotem.<\/small><\/div><div class=\"field is-single has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-5\">Masa ci\u0119\u017carka (m) \u2014 opcjonalnie<\/label><div class=\"term\">m<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"masa_ciarka_m_opcjonalnie\" id=\"field-5\" aria-describedby=\"calc-info-5\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 0.5\" min=\"0\" value=\"0.5\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-6\" name=\"jednostka\" aria-label=\"Jednostka\"><option value=\"kg\" selected>kg<\/option><option value=\"g\">g<\/option><option value=\"lb\">lb<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-5\">Opcjonalne: masa nie wp\u0142ywa na okres, s\u0142u\u017cy wy\u0142\u0105cznie do podania jej wraz z wynikiem.<\/small><\/div><div class=\"field is-single has-term\" id=\"input-5\"><label for=\"field-7\">Przyspieszenie grawitacyjne (g)<\/label><div class=\"term\">g<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><div class=\"field-group\"><input type=\"text\" name=\"przyspieszenie_grawitacyjne_g\" id=\"field-7\" aria-describedby=\"calc-info-7\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 9.81\" min=\"0\" value=\"9.81\"\/><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-8\" name=\"jednostka\" aria-label=\"Jednostka\"><option value=\"m\/s2\" selected>m\/s\u00b2<\/option><option value=\"ft\/s2\">ft\/s\u00b2<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><small id=\"calc-info-7\">9,81 m\/s\u00b2 na Ziemi, 1,62 m\/s\u00b2 na Ksi\u0119\u017cycu, 3,72 m\/s\u00b2 na Marsie.<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Przelicz ponownie\" id=\"calculate-button\" data-post=\"727\">Oblicz<\/button><button type=\"reset\">Wyczy\u015b\u0107<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Obliczaj automatycznie<\/label><small>Po w\u0142\u0105czeniu wynik aktualizuje si\u0119 automatycznie po zmianie dowolnej warto\u015bci.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Wyniki wahad\u0142a<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Okres, cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 i d\u0142ugo\u015b\u0107 wahad\u0142a<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>U\u017cyte wzory<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Kopiuj wynik\" aria-label=\"Kopiuj wynik\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Kopiuj link do tego obliczenia<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Zostaw komentarz<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"727\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">Jak oceniasz ten wynik?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Lubi\u0119 to <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Pomocne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niejasne <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Rozczarowanie <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Niedok\u0142adne <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wz\u00f3r na wahad\u0142o proste<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">Wz\u00f3r<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L}{g}} \\qquad L = g\\left(\\frac{T}{2\\pi}\\right)^2 \\qquad f = \\frac{1}{T} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Gdzie:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(T\\) \u2014 okres jednego pe\u0142nego wahania (s)<\/li>\n<li>\\(L\\) \u2014 d\u0142ugo\u015b\u0107 wahad\u0142a, od punktu zawieszenia do \u015brodka ci\u0119\u017carka (m)<\/li>\n<li>\\(g\\) \u2014 przyspieszenie grawitacyjne (m\/s\u00b2, na Ziemi 9,81)<\/li>\n<li>\\(f\\) \u2014 cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 w hercach (Hz), czyli liczba wahni\u0119\u0107 na sekund\u0119<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pierwszy wz\u00f3r wyznacza okres na podstawie d\u0142ugo\u015bci; drugi to to samo r\u00f3wnanie przekszta\u0142cone tak, aby wyznaczy\u0107 d\u0142ugo\u015b\u0107 wymagan\u0105 dla po\u017c\u0105danego okresu. Zwr\u00f3\u0107 uwag\u0119, \u017ce masa ci\u0119\u017carka w og\u00f3le si\u0119 w nim nie pojawia \u2014 nie ma \u017cadnego wp\u0142ywu na okres idealnego wahad\u0142a.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Wahad\u0142o proste \u2013 przyk\u0142ad obliczenia<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> wahad\u0142o na nitce o d\u0142ugo\u015bci 1 m waha si\u0119 na Ziemi, gdzie \\(g = 9.81\\ \\text{m\/s}^2\\). Jaki jest jego okres?<\/p>\n<p>\\[ T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L}{g}} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{1}{9.81}} = 2\\pi \\times 0.3193 \\approx 2.006\\ \\text{s} \\]<\/p>\n<p><strong>Wynik:<\/strong> wahad\u0142o wykonuje jedno pe\u0142ne wahanie tam i z powrotem co 2,006 s, co odpowiada cz\u0119stotliwo\u015bci \\(f = 1\/T \\approx 0.4985\\ \\text{Hz}\\), czyli oko\u0142o 29,9 wahni\u0119cia na minut\u0119.<\/p>\n<p>W drug\u0105 stron\u0119: aby zbudowa\u0107 na Ziemi wahad\u0142o o okresie dok\u0142adnie 2 s, potrzebowa\u0142by\u015b d\u0142ugo\u015bci \\(L = 9.81\\,(2\/2\\pi)^2 \\approx 0.994\\ \\text{m}\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Jak korzysta\u0107 z kalkulatora<\/h2>\n<ol>\n<li>W rozwijanej li\u015bcie <strong>Rozwi\u0105\u017c przy u\u017cyciu<\/strong> wybierz <em>D\u0142ugo\u015b\u0107 wahad\u0142a (L)<\/em>, je\u015bli znasz d\u0142ugo\u015b\u0107 i chcesz obliczy\u0107 okres, albo <em>Okres wahania (T)<\/em>, je\u015bli chcesz znale\u017a\u0107 d\u0142ugo\u015b\u0107 potrzebn\u0105 dla zadanego okresu.<\/li>\n<li>Wprowad\u017a znan\u0105 warto\u015b\u0107: <strong>D\u0142ugo\u015b\u0107 wahad\u0142a (L)<\/strong> wraz z jednostk\u0105 (m, cm, ft lub in) albo <strong>Okres wahania (T)<\/strong> w sekundach. Kalkulator automatycznie pokazuje tylko odpowiednie pole.<\/li>\n<li>Opcjonalnie wprowad\u017a <strong>Mas\u0119 ci\u0119\u017carka (m)<\/strong> w kg, g lub lb. Masa nie zmienia okresu; jest jedynie wy\u015bwietlana w wynikach, aby\u015b mia\u0142 pe\u0142ny zapis swojego wahad\u0142a.<\/li>\n<li>Sprawd\u017a <strong>Grawitacj\u0119 (g)<\/strong>. Domy\u015blna warto\u015b\u0107 9,81 m\/s\u00b2 jest standardowa dla Ziemi; wpisz 1,62 dla Ksi\u0119\u017cyca lub 3,72 dla Marsa, aby zobaczy\u0107, jak to samo wahad\u0142o zachowuje si\u0119 gdzie indziej. Mo\u017cesz te\u017c prze\u0142\u0105czy\u0107 jednostk\u0119 na ft\/s\u00b2.<\/li>\n<li>Odczytaj wyniki: okres w sekundach, cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 w Hz, cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 k\u0105towa \\(\\omega\\), liczba wahni\u0119\u0107 na minut\u0119 oraz d\u0142ugo\u015b\u0107 przeliczona na m, cm, ft i in.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Czym jest wahad\u0142o proste?<\/h2>\n<p>Wahad\u0142o proste to uk\u0142ad idealny: punkt materialny (ci\u0119\u017carek) zawieszony na niewa\u017ckiej, nierozci\u0105gliwej nitce przymocowanej do sta\u0142ego punktu zawieszenia. Gdy ci\u0119\u017carek odchylimy i pu\u015bcimy, waha si\u0119 on tam i z powrotem pod wp\u0142ywem grawitacji. Ka\u017cdy pe\u0142ny cykl \u2014 wychylenie na jedn\u0105 stron\u0119, powr\u00f3t przez \u015brodek, wychylenie na drug\u0105 stron\u0119 i z powrotem \u2014 to jedno wahanie, a jego czas trwania to okres \\(T\\).<\/p>\n<p>Kluczowa obserwacja dotycz\u0105ca wzoru wahad\u0142a odnosi si\u0119 do tego, czego w nim <em>nie ma<\/em>. Nie wyst\u0119puje w nim masa ani amplituda. Ci\u0119\u017carek o masie 10 g i ci\u0119\u017carek o masie 10 kg na nitce o d\u0142ugo\u015bci 1 m wahaj\u0105 si\u0119 dok\u0142adnie z tym samym okresem, a ma\u0142e wychylenie i nieco wi\u0119ksze wychylenie trwaj\u0105 tyle samo czasu. W\u0142a\u015bnie dlatego wahad\u0142a przez wieki stanowi\u0142y serce chodu zegar\u00f3w mechanicznych: ich tykanie jest niezwykle stabilne, nawet gdy spr\u0119\u017cyna si\u0119 rozkr\u0119ca, a amplituda stopniowo maleje.<\/p>\n<p>Okres ro\u015bnie wraz z pierwiastkiem kwadratowym d\u0142ugo\u015bci, wi\u0119c czterokrotne wyd\u0142u\u017cenie wahad\u0142a tylko podwaja okres. Maleje on r\u00f3wnie\u017c przy silniejszej grawitacji \u2014 to samo wahad\u0142o o d\u0142ugo\u015bci 1 m, kt\u00f3re na Ziemi waha si\u0119 z okresem oko\u0142o 2 s, mia\u0142oby pe\u0142ny okres 4,94 s dopiero przy znacznie s\u0142abszej grawitacji: na Ksi\u0119\u017cycu jego okres wyd\u0142u\u017ca si\u0119 do oko\u0142o 4,93 s, poniewa\u017c \\(g\\) wynosi tam zaledwie 1,62 m\/s\u00b2. Je\u015bli chcesz zbada\u0107 stron\u0119 energetyczn\u0105 tego ruchu \u2014 jak energia potencjalna w najwy\u017cszym punkcie wychylenia zamienia si\u0119 w energi\u0119 kinetyczn\u0105 w najni\u017cszym punkcie \u2014 wypr\u00f3buj kalkulatory <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/kalkulator-zachowania-energii\/\">zasady zachowania energii<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/energia-kinetyczna\/\">energii kinetycznej<\/a>.<\/p>\n<h2>Za\u0142o\u017cenia i ograniczenia<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Wy\u0142\u0105cznie ma\u0142e amplitudy.<\/strong> Wz\u00f3r zak\u0142ada, \u017ce k\u0105t wychylenia pozostaje poni\u017cej oko\u0142o 15\u00b0 od pionu. Przy 15\u00b0 prawdziwy okres jest ju\u017c o oko\u0142o 0,5% d\u0142u\u017cszy ni\u017c przewiduje wz\u00f3r; przy 60\u00b0 b\u0142\u0105d przekracza 18%. Jako praktyczn\u0105 regu\u0142\u0119 przyjmij: utrzymuj ma\u0142e amplitudy, aby uzyska\u0107 dok\u0142adno\u015b\u0107 na poziomie zegarowym.<\/li>\n<li><strong>Idealna nitka i zawieszenie.<\/strong> Nitka jest traktowana jako bezmasowa i doskonale gi\u0119tka, a zawieszenie jako pozbawione tarcia. W rzeczywisto\u015bci ci\u0119\u017cka nitka, sztywny pr\u0119t lub tarcie w zawieszeniu lekko zmieniaj\u0105 okres.<\/li>\n<li><strong>Brak oporu powietrza i t\u0142umienia.<\/strong> Prawdziwe wahad\u0142a trac\u0105 troch\u0119 energii przy ka\u017cdym wahaniu, co przede wszystkim zmniejsza amplitud\u0119 w czasie; okres pocz\u0105tkowo zmienia si\u0119 bardzo nieznacznie.<\/li>\n<li><strong>Ci\u0119\u017carek jako punkt materialny.<\/strong> \\(L\\) mierzy si\u0119 do \u015brodka masy ci\u0119\u017carka, a nie do jego g\u00f3rnej ani dolnej kraw\u0119dzi.<\/li>\n<li><strong>Jednorodna grawitacja.<\/strong> \\(g\\) traktuje si\u0119 jako sta\u0142\u0105 w ca\u0142ym zakresie ruchu wahad\u0142a. Na Ziemi \\(g\\) nieznacznie r\u00f3\u017cni si\u0119 w zale\u017cno\u015bci od szeroko\u015bci geograficznej i wysoko\u015bci nad poziomem morza (od oko\u0142o 9,78 do 9,83 m\/s\u00b2), co zmienia okres d\u0142ugiego wahad\u0142a w mierzalnym stopniu.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Typowe okresy wahad\u0142a na Ziemi (g = 9,81 m\/s\u00b2)<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>D\u0142ugo\u015b\u0107 L<\/th>\n<th>Okres T<\/th>\n<th>Wahni\u0119cia na minut\u0119<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>0,25 m<\/td>\n<td>1,00 s<\/td>\n<td>59,7<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,5 m<\/td>\n<td>1,42 s<\/td>\n<td>42,3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1 m<\/td>\n<td>2,01 s<\/td>\n<td>29,9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1,5 m<\/td>\n<td>2,46 s<\/td>\n<td>24,4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>2 m<\/td>\n<td>2,84 s<\/td>\n<td>21,2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4 m<\/td>\n<td>4,01 s<\/td>\n<td>14,9<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h2>Praktyczne wskaz\u00f3wki<\/h2>\n<p>Aby uzyska\u0107 tykanie zegara wahad\u0142owego dok\u0142adnie co 1 s na p\u00f3\u0142 wahania (klasyczne \u201ewahad\u0142o sekundowe\u201d), celuj w pe\u0142ny okres 2 s, co na Ziemi wymaga d\u0142ugo\u015bci oko\u0142o 0,994 m. Poniewa\u017c okres skaluje si\u0119 z \\(\\sqrt{L}\\), drobne regulacje d\u0142ugo\u015bci daj\u0105 jeszcze precyzyjniejsz\u0105 kontrol\u0119 czasu: skr\u00f3cenie nitki o 1% skraca okres zaledwie o 0,5%.<\/p>\n<p>Wahad\u0142o to tak\u017ce klasyczne narz\u0119dzie do pomiaru lokalnego przyspieszenia grawitacyjnego. Zmierz stoperem czas 20 lub wi\u0119cej pe\u0142nych wahni\u0119\u0107, podziel, aby uzyska\u0107 \\(T\\), dok\u0142adnie zmierz \\(L\\) do \u015brodka ci\u0119\u017carka i przekszta\u0142\u0107 wz\u00f3r do postaci \\(g = 4\\pi^2 L \/ T^2\\). Pomiar wielu wahni\u0119\u0107 zamiast jednego rozk\u0142ada b\u0142\u0105d czasu reakcji na ca\u0142y zbi\u00f3r i czyni wynik znacznie dok\u0142adniejszym. W przypadku pokrewnych zada\u0144 z mechaniki zobacz kalkulatory <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/kalkulator-maszyny-atwooda\/\">maszyny Atwooda<\/a> i <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/fizyka\/kalkulator-naciagu-lin\/\">napi\u0119cia w linach<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Oblicz okres wahad\u0142a prostego na podstawie jego d\u0142ugo\u015bci i przyspieszenia grawitacyjnego albo znajd\u017a d\u0142ugo\u015b\u0107 potrzebn\u0105 dla zadanego okresu. Wprowad\u017a znan\u0105 warto\u015b\u0107 i otrzymaj okres, cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 oraz liczb\u0119 wahni\u0119\u0107 na minut\u0119.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[10],"tags":[54],"class_list":["post-727","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-fizyka","tag-mechanika"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/727","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=727"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/727\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2439,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/727\/revisions\/2439"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=727"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=727"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=727"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}