{"id":131,"date":"2026-10-03T13:44:08","date_gmt":"2026-10-03T12:44:08","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/coeficiente-binomial\/"},"modified":"2026-10-03T13:44:08","modified_gmt":"2026-10-03T12:44:08","slug":"coeficiente-binomial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/coeficiente-binomial\/","title":{"rendered":"Calculadora de Coeficiente Binomial"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calcule Combina\u00e7\u00f5es \u201dn Escolhe k\u201d<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"131\" data-favorite-title=\"Coeficiente Binomial\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/coeficiente-binomial\/\" data-favorite-excerpt=\"Calcule o coeficiente binomial C(n, k) \u2014 o n\u00famero de maneiras de escolher k elementos entre n, sem considerar a ordem. Introduza n e k e obtenha um resultado instant\u00e2neo com a f\u00f3rmula e um exemplo resolvido.\" aria-label=\"Adicionar aos favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/coeficiente-binomial\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-131\" data-post=\"131\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">n (total de itens)<\/label><div class=\"term\">n<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"n_total_de_itens\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"5\"\/><small id=\"calc-info-1\">Insira o n\u00famero total de itens (n)<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">k (itens escolhidos)<\/label><div class=\"term\">k<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"k_itens_escolhidos\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" min=\"0\" value=\"2\"\/><small id=\"calc-info-2\">Insira o n\u00famero de itens a escolher (k)<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"131\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Redefinir<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular automaticamente<\/label><small>Se ativado, o resultado \u00e9 atualizado automaticamente quando voc\u00ea altera qualquer valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Seus resultados<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Coeficiente Binomial<\/span><span class=\"result-term\">C(n, k)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copiar link para este c\u00e1lculo<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Deixar um coment\u00e1rio<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"131\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">O que voc\u00ea achou deste resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Curti <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Decepcionado <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Impreciso <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula do Coeficiente Binomial<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Onde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(n\\) \u2014 n\u00famero total de elementos (um inteiro n\u00e3o negativo)<\/li>\n<li>\\(k\\) \u2014 n\u00famero de elementos a escolher (\\(0 \\le k \\le n\\))<\/li>\n<li>\\(n!\\) \u2014 fatorial de \\(n\\), o produto \\(1 \\times 2 \\times \\dots \\times n\\), com \\(0! = 1\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>A f\u00f3rmula conta quantos subconjuntos distintos de tamanho \\(k\\) podem ser formados a partir de \\(n\\) elementos quando a ordem n\u00e3o importa. \u00c9 o mesmo coeficiente que aparece no Tri\u00e2ngulo de Pascal e na expans\u00e3o de \\((a+b)^n\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Coeficiente Binomial \u2013 Exemplo de C\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemplo:<\/strong> deve ser escolhida uma comiss\u00e3o de 2 pessoas de um grupo de 5. Quantas comiss\u00f5es diferentes s\u00e3o poss\u00edveis? Aqui \\(n = 5\\) e \\(k = 2\\).<\/p>\n<p>\\[ \\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2!\\,(5-2)!} = \\frac{120}{2 \\times 6} = \\frac{120}{12} = 10 \\]<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> \\(\\binom{5}{2} = 10\\) \u2014 existem 10 maneiras de escolher 2 pessoas entre 5.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Como Utilizar a Calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>Introduza o n\u00famero total de elementos no campo <strong>n (total de elementos)<\/strong>.<\/li>\n<li>Introduza o n\u00famero de elementos a escolher no campo <strong>k (elementos escolhidos)<\/strong>. O valor de \\(k\\) n\u00e3o pode exceder \\(n\\).<\/li>\n<li>Leia o resultado em <strong>Coeficiente Binomial<\/strong> \u2014 este \u00e9 \\(\\binom{n}{k}\\), o n\u00famero de sele\u00e7\u00f5es poss\u00edveis.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>O Que \u00c9 o Coeficiente Binomial?<\/h2>\n<p>O coeficiente binomial \\(\\binom{n}{k}\\), lido como \"n escolhe k\", responde a uma quest\u00e3o fundamental de contagem: de quantas maneiras \u00e9 poss\u00edvel escolher \\(k\\) objetos de um conjunto de \\(n\\) objetos quando a ordem dos objetos escolhidos n\u00e3o importa? Se voc\u00ea tem 5 livros e quer levar 2 numa viagem, n\u00e3o importa qual voc\u00ea pega primeiro \u2014 o que importa \u00e9 qual par acaba na sua mala. \u00c9 por isso que os coeficientes binomiais contam <em>combina\u00e7\u00f5es<\/em>, em oposi\u00e7\u00e3o \u00e0s <em>permuta\u00e7\u00f5es<\/em>, em que a ordem importa e a contagem seria maior.<\/p>\n<p>O nome vem do teorema binomial: os coeficientes da expans\u00e3o de \\((a+b)^n\\) s\u00e3o exatamente \\(\\binom{n}{0}, \\binom{n}{1}, \\dots, \\binom{n}{n}\\). Por exemplo, \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), onde o coeficiente 2 \u00e9 igual a \\(\\binom{2}{1}\\). Se voc\u00ea quer expandir produtos de express\u00f5es com dois termos, a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/multiplicar-binomios-2\/\">calculadora de Multiplica\u00e7\u00e3o de Bin\u00f4mios<\/a> e a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/metodo-foil\/\">calculadora do m\u00e9todo FOIL<\/a> tratam diretamente esse passo.<\/p>\n<p>Os coeficientes binomiais tamb\u00e9m s\u00e3o os blocos fundamentais da probabilidade. Se uma experi\u00eancia tem \\(n\\) ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso \\(p\\), a chance de exatamente \\(k\\) sucessos \u00e9 \\(\\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\). O coeficiente conta quais dos \\(n\\) ensaios s\u00e3o os bem-sucedidos, e \u00e9 por isso que aparece sempre que os resultados s\u00e3o contados em grupos.<\/p>\n<p>Cada linha do Tri\u00e2ngulo de Pascal lista os coeficientes para um valor de \\(n\\): a linha 5 \u00e9 1, 5, 10, 10, 5, 1, que cont\u00e9m \\(\\binom{5}{2} = 10\\). O tri\u00e2ngulo torna f\u00e1cil ver a simetria \\(\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}\\) e a regra de Pascal, \\(\\binom{n}{k} = \\binom{n-1}{k-1} + \\binom{n-1}{k}\\). O mesmo tri\u00e2ngulo tamb\u00e9m se conecta \u00e0 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/sequencia-de-fibonacci\/\">sequ\u00eancia de Fibonacci<\/a>, j\u00e1 que as somas das suas diagonais rasas produzem os n\u00fameros de Fibonacci.<\/p>\n<h2>Interpretando o Resultado<\/h2>\n<p>O resultado \u00e9 sempre um n\u00famero inteiro, porque n\u00e3o pode existir uma fra\u00e7\u00e3o de uma sele\u00e7\u00e3o. Dois casos especiais vale a pena memorizar: \\(\\binom{n}{0} = 1\\) (existe exatamente uma maneira de n\u00e3o escolher nada) e \\(\\binom{n}{n} = 1\\) (uma maneira de escolher tudo). Se \\(k &gt; n\\), a sele\u00e7\u00e3o \u00e9 imposs\u00edvel e a calculadora mostra um erro em vez de um n\u00famero.<\/p>\n<p>Identidades \u00fateis para verificar os seus c\u00e1lculos: \\(\\binom{n}{1} = n\\), \\(\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\), e pela simetria \\(\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}\\), portanto \\(\\binom{5}{3} = \\binom{5}{2} = 10\\).<\/p>\n<h2>Pressupostos e Limita\u00e7\u00f5es<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Apenas inteiros.<\/strong> Tanto \\(n\\) quanto \\(k\\) devem ser inteiros n\u00e3o negativos. O significado combinat\u00f3rio de \"escolher elementos\" n\u00e3o se estende a entradas fracion\u00e1rias.<\/li>\n<li><strong>\\(k \\le n\\).<\/strong> Se o n\u00famero de elementos a escolher excede o n\u00famero dispon\u00edvel, a calculadora reporta um erro; matematicamente, \\(\\binom{n}{k} = 0\\) para \\(k &gt; n\\).<\/li>\n<li><strong>A ordem \u00e9 ignorada.<\/strong> Esta calculadora conta sele\u00e7\u00f5es sem ordem. Se a ordem dos elementos escolhidos importa, voc\u00ea precisa de permuta\u00e7\u00f5es, \\(P(n,k) = \\frac{n!}{(n-k)!}\\), que \u00e9 sempre maior ou igual a \\(\\binom{n}{k}\\).<\/li>\n<li><strong>Sem repeti\u00e7\u00e3o.<\/strong> Cada um dos \\(n\\) elementos pode ser escolhido no m\u00e1ximo uma vez. Sele\u00e7\u00f5es com repeti\u00e7\u00e3o permitida usam uma f\u00f3rmula diferente, \\(\\binom{n+k-1}{k}\\).<\/li>\n<li><strong>Limites de tamanho.<\/strong> Os fatoriais crescem extremamente r\u00e1pido; \\(70!\\) j\u00e1 excede \\(10^{100}\\). Para \\(n\\) muito grande, os resultados podem ser limitados pela precis\u00e3o num\u00e9rica, embora o valor matem\u00e1tico seja exato.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Tabela de Valores Comuns<\/h2>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\\(n\\)<\/th>\n<th>\\(k\\)<\/th>\n<th>\\(\\binom{n}{k}\\)<\/th>\n<th>Interpreta\u00e7\u00e3o<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>Pares de 4 elementos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>Pares de 5 elementos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>6<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>Trios de 6 elementos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>10<\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>252<\/td>\n<td>Escolher metade de 10 elementos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>52<\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>2 598 960<\/td>\n<td>M\u00e3os de p\u00f4quer de 5 cartas<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>A \u00faltima linha mostra por que os coeficientes binomiais s\u00e3o a ferramenta padr\u00e3o para problemas de cartas: o n\u00famero de m\u00e3os distintas de 5 cartas de um baralho de 52 cartas \u00e9 exatamente \\(\\binom{52}{5}\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Calcule o coeficiente binomial C(n, k) \u2014 o n\u00famero de maneiras de escolher k elementos entre n, sem considerar a ordem. Introduza n e k e obtenha um resultado instant\u00e2neo com a f\u00f3rmula e um exemplo resolvido.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[16],"class_list":["post-131","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/131","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=131"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/131\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2265,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/131\/revisions\/2265"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=131"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=131"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=131"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}