{"id":2174,"date":"2026-10-15T00:43:13","date_gmt":"2026-10-14T23:43:13","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/divisao-de-polinomios\/"},"modified":"2026-10-15T00:43:13","modified_gmt":"2026-10-14T23:43:13","slug":"divisao-de-polinomios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/divisao-de-polinomios\/","title":{"rendered":"Calculadora de divis\u00e3o de polin\u00f4mios pelo m\u00e9todo da chave"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Divida um polin\u00f4mio por outro<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"2174\" data-favorite-title=\"Divis\u00e3o de polin\u00f4mios\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/divisao-de-polinomios\/\" data-favorite-excerpt=\"Divida um polin\u00f4mio por outro passo a passo. Digite os coeficientes do dividendo e do divisor (come\u00e7ando pelo maior grau, incluindo os zeros) e obtenha o quociente, o resto e todas as etapas da divis\u00e3o.\" aria-label=\"Adicionar aos favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/divisao-de-polinomios\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-2174\" data-post=\"2174\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Coeficientes do dividendo (do maior grau para o menor)<\/label><textarea id=\"field-1\" name=\"coeficientes_do_dividendo_do_maior_grau_para_o_menor\">1; 0; -7; 6<\/textarea><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Coeficientes do divisor (do maior grau para o menor)<\/label><textarea id=\"field-2\" name=\"coeficientes_do_divisor_do_maior_grau_para_o_menor\">1; -2<\/textarea><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Vari\u00e1vel<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-3\" name=\"varivel\"><option value=\"x\" selected>x<\/option><option value=\"t\">t<\/option><option value=\"n\">n<\/option><option value=\"y\">y<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"2174\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Redefinir<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular automaticamente<\/label><small>Se ativado, o resultado \u00e9 atualizado automaticamente quando voc\u00ea altera qualquer valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Resultados da divis\u00e3o<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>Quociente<\/span><span class=\"result-term\">Q(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Resto<\/span><span class=\"result-term\">R(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>Etapas da divis\u00e3o<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>Verifica\u00e7\u00e3o: D(x) \u00b7 Q(x) + R(x)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 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resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Curti <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Decepcionado <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Impreciso <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula da divis\u00e3o de polin\u00f4mios<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\nP(x) = D(x) \\cdot Q(x) + R(x)\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Onde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(P(x)\\) \u2014 o dividendo, o polin\u00f4mio que est\u00e1 sendo dividido<\/li>\n<li>\\(D(x)\\) \u2014 o divisor, que n\u00e3o pode ser o polin\u00f4mio nulo<\/li>\n<li>\\(Q(x)\\) \u2014 o quociente<\/li>\n<li>\\(R(x)\\) \u2014 o resto, com \\(\\deg R &lt; \\deg D\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>A divis\u00e3o pela chave encontra o \u00fanico par quociente\u2013resto que satisfaz essa identidade, do mesmo jeito que a divis\u00e3o de inteiros d\u00e1 \\(a = b \\cdot q + r\\) com \\(0 \\le r &lt; b\\). Se \\(R(x) = 0\\), o divisor divide o dividendo exatamente e as ra\u00edzes de \\(D(x)\\) tamb\u00e9m s\u00e3o ra\u00edzes de \\(P(x)\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Divis\u00e3o de polin\u00f4mios \u2013 Exemplo de c\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemplo:<\/strong> dividir \\(P(x) = x^3 - 7x + 6\\) por \\(D(x) = x - 2\\).<\/p>\n<p>O termo \\(x^2\\) que falta \u00e9 escrito como \\(0x^2\\); portanto os coeficientes do dividendo s\u00e3o 1; 0; \u22127; 6 e os do divisor s\u00e3o 1; \u22122. Passo a passo:<\/p>\n<p>\\[x^3 \\div x = x^2, \\quad (x-2)\\,x^2 = x^3 - 2x^2, \\quad (x^3 - 7x + 6) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - 7x + 6\\]<\/p>\n<p>\\[2x^2 \\div x = 2x, \\quad (x-2)\\,2x = 2x^2 - 4x, \\quad (2x^2 - 7x + 6) - (2x^2 - 4x) = -3x + 6\\]<\/p>\n<p>\\[-3x \\div x = -3, \\quad (x-2)(-3) = -3x + 6, \\quad (-3x + 6) - (-3x + 6) = 0\\]<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> \\(Q(x) = x^2 + 2x - 3\\) e \\(R(x) = 0\\). A verifica\u00e7\u00e3o \\((x-2)(x^2+2x-3) = x^3 - 7x + 6\\) confirma que a divis\u00e3o \u00e9 exata, logo \\(x = 2\\) \u00e9 raiz de \\(P(x)\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Como usar a calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>Digite os <strong>Coeficientes do dividendo (maior grau primeiro)<\/strong> no primeiro campo. Inclua um 0 para cada grau ausente: \\(x^3 - 7x + 6\\) vira <code>1; 0; -7; 6<\/code>.<\/li>\n<li>Digite os <strong>Coeficientes do divisor (maior grau primeiro)<\/strong> no segundo campo. Para \\(x - 2\\), informe <code>1; -2<\/code>; o coeficiente do termo de maior grau n\u00e3o pode ser zero.<\/li>\n<li>Separe os n\u00fameros com espa\u00e7os, v\u00edrgulas ou ponto e v\u00edrgula \u2014 a calculadora aceita os tr\u00eas formatos.<\/li>\n<li>Escolha a <strong>Vari\u00e1vel<\/strong> (x, t, n ou y) usada para exibir os polin\u00f4mios.<\/li>\n<li>Leia os resultados: o <strong>Quociente<\/strong>, o <strong>Resto<\/strong>, o detalhamento linha por linha das <strong>Etapas da divis\u00e3o<\/strong> e a verifica\u00e7\u00e3o <strong>D(x) \u00b7 Q(x) + R(x)<\/strong>, que deve reproduzir o dividendo.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>O que \u00e9 a divis\u00e3o de polin\u00f4mios pela chave?<\/h2>\n<p>A divis\u00e3o de polin\u00f4mios pela chave \u00e9 o an\u00e1logo alg\u00e9brico da divis\u00e3o num\u00e9rica comum. Dado um dividendo \\(P(x)\\) e um divisor \\(D(x)\\), ela produz um quociente \\(Q(x)\\) e um resto \\(R(x)\\) tais que \\(P(x) = D(x)\\,Q(x) + R(x)\\), com o resto de grau estritamente menor que o do divisor. Esse par quociente\u2013resto \u00e9 \u00fanico, e \u00e9 por isso que a verifica\u00e7\u00e3o \\(D(x)\\,Q(x) + R(x)\\) sempre reconstr\u00f3i o dividendo original.<\/p>\n<p>O algoritmo repete um ciclo simples: divide-se o termo de maior grau atual pelo termo de maior grau do divisor, multiplica-se o divisor inteiro por esse resultado e subtrai-se. Cada ciclo cancela a maior pot\u00eancia restante do dividendo, reduzindo o resto parcial um grau de cada vez, at\u00e9 que seu grau fique abaixo do grau do divisor. Nesse momento a divis\u00e3o para, e o que sobrar \u00e9 o resto.<\/p>\n<p>A interpreta\u00e7\u00e3o do resultado depende do resto. Um resto zero significa que \\(D(x)\\) \u00e9 um fator de \\(P(x)\\) \u2014 essa \u00e9 a base dos <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/regra-dos-sinais-de-descartes\/\">testes de fator e de raiz<\/a> e do dispositivo de Briot-Ruffini. Um resto diferente de zero tamb\u00e9m traz informa\u00e7\u00e3o: pelo Teorema do Resto, dividir por \\(x - c\\) deixa exatamente \\(P(c)\\), ou seja, o resto \u00e9 o valor do polin\u00f4mio em \\(c\\).<\/p>\n<p>A divis\u00e3o de polin\u00f4mios aparece sempre que \u00e9 preciso simplificar polin\u00f4mios: na decomposi\u00e7\u00e3o em fra\u00e7\u00f5es parciais no c\u00e1lculo de integrais, na determina\u00e7\u00e3o de ass\u00edntotas de fun\u00e7\u00f5es racionais e na redu\u00e7\u00e3o de um polin\u00f4mio m\u00f3dulo outro. Tamb\u00e9m \u00e9 uma forma pr\u00e1tica de fatorar polin\u00f4mios de grau mais alto quando uma raiz j\u00e1 \u00e9 conhecida ou estimada.<\/p>\n<h2>Dicas, premissas e limita\u00e7\u00f5es<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Sempre complete com zeros.<\/strong> \\(x^3 - 7x + 6\\) deve ser digitado como <code>1; 0; -7; 6<\/code>, e n\u00e3o <code>1; -7; 6<\/code>. Os zeros ausentes deslocam todos os coeficientes para a pot\u00eancia errada e geram um resultado errado.<\/li>\n<li><strong>O divisor n\u00e3o pode ser nulo.<\/strong> O coeficiente de maior grau n\u00e3o pode ser zero; a calculadora remove automaticamente os zeros \u00e0 esquerda, mas um divisor formado s\u00f3 por zeros \u00e9 rejeitado.<\/li>\n<li><strong>Divisor de grau maior devolve o dividendo.<\/strong> Se \\(\\deg D &gt; \\deg P\\), o quociente \u00e9 0 e o resto \u00e9 igual ao dividendo \u2014 esse \u00e9 o resultado correto, n\u00e3o um erro.<\/li>\n<li><strong>Os coeficientes podem ser quaisquer n\u00fameros reais<\/strong>, incluindo fra\u00e7\u00f5es e decimais (por exemplo, <code>0.5; -3; 2<\/code>). Os resultados s\u00e3o arredondados para 4 casas decimais na exibi\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o decimais muito longos podem parecer ligeiramente encurtados.<\/li>\n<li><strong>Dividir por um mon\u00f4mio<\/strong> como \\(x^2\\) tamb\u00e9m funciona \u2014 digite <code>1; 0<\/code> como divisor; cada termo do dividendo tem o grau simplesmente reduzido.<\/li>\n<li>Para conferir a multiplica\u00e7\u00e3o da linha de verifica\u00e7\u00e3o \u00e0 m\u00e3o, as calculadoras de <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/multiplicar-binomios-2\/\">multiplica\u00e7\u00e3o de bin\u00f4mios<\/a> e do <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/metodo-foil\/\">m\u00e9todo FOIL<\/a> cobrem os casos mais comuns, e a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/calculadora-de-divisao\/\">calculadora de divis\u00e3o b\u00e1sica<\/a> cuida da divis\u00e3o puramente num\u00e9rica.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Divida um polin\u00f4mio por outro passo a passo. Digite os coeficientes do dividendo e do divisor (come\u00e7ando pelo maior grau, incluindo os zeros) e obtenha o quociente, o resto e todas as etapas da divis\u00e3o.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[16],"class_list":["post-2174","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica","tag-algebra"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2174","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2174"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2174\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2757,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2174\/revisions\/2757"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2174"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2174"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2174"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}