{"id":274,"date":"2026-10-03T18:38:57","date_gmt":"2026-10-03T17:38:57","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/regra-dos-sinais-de-descartes\/"},"modified":"2026-10-03T18:38:57","modified_gmt":"2026-10-03T17:38:57","slug":"regra-dos-sinais-de-descartes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/regra-dos-sinais-de-descartes\/","title":{"rendered":"Calculadora da Regra dos Sinais de Descartes"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Analise as Ra\u00edzes Reais Positivas e Negativas de Polin\u00f4mios<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"274\" data-favorite-title=\"Regra dos Sinais de Descartes\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/regra-dos-sinais-de-descartes\/\" data-favorite-excerpt=\"Estime o n\u00famero de ra\u00edzes positivas, negativas e n\u00e3o reais de um polin\u00f4mio usando a Regra dos Sinais de Descartes. Insira os coeficientes em ordem decrescente de pot\u00eancias para ver todas as contagens poss\u00edveis de ra\u00edzes.\" aria-label=\"Adicionar aos favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-algebra\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/regra-dos-sinais-de-descartes\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-274\" data-post=\"274\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"field is-single\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Coeficientes do polin\u00f3mio<\/label><input type=\"text\" name=\"coeficientes_do_polinmio\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" step=\"any\" value=\"1 -6 11 -6\"\/><small id=\"calc-info-1\">Introduza os coeficientes do polin\u00f3mio por ordem decrescente das pot\u00eancias, separados por espa\u00e7os. Por exemplo: &quot;1 -6 11 -6&quot; representa x\u00b3 - 6x\u00b2 + 11x - 6<\/small><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"274\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Redefinir<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular automaticamente<\/label><small>Se ativado, o resultado \u00e9 atualizado automaticamente quando voc\u00ea altera qualquer valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Seus resultados<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>O seu polin\u00f3mio<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>Multiplicidade do zero como raiz<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>N\u00famero de ra\u00edzes positivas<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>N\u00famero de ra\u00edzes negativas<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>N\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edzes n\u00e3o reais<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copiar link para este c\u00e1lculo<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Deixar um coment\u00e1rio<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"274\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">O que voc\u00ea achou deste resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Curti <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Decepcionado <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Impreciso <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula da Regra dos Sinais de Descartes<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[\nP(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\dots + a_1x + a_0 \\\\[1em]\nV(x) = \\text{n\u00famero de trocas de sinal nos coeficientes de } P(x) \\\\[1em]\nN_{\\text{pos}} \\le V(x), \\quad N_{\\text{pos}} \\equiv V(x) \\pmod{2} \\\\[1em]\nN_{\\text{neg}} \\le V(-x), \\quad N_{\\text{neg}} \\equiv V(-x) \\pmod{2}\n\\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Onde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(P(x)\\) \u2014 o polin\u00f4mio, com os coeficientes escritos em ordem decrescente de pot\u00eancias<\/li>\n<li>\\(V(x)\\) \u2014 o n\u00famero de trocas de sinal entre coeficientes consecutivos n\u00e3o nulos de \\(P(x)\\)<\/li>\n<li>\\(V(-x)\\) \u2014 o n\u00famero de trocas de sinal em \\(P(-x)\\), ou seja, o polin\u00f4mio com os sinais de todos os coeficientes de pot\u00eancia \u00edmpar invertidos<\/li>\n<li>\\(N_{\\text{pos}}\\), \\(N_{\\text{neg}}\\) \u2014 o n\u00famero de ra\u00edzes reais positivas e negativas, contadas com multiplicidade<\/li>\n<\/ul>\n<p>A regra afirma que o n\u00famero de ra\u00edzes reais positivas \u00e9 igual ao n\u00famero de trocas de sinal em \\(P(x)\\) ou \u00e9 inferior a ele por um n\u00famero par. O mesmo vale para as ra\u00edzes negativas ap\u00f3s substituir \\(-x\\) por \\(x\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>Regra dos Sinais de Descartes \u2013 Exemplo de C\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemplo:<\/strong> tome o polin\u00f4mio \\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\\), inserido como os coeficientes <code>1 -6 11 -6<\/code>.<\/p>\n<p><strong>Passo 1 \u2014 ra\u00edzes positivas.<\/strong> Os sinais dos coeficientes de \\(f(x)\\) s\u00e3o:<\/p>\n<p>\\[ +,\\ -,\\ +,\\ - \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ trocas de sinal} \\]<\/p>\n<p>Portanto, h\u00e1 exatamente 3 ou exatamente 1 ra\u00edzes reais positivas.<\/p>\n<p><strong>Passo 2 \u2014 ra\u00edzes negativas.<\/strong> Substitua \\(-x\\):<\/p>\n<p>\\[ f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6 \\]<\/p>\n<p>Os sinais s\u00e3o \\(-, -, -, -\\), resultando em 0 trocas de sinal, logo n\u00e3o h\u00e1 ra\u00edzes reais negativas.<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> 3 ou 1 ra\u00edzes positivas, 0 ra\u00edzes negativas e pelo menos \\(3 - 3 = 0\\) ra\u00edzes n\u00e3o reais. De fato, \\(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\\), ent\u00e3o todas as tr\u00eas ra\u00edzes (1, 2, 3) s\u00e3o positivas.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Como usar a calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>No campo <strong>Coeficientes do Polin\u00f4mio<\/strong>, digite os coeficientes do seu polin\u00f4mio em ordem decrescente de pot\u00eancias, separados por espa\u00e7os. Por exemplo, <code>1 -6 11 -6<\/code> representa \\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\\).<\/li>\n<li>Inclua os coeficientes zero quando uma pot\u00eancia estiver faltando: <code>2 0 -5 1<\/code> significa \\(2x^3 - 5x + 1\\). Zeros \u00e0 esquerda e \u00e0 direita s\u00e3o tratados automaticamente.<\/li>\n<li>Pressione <strong>Calcular<\/strong>.<\/li>\n<li>Leia os resultados: a calculadora mostra o seu polin\u00f4mio na forma padr\u00e3o, a multiplicidade do zero como raiz (se o termo constante for 0), os n\u00fameros poss\u00edveis de ra\u00edzes reais positivas, os n\u00fameros poss\u00edveis de ra\u00edzes reais negativas e o n\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edzes n\u00e3o reais (complexas).<\/li>\n<\/ol>\n<h2>O que a Regra dos Sinais de Descartes revela<\/h2>\n<p>A Regra dos Sinais de Descartes, publicada por Ren\u00e9 Descartes em 1637, \u00e9 um teste r\u00e1pido que limita quantas ra\u00edzes reais positivas e negativas um polin\u00f4mio pode ter \u2014 sem precisar realmente resolver a equa\u00e7\u00e3o. Escreve-se o polin\u00f4mio na forma padr\u00e3o e conta-se quantas vezes os coeficientes consecutivos n\u00e3o nulos trocam de sinal. Essa contagem, diminu\u00edda de um n\u00famero par, \u00e9 o n\u00famero exato de ra\u00edzes positivas. Repetindo a contagem em \\(f(-x)\\) obt\u00eam-se as possibilidades para as ra\u00edzes negativas.<\/p>\n<p>A parte sobre \"diferir por um n\u00famero par\" \u00e9 importante. Se h\u00e1 3 trocas de sinal, o polin\u00f4mio tem 3 ou 1 ra\u00edzes positivas \u2014 nunca 2 nem 0. N\u00e3o \u00e9 garantido qual das duas; apenas 3 ou 1 s\u00e3o poss\u00edveis. Se h\u00e1 exatamente 1 troca de sinal, o polin\u00f4mio tem exatamente 1 raiz positiva, que \u00e9 um dos casos especiais mais \u00fateis da regra.<\/p>\n<p>Combinar as duas contagens com o grau do polin\u00f4mio tamb\u00e9m revela o n\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edzes n\u00e3o reais. Como um polin\u00f4mio de grau \\(n\\) tem exatamente \\(n\\) ra\u00edzes no total (contando a multiplicidade, pelo Teorema Fundamental da \u00c1lgebra), e as ra\u00edzes n\u00e3o reais sempre v\u00eam em pares conjugados, subtrair as contagens m\u00e1ximas poss\u00edveis de ra\u00edzes reais do grau fornece o n\u00famero m\u00ednimo de ra\u00edzes complexas. Para explor\u00e1-las, consulte a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/raiz-de-numero-complexo\/\">Calculadora de Ra\u00edzes Complexas<\/a> e a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/conjugado-numero-complexo\/\">Calculadora de Conjugado Complexo<\/a>.<\/p>\n<h2>Interpretando os resultados<\/h2>\n<p>Cada linha de resultado lista todas as possibilidades compat\u00edveis com a regra. \"3 ou 1\" para as ra\u00edzes positivas significa que ambos os desfechos s\u00e3o compat\u00edveis com o padr\u00e3o de sinais; \u00e9 necess\u00e1ria informa\u00e7\u00e3o adicional (um gr\u00e1fico, testes de ra\u00edzes racionais ou m\u00e9todos num\u00e9ricos) para determinar a contagem efetiva. Um resultado de exatamente 0 \u00e9 definitivo: se \\(f(-x)\\) n\u00e3o tem trocas de sinal, o polin\u00f4mio n\u00e3o tem ra\u00edzes reais negativas, ponto final.<\/p>\n<p>Se o termo constante for zero, \\(x = 0\\) \u00e9 uma raiz, e a calculadora informa sua multiplicidade contando os coeficientes zero no final. Nesse caso, aplique a regra \u00e0 parte restante do polin\u00f4mio ap\u00f3s fatorar \\(x^k\\).<\/p>\n<h2>Premissas, limita\u00e7\u00f5es e dicas<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Os coeficientes devem ser reais.<\/strong> A regra n\u00e3o se aplica a polin\u00f4mios com coeficientes complexos.<\/li>\n<li><strong>Os coeficientes zero s\u00e3o ignorados<\/strong> na contagem das trocas de sinal. Para \\(x^3 + 1\\), os sinais s\u00e3o \\(+, +\\) \u2014 uma troca de sinal... ou seja, zero trocas de sinal; ap\u00f3s verificar tamb\u00e9m \\(f(-x)\\), h\u00e1 exatamente 1 raiz negativa.<\/li>\n<li><strong>A regra conta a multiplicidade.<\/strong> Uma raiz dupla em \\(x = 2\\) conta como duas ra\u00edzes positivas.<\/li>\n<li><strong>Ela d\u00e1 possibilidades, n\u00e3o valores exatos.<\/strong> A regra nunca diz quais s\u00e3o as ra\u00edzes, apenas quantas de cada sinal podem existir. Use-a para restringir a busca antes de aplicar outras ferramentas.<\/li>\n<li><strong>Zero ra\u00edzes positivas fornecem uma verifica\u00e7\u00e3o r\u00e1pida:<\/strong> se um polin\u00f4mio de grau \u00edmpar n\u00e3o tem trocas de sinal em \\(f(x)\\), ele deve ter pelo menos uma raiz negativa, pois polin\u00f4mios de grau \u00edmpar sempre t\u00eam pelo menos uma raiz real.<\/li>\n<li>A regra funciona especialmente bem em conjunto com solucionadores de equa\u00e7\u00f5es como a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/equacao-cubica\/\">Calculadora de Equa\u00e7\u00f5es do Terceiro Grau<\/a> e a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/equacao-quarto-grau\/\">Calculadora de Equa\u00e7\u00f5es do Quarto Grau<\/a>, e pode confirmar a estrutura de ra\u00edzes encontrada com a <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/equacao-quadratica\/\">Calculadora de Equa\u00e7\u00f5es do Segundo Grau<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Estime o n\u00famero de ra\u00edzes positivas, negativas e n\u00e3o reais de um polin\u00f4mio usando a Regra dos Sinais de Descartes. 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