{"id":90,"date":"2026-10-03T12:57:24","date_gmt":"2026-10-03T11:57:24","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/angulo-vetores-2d\/"},"modified":"2026-10-03T12:57:24","modified_gmt":"2026-10-03T11:57:24","slug":"angulo-vetores-2d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/angulo-vetores-2d\/","title":{"rendered":"Calculadora de \u00c2ngulo entre Vetores 2D"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">Calcular o \u00c2ngulo entre Dois Vetores 2D<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"90\" data-favorite-title=\"\u00c2ngulo entre Vetores 2D\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/angulo-vetores-2d\/\" data-favorite-excerpt=\"Introduza as componentes X e Y de dois vetores para encontrar o \u00e2ngulo entre eles em graus. A calculadora usa a f\u00f3rmula do produto escalar e \u00e9 \u00fatil para f\u00edsica, geometria e computa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica.\" aria-label=\"Adicionar aos favoritos\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/angulo-vetores-2d\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-90\" data-post=\"90\"><fieldset class=\"fieldset-input\"><legend class=\"sr-only\">Campos de entrada<\/legend><div class=\"field\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">Vetor V1 - X<\/label><input type=\"number\" name=\"vetor_v1_x\" id=\"field-1\" placeholder=\"1\" step=\"1\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">Vetor V1 - Y<\/label><input type=\"number\" name=\"vetor_v1_y\" id=\"field-2\" placeholder=\"0\" step=\"1\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">Vetor V2 - X<\/label><input type=\"number\" name=\"vetor_v2_x\" id=\"field-3\" placeholder=\"0\" step=\"1\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">Vetor V2 - Y<\/label><input type=\"number\" name=\"vetor_v2_y\" id=\"field-4\" placeholder=\"1\" step=\"1\" value=\"1\"\/><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"Recalcular\" id=\"calculate-button\" data-post=\"90\">Calcular<\/button><button type=\"reset\">Redefinir<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">Calcular automaticamente<\/label><small>Se ativado, o resultado \u00e9 atualizado automaticamente quando voc\u00ea altera qualquer valor.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> Seus resultados<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>\u00c2ngulo entre vetores (\u00b0)<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"Copiar resultado\" aria-label=\"Copiar resultado\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">Copiar link para este c\u00e1lculo<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>Deixar um coment\u00e1rio<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"90\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">O que voc\u00ea achou deste resultado?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Curti <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u00datil <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Confuso <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Decepcionado <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">Impreciso <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>F\u00f3rmula do \u00c2ngulo entre Dois Vetores 2D<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">F\u00f3rmula<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\theta = \\cos^{-1}\\left( \\frac{\\vec{A} \\cdot \\vec{B}}{|\\vec{A}| \\, |\\vec{B}|} \\right) \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>Onde:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\vec{A} \\cdot \\vec{B} = A_x B_x + A_y B_y\\) \u2014 o produto escalar dos dois vetores<\/li>\n<li>\\(|\\vec{A}| = \\sqrt{A_x^2 + A_y^2}\\) \u2014 o m\u00f3dulo (comprimento) do vetor \\(\\vec{A}\\)<\/li>\n<li>\\(|\\vec{B}| = \\sqrt{B_x^2 + B_y^2}\\) \u2014 o m\u00f3dulo (comprimento) do vetor \\(\\vec{B}\\)<\/li>\n<li>\\(\\theta\\) \u2014 o \u00e2ngulo entre os dois vetores<\/li>\n<\/ul>\n<p>A f\u00f3rmula decorre da defini\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do produto escalar: \\(\\vec{A} \\cdot \\vec{B} = |\\vec{A}| |\\vec{B}| \\cos\\theta\\). Isolando \\(\\theta\\), obt\u00e9m-se a express\u00e3o acima. O resultado de \\(\\cos^{-1}\\) est\u00e1 em radianos, pelo que \u00e9 convertido em graus multiplicando por \\(\\frac{180}{\\pi}\\) \u2014 esta calculadora faz essa convers\u00e3o por si e devolve a resposta em graus.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u00c2ngulo entre Dois Vetores 2D \u2013 Exemplo de C\u00e1lculo<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>Exemplo:<\/strong> encontrar o \u00e2ngulo entre \\(\\vec{V_1} = (1, 0)\\) e \\(\\vec{V_2} = (0, 1)\\).<\/p>\n<p>\\[ \\vec{V_1} \\cdot \\vec{V_2} = (1)(0) + (0)(1) = 0 \\]<\/p>\n<p>\\[ |\\vec{V_1}| = \\sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \\qquad |\\vec{V_2}| = \\sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\theta = \\cos^{-1}\\left( \\frac{0}{1 \\cdot 1} \\right) = \\cos^{-1}(0) = 90\u00b0 \\]<\/p>\n<p><strong>Resultado:<\/strong> o \u00e2ngulo entre os dois vetores \u00e9 90\u00b0. Os vetores s\u00e3o perpendiculares, exatamente o que se espera dos vetores unit\u00e1rios ao longo dos eixos X e Y.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>Como Usar a Calculadora<\/h2>\n<ol>\n<li>Introduza a componente X do primeiro vetor no campo <strong>Vetor V1 - X<\/strong>.<\/li>\n<li>Introduza a componente Y do primeiro vetor no campo <strong>Vetor V1 - Y<\/strong>.<\/li>\n<li>Introduza a componente X do segundo vetor no campo <strong>Vetor V2 - X<\/strong>.<\/li>\n<li>Introduza a componente Y do segundo vetor no campo <strong>Vetor V2 - Y<\/strong>.<\/li>\n<li>Leia o resultado <strong>\u00c2ngulo entre vetores (\u00b0)<\/strong>. A resposta \u00e9 dada em graus, arredondada a tr\u00eas casas decimais.<\/li>\n<\/ol>\n<p>S\u00e3o aceites valores positivos e negativos, e tamb\u00e9m n\u00fameros decimais. N\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio normalizar os vetores primeiro \u2014 a f\u00f3rmula divide pelos m\u00f3dulos, pelo que qualquer comprimento de vetor d\u00e1 o mesmo \u00e2ngulo.<\/p>\n<h2>O Que \u00c9 o \u00c2ngulo entre Dois Vetores?<\/h2>\n<p>Em duas dimens\u00f5es, um vetor \\(\\vec{A} = (A_x, A_y)\\) tem um comprimento e uma dire\u00e7\u00e3o. Quando se colocam dois vetores com a mesma origem, o \u00e2ngulo entre eles mede o quanto as suas dire\u00e7\u00f5es est\u00e3o afastadas. Este \u00e2ngulo est\u00e1 sempre entre 0\u00b0 e 180\u00b0: 0\u00b0 significa que os vetores apontam no mesmo sentido, 90\u00b0 significa que s\u00e3o perpendiculares e 180\u00b0 significa que apontam em dire\u00e7\u00f5es exatamente opostas.<\/p>\n<p>A chave para calcular este \u00e2ngulo \u00e9 o <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/produto-escalar-vetores-2d\/\">produto escalar<\/a>. Ele mede o quanto dois vetores concordam em dire\u00e7\u00e3o: um produto escalar grande e positivo significa que os vetores apontam aproximadamente no mesmo sentido, zero significa que s\u00e3o perpendiculares e um valor negativo significa que o \u00e2ngulo \u00e9 obtuso. Dividindo o produto escalar pelo produto dos m\u00f3dulos obt\u00e9m-se \\(\\cos\\theta\\), e o arco cosseno devolve o pr\u00f3prio \u00e2ngulo.<\/p>\n<p>Conhecer o \u00e2ngulo entre vetores \u00e9 importante em muitas situa\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas. Em f\u00edsica, permite decompor for\u00e7as e calcular o trabalho, j\u00e1 que o trabalho \u00e9 igual a \\(F \\cdot d \\cdot \\cos\\theta\\). Em computa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica e no desenvolvimento de jogos, \u00e9 usado para verificar campos de vis\u00e3o, fazer c\u00e1lculos de ilumina\u00e7\u00e3o e rodar objetos em dire\u00e7\u00e3o a alvos. Em navega\u00e7\u00e3o e rob\u00f3tica, indica a um sistema quanto este precisa de rodar para ficar virado numa dire\u00e7\u00e3o desejada.<\/p>\n<p>Para trabalhar com os pr\u00f3prios vetores, tamb\u00e9m poder\u00e3o ser \u00fateis as calculadoras de <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/modulo-vetor-2d\/\">M\u00f3dulo de Vetores 2D<\/a> e <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/adicao-de-vetores-2d\/\">Soma de Vetores 2D<\/a>.<\/p>\n<h2>Interpretar o Resultado<\/h2>\n<p>A calculadora devolve sempre o \u00e2ngulo menor, entre 0\u00b0 e 180\u00b0. Este \u00e9 o \"\u00e2ngulo entre vetores\" convencional \u2014 ele n\u00e3o indica qual dos vetores est\u00e1 rodado no sentido hor\u00e1rio ou anti-hor\u00e1rio em rela\u00e7\u00e3o ao outro. Se precisar de um \u00e2ngulo com sinal (por exemplo, para decidir para que lado rodar num jogo), calcule tamb\u00e9m o produto vetorial \\(A_x B_y - A_y B_x\\): o seu sinal indica a dire\u00e7\u00e3o da rota\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>Alguns casos especiais \u00fateis para verificar os seus dados de entrada:<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Vetores<\/th>\n<th>\u00c2ngulo<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Mesma dire\u00e7\u00e3o (paralelos)<\/td>\n<td>0\u00b0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Perpendiculares (produto escalar = 0)<\/td>\n<td>90\u00b0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Dire\u00e7\u00f5es opostas<\/td>\n<td>180\u00b0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Vetores id\u00eanticos<\/td>\n<td>0\u00b0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h2>Limita\u00e7\u00f5es e Dicas<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Vetores nulos:<\/strong> se algum dos vetores for \\((0, 0)\\), a sua dire\u00e7\u00e3o \u00e9 indefinida. A calculadora devolve 0 neste caso, mas matematicamente o \u00e2ngulo n\u00e3o existe.<\/li>\n<li><strong>Arredondamento:<\/strong> devido \u00e0 aritm\u00e9tica de v\u00edrgula flutuante, valores muito pr\u00f3ximos de 1 ou -1 dentro de \\(\\cos^{-1}\\) podem produzir pequenos erros; o resultado \u00e9 arredondado a tr\u00eas casas decimais.<\/li>\n<li><strong>Unidades:<\/strong> o resultado \u00e9 sempre em graus. Para converter em radianos, multiplique por \\(\\frac{\\pi}{180}\\).<\/li>\n<li><strong>A ordem n\u00e3o importa:<\/strong> trocar V1 por V2 d\u00e1 o mesmo \u00e2ngulo, pois o produto escalar \u00e9 comutativo.<\/li>\n<li><strong>Invari\u00e2ncia \u00e0 escala:<\/strong> multiplicar qualquer um dos vetores por um n\u00famero positivo n\u00e3o altera o \u00e2ngulo, porque os m\u00f3dulos se cancelam.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Se estiver a trabalhar em tr\u00eas dimens\u00f5es em vez de num plano, aplica-se a mesma f\u00f3rmula do produto escalar \u2014 veja as calculadoras de <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/produto-escalar-vetores-3d\/\">Produto Escalar de Vetores 3D<\/a> e <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/matematica\/modulo-vetor-3d\/\">M\u00f3dulo de Vetores 3D<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Introduza as componentes X e Y de dois vetores para encontrar o \u00e2ngulo entre eles em graus. A calculadora usa a f\u00f3rmula do produto escalar e \u00e9 \u00fatil para f\u00edsica, geometria e computa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[42],"class_list":["post-90","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica","tag-geometria"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/90","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=90"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/90\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2639,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/90\/revisions\/2639"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=90"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=90"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/pt\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=90"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}