Калькулятор распределения Пуассона
Вычисляйте вероятности Пуассона по средней интенсивности λ: вероятность ровно k событий, диапазона или накопленные вероятности «не более / не менее», а также математическое ожидание и дисперсию.
Вычислить вероятности Пуассона
Формула распределения Пуассона
Где:
- \(\lambda\) — среднее число событий за интервал; должно быть положительным
- \(k\) — число событий; целое неотрицательное число
- \(e \approx 2.71828\) — число Эйлера
- \(k!\) — факториал числа \(k\)
Первая формула даёт вероятность наблюдать ровно \(k\) событий; две суммы дают накопленные вероятности \(P(X \le k)\) и \(P(X \ge k)\).
Распределение Пуассона — пример расчёта
Пример: в колл-центр в среднем поступает \(\lambda = 3\) звонка в час. Какова вероятность получить ровно \(k = 5\) звонков в течение следующего часа?
\[ P(X = 5) = \frac{e^{-3} \cdot 3^5}{5!} = \frac{0.0497871 \cdot 243}{120} = \frac{12.0981}{120} \approx 0.100819 \]
Результат: \(P(X = 5) \approx 0.1008\), или примерно 10.08%. При \(\lambda = 3\) математическое ожидание и дисперсия равны 3, а стандартное отклонение равно \(\sqrt{3} \approx 1.732\).
Как пользоваться калькулятором
- Выберите Тип вероятности: ровно k событий, диапазон между двумя значениями, не более k событий или не менее k событий.
- Введите Среднюю интенсивность (λ) — среднее число событий за интервал (в час, на страницу, на партию и т. д.). Она должна быть больше 0.
- Введите Число событий (k) — целое неотрицательное число. В режиме диапазона это значение служит нижней границей k₁.
- Если выбран режим диапазона, также заполните Верхнее число событий (k₂), которое должно быть больше или равно k.
- Прочитайте Искомую вероятность в верхней части результатов, а затем проверьте \(P(X = k)\), накопленную \(P(X \le k)\), математическое ожидание и дисперсию под ней.
Что такое распределение Пуассона?
Распределение Пуассона описывает число наступлений случайного события в фиксированном интервале времени, пространства или объёма, когда события происходят независимо с постоянной средней интенсивностью. Оно названо в честь французского математика Симеона Дени Пуассона и является одним из самых широко используемых дискретных распределений вероятностей в статистике.
Единственный параметр \(\lambda\) полностью описывает распределение: он является одновременно и математическим ожиданием, и дисперсией, то есть \(\mu = \sigma^2 = \lambda\). Классические применения включают число посетителей в час, опечаток на странице, радиоактивных распадов в секунду, посещений сайта в минуту или страховых случаев в месяц. Если известен исторический средний показатель за интервал, формула Пуассона позволяет оценить вероятность любого конкретного исхода.
Наиболее вероятный исход находится вблизи самого \(\lambda\), а вероятности убывают в обе стороны. Например, при \(\lambda = 3\) получить 2, 3 или 4 события вполне вероятно, тогда как 0 или 8 событий — редкость, но не невозможность. Таблица соседних вероятностей в калькуляторе показывает этот разброс вокруг выбранного вами k, что помогает оценить, является ли наблюдаемое число типичным или необычным. Накопленные ответы («не более / не менее») часто полезнее точных вероятностей: они показывают шанс превысить порог, например «более 10 посетителей» или «не более 1 дефекта».
Допущения, ограничения и советы
- Независимость: одно событие не должно влиять на вероятность другого. Прибытия, вызванные одной причиной (например, вирусный пост, резко увеличивающий посещения), нарушают это допущение.
- Постоянная интенсивность: \(\lambda\) должна оставаться одинаковой на всём интервале. Если интенсивность меняется по часам или сезонам, вычисляйте каждый период отдельно или используйте другую модель.
- Только счётные данные: k считает целые события в фиксированном интервале. Распределение Пуассона не описывает непрерывные величины, такие как длительности или расстояния.
- Масштабирование λ: если удвоить интервал, удвойте \(\lambda\). Интенсивность 3 звонка в час превращается в \(\lambda = 6\) для двухчасового окна или \(\lambda = 0.05\) в минуту.
- Большое λ: при росте \(\lambda\) (примерно выше 20) распределение Пуассона становится почти симметричным и хорошо приближается нормальным распределением с математическим ожиданием \(\lambda\) и дисперсией \(\lambda\).
- Дополнения: помните, что \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Ответ «не менее» уже учитывает это, поэтому \(P(X \ge 0)\) всегда равна 100%.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить вероятность Пуассона вручную без калькулятора?
Вычислите \(P(X = k) = e^{-\lambda}\lambda^k / k!\) шаг за шагом: найдите \(e^{-\lambda}\), возведите \(\lambda\) в степень \(k\), перемножьте их и разделите на \(k!\). Например, при \(\lambda = 2\) и \(k = 3\): \(e^{-2} \approx 0.1353\), \(2^3 = 8\), \(3! = 6\), значит \(P(X = 3) = 0.1353 \times 8 / 6 \approx 0.1804\). Для накопленных вероятностей сложите отдельные слагаемые от 0 до \(k\).
Когда следует использовать распределение Пуассона вместо биномиального?
Используйте Пуассон, когда считаете события на непрерывном интервале (время, площадь, объём) и знаете только среднюю интенсивность. Используйте биномиальное распределение, когда есть фиксированное число независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха. Пуассон — это предельный случай биномиального распределения, когда число испытаний очень велико, а вероятность успеха очень мала; распространённое правило гласит, что Пуассон хорошо работает как приближение при \(n \ge 50\) и \(p \le 0.1\).
Может ли λ быть десятичной или дробной?
Да, \(\lambda\) может быть любым положительным числом, включая десятичные дроби — целым должно быть только \(k\). Например, если редкая ошибка возникает в среднем 0.7 раза на отчёт, \(\lambda = 0.7\) — совершенно корректное значение. Дробная \(\lambda\) просто означает, что события редки в выбранном интервале. Единственные ограничения: \(\lambda > 0\) и \(k\) — целое число, большее или равное 0.
Какова вероятность нуля событий, P(X = 0)?
Поскольку \(0! = 1\) и \(\lambda^0 = 1\), формула упрощается до \(P(X = 0) = e^{-\lambda}\). При \(\lambda = 3\) это \(e^{-3} \approx 0.0498\), то есть примерно 5% вероятность отсутствия событий. Эта величина полезна в задачах надёжности — например, для оценки шанса того, что за смену не произойдёт ни одного отказа оборудования.
Как оценить λ по историческим данным?
Разделите общее число наблюдаемых событий на количество интервалов. Если магазин обслужил 150 покупателей за 30 одночасовых периодов, то \(\lambda = 150 / 30 = 5\) покупателей в час. Чем дольше период наблюдения, тем стабильнее эта оценка. Помните, что \(\lambda\), оценённая по ограниченным данным, несёт неопределённость, поэтому рассматривайте полученные вероятности как приближения, а не точные значения.
Почему мой ручной расчёт даёт 0 или огромное неправильное число при больших k?
При больших \(k\) величины \(\lambda^k\) и \(k!\) становятся астрономически большими и могут вызвать переполнение калькулятора или таблицы, хотя их отношение невелико. Обходной путь — работать с логарифмами: \(\ln P = -\lambda + k\ln\lambda - \ln(k!)\), а в конце потенцировать. Другая распространённая ошибка — ввод \(k\) нецелым числом или забывание о том, что \(e^{-\lambda}\) нужно умножать, а не складывать.
Каково наиболее вероятное число событий (мода)?
Наиболее вероятный исход — это \(k = \lfloor\lambda\rfloor\), то есть наибольшее целое число, не превышающее \(\lambda\). Если \(\lambda\) само является целым числом, то \(k = \lambda\) и \(k = \lambda - 1\) равновероятны. Например, при \(\lambda = 4\) наибольшую вероятность имеют и 3, и 4 события; при \(\lambda = 4.5\) единственное наиболее вероятное значение — 4.