{"id":4941,"date":"2026-10-13T12:23:51","date_gmt":"2026-10-13T09:23:51","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/proiektsiia-vektoriv-3d\/"},"modified":"2026-10-13T12:23:51","modified_gmt":"2026-10-13T09:23:51","slug":"proiektsiia-vektoriv-3d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/proiektsiia-vektoriv-3d\/","title":{"rendered":"\u041a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0457 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0456\u0432 \u0443 3D"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">\u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e 3D-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0456\u043d\u0448\u0438\u0439<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"4941\" data-favorite-title=\"\u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0456\u0432 \u0443 3D\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/proiektsiia-vektoriv-3d\/\" data-favorite-excerpt=\"\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0438 \u0434\u0432\u043e\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u043c\u0456\u0440\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0456\u0432, \u0456 \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0442\u0443\u0454 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0456\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u043d\u0430 \u0456\u043d\u0448\u0438\u0439, \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0443\u044e\u0447\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044e, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044e, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0443, \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a, \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0456 \u0442\u0430 \u043a\u0443\u0442 \u043c\u0456\u0436 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438.\" aria-label=\"\u0414\u043e\u0434\u0430\u0442\u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0440\u0430\u043d\u0435\" data-favorite-icon=\"icon icon-geometry\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/proiektsiia-vektoriv-3d\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-4941\" data-post=\"4941\"><fieldset class=\"fieldset-input is-3\"><legend class=\"sr-only\">\u041f\u043e\u043b\u044f \u0432\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044f<\/legend><div class=\"is-single field\" id=\"input-1\"><span class=\"font-semibold\">\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 a \u2014 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0456<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">\u0421\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 x (a\u2093)<\/label><div class=\"term\">a\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"skladova_x_a\" id=\"field-2\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">\u0421\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 y (a\u1d67)<\/label><div class=\"term\">a\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"skladova_y_a\" id=\"field-3\" placeholder=\"3\" step=\"any\" value=\"3\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-4\"><label for=\"field-4\">\u0421\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 z (a_z)<\/label><div class=\"term\">a_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"skladova_z_az\" id=\"field-4\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-5\"><span class=\"font-semibold\">\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 b \u2014 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0456<\/span><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-6\"><label for=\"field-6\">\u0421\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 x (b\u2093)<\/label><div class=\"term\">b\u2093<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"skladova_x_b\" id=\"field-6\" placeholder=\"1\" step=\"any\" value=\"1\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-7\"><label for=\"field-7\">\u0421\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 y (b\u1d67)<\/label><div class=\"term\">b\u1d67<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"skladova_y_b\" id=\"field-7\" placeholder=\"0\" step=\"any\" value=\"0\"\/><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-8\"><label for=\"field-8\">\u0421\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 z (b_z)<\/label><div class=\"term\">b_z<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"skladova_z_bz\" id=\"field-8\" placeholder=\"2\" step=\"any\" value=\"2\"\/><\/div><div class=\"is-single field\" id=\"input-9\"><span class=\"font-semibold\">\u041d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043a \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0457<\/span><\/div><div class=\"field is-single\" id=\"input-10\"><label for=\"field-10\">\u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0442\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438<\/label><div class=\"grid grid-cols-1\"><select id=\"field-10\" name=\"proyektuvaty\"><option value=\"ab\" selected>a \u043d\u0430 b<\/option><option value=\"ba\">b \u043d\u0430 a<\/option><\/select><svg class=\"pointer-events-none col-start-1 row-start-1 mr-2 size-5 self-center justify-self-end text-gray-500 sm:size-4\" viewBox=\"0 0 16 16\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\" data-slot=\"icon\">\n              <path fill-rule=\"evenodd\" d=\"M4.22 6.22a.75.75 0 0 1 1.06 0L8 8.94l2.72-2.72a.75.75 0 1 1 1.06 1.06l-3.25 3.25a.75.75 0 0 1-1.06 0L4.22 7.28a.75.75 0 0 1 0-1.06Z\" clip-rule=\"evenodd\" \/>\n            <\/svg><\/div><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"\u041f\u0435\u0440\u0435\u0440\u0430\u0445\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438\" id=\"calculate-button\" data-post=\"4941\">\u0420\u043e\u0437\u0440\u0430\u0445\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438<\/button><button type=\"reset\">\u0421\u043a\u0438\u043d\u0443\u0442\u0438<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">\u0420\u0430\u0445\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e<\/label><small>\u042f\u043a\u0449\u043e \u0443\u0432\u0456\u043c\u043a\u043d\u0435\u043d\u043e, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043e\u043d\u043e\u0432\u043b\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438\u043c\u0435\u0442\u044c\u0441\u044f \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0456\u0441\u043b\u044f \u0437\u043c\u0456\u043d\u0438 \u0431\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> \u0412\u0430\u0448\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f<\/span><span class=\"result-term\">comp<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f<\/span><span class=\"result-term\">proj<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>\u041f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430<\/span><span class=\"result-term\">rej<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-4\"><span class=\"field-title\"><span>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a<\/span><span class=\"result-term\">a\u00b7b<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-4\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-5\"><span class=\"field-title\"><span>\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 a<\/span><span class=\"result-term\">|a|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-5\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-6\"><span class=\"field-title\"><span>\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 b<\/span><span class=\"result-term\">|b|<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-6\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-7\"><span class=\"field-title\"><span>\u041a\u0443\u0442 \u043c\u0456\u0436 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438<\/span><span class=\"result-term\">\u03b8<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-7\" data-unit=\"\u00b0\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-8\"><span class=\"field-title\"><span>\u041a\u0440\u043e\u043a\u0438 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044f<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-8\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">\u0421\u043a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0438\u043b\u0430\u043d\u043d\u044f \u043d\u0430 \u0446\u0435\u0439 \u0440\u043e\u0437\u0440\u0430\u0445\u0443\u043d\u043e\u043a<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\u0417\u0430\u043b\u0438\u0448\u0438\u0442\u0438 \u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"4941\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">\u042f\u043a \u0432\u0430\u043c \u0446\u0435\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041a\u043e\u0440\u0438\u0441\u043d\u043e <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041d\u0435\u0437\u0440\u043e\u0437\u0443\u043c\u0456\u043b\u043e <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u0420\u043e\u0437\u0447\u0430\u0440\u043e\u0432\u0443\u0454 <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041d\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0457 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0443 3D<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\, \\mathbf{b} \\]<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>\u0414\u0435:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\\) \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u044f\u043a\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0442\u0443\u044e\u0442\u044c<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\\) \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0449\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0454 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043a<\/li>\n<li>\\(\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\\) \u2014 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a<\/li>\n<li>\\(\\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\\) \u2014 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c (\u0434\u043e\u0432\u0436\u0438\u043d\u0430) \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \\(\\mathbf{b}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0443\u0454, \u044f\u043a\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \\(\\mathbf{a}\\) \u0441\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u0432\u0437\u0434\u043e\u0432\u0436 \\(\\mathbf{b}\\). \u041a\u043e\u0435\u0444\u0456\u0446\u0456\u0454\u043d\u0442 \\(k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2}\\) \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0443\u0454 \\(\\mathbf{b}\\) \u0442\u0430\u043a, \u0449\u043e\u0431 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u0442\u0430\u0432 \u00ab\u0442\u0456\u043d\u0435\u044e\u00bb, \u044f\u043a\u0443 \\(\\mathbf{a}\\) \u0432\u0456\u0434\u043a\u0438\u0434\u0430\u0454 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443, \u0449\u043e \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>\u0417 \u0442\u0456\u0454\u0457 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0457 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0457 \u0432\u0438\u043f\u043b\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u044c \u0434\u0432\u0456 \u043f\u043e\u0432\u2019\u044f\u0437\u0430\u043d\u0456 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0438:<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{comp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert} \\qquad \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = \\mathbf{a} - \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} \\]<\/p>\n<p>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f (\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430) \u2014 \u0446\u0435 \u0434\u043e\u0432\u0436\u0438\u043d\u0430 \u0442\u0456\u043d\u0456 \u0437\u0456 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c, \u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 (\u0457\u0457 \u0449\u0435 \u043d\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u044c \u0432\u0456\u0434\u043a\u0438\u0434\u0430\u043d\u043d\u044f\u043c) \u2014 \u0442\u0435, \u0449\u043e \u043b\u0438\u0448\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432\u0456\u0434 \\(\\mathbf{a}\\); \u0432\u043e\u043d\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0436\u0434\u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430 \u0434\u043e \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0443 3D \u2014 \u043f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044f<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434:<\/strong> \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0442\u0443\u0454\u043c\u043e \\(\\mathbf{a} = (2, 3, 1)\\) \u043d\u0430 \\(\\mathbf{b} = (1, 0, 2)\\) (\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0456 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0430).<\/p>\n<p>\\[ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 0 + 1 \\cdot 2 = 4 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\lvert \\mathbf{a} \\rvert = \\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \\sqrt{14} \\approx 3.742, \\qquad \\lvert \\mathbf{b} \\rvert = \\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \\sqrt{5} \\approx 2.236 \\]<\/p>\n<p>\\[ k = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert \\mathbf{b} \\rvert^2} = \\frac{4}{5} = 0.8 \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = 0.8 \\cdot (1, 0, 2) = (0.8,\\ 0,\\ 1.6) \\]<\/p>\n<p>\\[ \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\\ 3,\\ -0.6) \\]<\/p>\n<p><strong>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442:<\/strong> \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 \\(4 \/ \\sqrt{5} \\approx 1.789\\), \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u2014 \\((0.8, 0, 1.6)\\), \u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 \u2014 \\((1.2, 3, -0.6)\\) \u0437 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \\(\\approx 3.286\\). \u041a\u0443\u0442 \u043c\u0456\u0436 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c \\(\\arccos\\!\\left(\\tfrac{4}{\\sqrt{70}}\\right) \\approx 61.4\u00b0\\).<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>\u042f\u043a \u043a\u043e\u0440\u0438\u0441\u0442\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438\u0441\u044f \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c<\/h2>\n<ol>\n<li>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c <strong>x-\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0443 (a\u2093)<\/strong>, <strong>y-\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0443 (a\u1d67)<\/strong> \u0456 <strong>z-\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0443 (a_z)<\/strong> \u043f\u0435\u0440\u0448\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432 \u0440\u043e\u0437\u0434\u0456\u043b\u0456 \u00ab\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 a \u2014 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0438\u00bb.<\/li>\n<li>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c \u0442\u0440\u0438 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432 \u0440\u043e\u0437\u0434\u0456\u043b\u0456 \u00ab\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 b \u2014 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0438\u00bb. \u0414\u043b\u044f \u0432\u0456\u0434\u0441\u0443\u0442\u043d\u0456\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0432\u0442\u0435 0.<\/li>\n<li>\u0412\u0438\u0431\u0435\u0440\u0456\u0442\u044c \u0432\u0430\u0440\u0456\u0430\u043d\u0442 <strong>\u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f<\/strong>: \u00aba \u043d\u0430 b\u00bb \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0443\u0454, \u044f\u043a\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043d\u0430 \\(\\mathbf{a}\\) \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0437\u0434\u043e\u0432\u0436 \\(\\mathbf{b}\\); \u00abb \u043d\u0430 a\u00bb \u043c\u0456\u043d\u044f\u0454 \u0440\u043e\u043b\u0456 \u043c\u0456\u0441\u0446\u044f\u043c\u0438.<\/li>\n<li>\u041e\u0437\u043d\u0430\u0439\u043e\u043c\u0442\u0435\u0441\u044f \u0437 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438: \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u044e \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0454\u044e, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u044e \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0454\u044e, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u044e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u043e\u044e, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0436 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u043c \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043a\u043e\u043c, \u043e\u0431\u043e\u043c\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f\u043c\u0438, \u043a\u0443\u0442\u043e\u043c \u043c\u0456\u0436 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0456 \u043f\u043e\u043a\u0440\u043e\u043a\u043e\u0432\u0438\u043c\u0438 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044f\u043c\u0438.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u0429\u043e \u0442\u0430\u043a\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0443 3D<\/h2>\n<p>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \\(\\mathbf{a}\\) \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \\(\\mathbf{b}\\) \u2014 \u0446\u0435 \u0442\u0456\u043d\u044c, \u044f\u043a\u0443 \\(\\mathbf{a}\\) \u0432\u0456\u0434\u043a\u0438\u0434\u0430\u0454 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443, \u0449\u043e \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\(\\mathbf{b}\\), \u043d\u0430\u0447\u0435\u0431\u0442\u043e \u0441\u0432\u0456\u0442\u043b\u043e \u043f\u0430\u0434\u0430\u043b\u043e \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e \u0434\u043e \u0446\u0456\u0454\u0457 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0457. \u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u2014 \u043d\u043e\u0432\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0441\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0441\u0430\u043c\u043e (\u0430\u0431\u043e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u043b\u0435\u0436\u043d\u043e), \u044f\u043a \\(\\mathbf{b}\\), \u0437 \u0434\u043e\u0432\u0436\u0438\u043d\u043e\u044e, \u0449\u043e \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 \u0442\u043e\u043c\u0443, \u043d\u0430\u0441\u043a\u0456\u043b\u044c\u043a\u0438 \\(\\mathbf{a}\\) \u00ab\u0441\u044f\u0433\u0430\u0454\u00bb \u0432 \u0446\u044c\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u043a\u0443. \u0407\u0457 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0436 \u043d\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u044e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u043e\u044e \\(\\mathbf{a}\\) \u0432\u0437\u0434\u043e\u0432\u0436 \\(\\mathbf{b}\\).<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0436\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0440\u043e\u0437\u0431\u0438\u0432\u0430\u0454 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0456 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0456 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043d\u0438: \u0441\u0430\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044e (\u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443 \u0434\u043e \\(\\mathbf{b}\\)) \u0456 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0443, \u044f\u043a\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043d\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u044c <em>\u0432\u0456\u0434\u043a\u0438\u0434\u0430\u043d\u043d\u044f\u043c<\/em> (rejection). \u0426\u0456 \u0434\u0432\u0456 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0432\u0436\u0434\u0438 \u0432 \u0441\u0443\u043c\u0456 \u0434\u0430\u044e\u0442\u044c \u043f\u043e\u0447\u0430\u0442\u043a\u043e\u0432\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440: \\(\\mathbf{a} = \\operatorname{proj}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a} + \\operatorname{perp}_{\\mathbf{b}} \\mathbf{a}\\), \u0430 \u0457\u0445\u043d\u0456\u0439 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0422\u0430\u043a\u0438\u0439 \u0440\u043e\u0437\u043a\u043b\u0430\u0434 \u0454 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043e\u044e \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0443 \u0413\u0440\u0430\u043c\u0430 \u2014 \u0428\u043c\u0456\u0434\u0442\u0430, \u0440\u043e\u0437\u043a\u043b\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044f \u0441\u0438\u043b \u043d\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0456 \u0443 \u0444\u0456\u0437\u0438\u0446\u0456 \u0442\u0430 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443 \u043d\u0430\u0439\u043c\u0435\u043d\u0448\u0438\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0456\u0432 \u0443 \u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u0446\u0456.<\/p>\n<p><strong>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f<\/strong> \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c \u0437\u0456 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u0430\u0454 \u043d\u0430 \u043f\u0438\u0442\u0430\u043d\u043d\u044f \u00ab\u043d\u0430\u0441\u043a\u0456\u043b\u044c\u043a\u0438 \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u043e \\(\\mathbf{a}\\) \u0441\u044f\u0433\u0430\u0454 \u0432\u0437\u0434\u043e\u0432\u0436 \\(\\mathbf{b}\\)?\u00bb. \u0412\u043e\u043d\u0430 \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0430, \u043a\u043e\u043b\u0438 \u043a\u0443\u0442 \u043c\u0456\u0436 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u043c\u0435\u043d\u0448\u0438\u0439 \u0437\u0430 90\u00b0, \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043a\u043e\u043b\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0456, \u0456 \u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0430, \u043a\u043e\u043b\u0438 \u043a\u0443\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0438\u0449\u0443\u0454 90\u00b0 \u2014 \u0442\u043e\u0431\u0442\u043e \\(\\mathbf{a}\\) \u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u043e\u0432\u043e \u0441\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 <em>\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438<\/em> \\(\\mathbf{b}\\). \u0421\u0430\u043c \u043a\u0443\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442\u044c \u0437\u0456 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043a\u0443 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\(\\cos\\theta = \\frac{\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}}{\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\,\\lvert\\mathbf{b}\\rvert}\\), \u0442\u043e\u043c\u0443 \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0443\u0454 \u0439\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0456\u0437 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0454\u044e.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0443\u0432\u0430\u0436\u0442\u0435: \u043f\u043e\u0434\u0432\u043e\u0454\u043d\u043d\u044f \\(\\mathbf{b}\\) \u0432\u0434\u0432\u0456\u0447\u0456 \u0437\u043c\u0435\u043d\u0448\u0443\u0454 \u043a\u043e\u0435\u0444\u0456\u0446\u0456\u0454\u043d\u0442 \\(k\\), \u0442\u043e\u0436 \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u043f\u0440\u0438 \u0446\u044c\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0435 \u0437\u043c\u0456\u043d\u044e\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f. \u0406\u043d\u0448\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0437\u0430\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0456\u0434 <em>\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0457<\/em>, \u0449\u043e \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\(\\mathbf{b}\\), \u0430 \u043d\u0435 \u0432\u0456\u0434 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 \u0446\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043f\u043e\u0440\u0446\u0456\u0439\u043d\u0456\u0441\u0442\u044c \u043c\u0456\u0436 \\(k\\) \u0456 \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^{-2}\\). \u0414\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u0436\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0456 \u043f\u0440\u043e\u043f\u043e\u0440\u0446\u0456\u0439\u043d\u0456 \u0437\u0430\u043b\u0435\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0456 \u043c\u043e\u0436\u043d\u0430 \u0437\u0430 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u043e\u044e <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/priama-proportsiinist\/\">\u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0457 \u043f\u0440\u043e\u043f\u043e\u0440\u0446\u0456\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u0456<\/a>.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0438\u043f\u0443\u0449\u0435\u043d\u043d\u044f, \u043e\u0431\u043c\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u044f \u0442\u0430 \u043f\u043e\u0440\u0430\u0434\u0438<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>\u041f\u043e\u0442\u0440\u0456\u0431\u043d\u0456 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u044c\u043e\u0432\u0456 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438.<\/strong> \u041d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u043d\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043c\u0443\u0441\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u044c\u043e\u0432\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c, \u0430\u0434\u0436\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u0456\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert^2\\). \u041d\u0443\u043b\u044c\u043e\u0432\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0454 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u043a\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0457; \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0456\u0434\u043a\u0430\u0436\u0435, \u044f\u043a\u0438\u0439 \u0441\u0430\u043c\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0430 \u0432\u0438\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0438.<\/li>\n<li><strong>\u0417\u043d\u0430\u043a \u043c\u0430\u0454 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f.<\/strong> \u0412\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u2014 \u0446\u0435 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442: \u0432\u043e\u043d\u0430 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0454, \u0449\u043e \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0441\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u043b\u0435\u0436\u043d\u043e \u0434\u043e \\(\\mathbf{b}\\), \u0456 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u043c\u0456\u0441\u0442\u0438\u0442\u0438\u043c\u0435 \u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0456 \u043c\u043d\u043e\u0436\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \\(\\mathbf{b}\\).<\/li>\n<li><strong>\u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u043c\u0430\u0454 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f.<\/strong> \u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \\(\\mathbf{a}\\) \u043d\u0430 \\(\\mathbf{b}\\) \u0456 \\(\\mathbf{b}\\) \u043d\u0430 \\(\\mathbf{a}\\) \u0437\u0430\u0433\u0430\u043b\u043e\u043c \u0434\u0430\u044e\u0442\u044c \u0440\u0456\u0437\u043d\u0456 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438 (\u043f\u043e\u0432\u2019\u044f\u0437\u0430\u043d\u0456 \u043c\u0456\u0436 \u0441\u043e\u0431\u043e\u044e \u043b\u0438\u0448\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0456 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u0457 \u2014 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \\(\\lvert\\mathbf{a}\\rvert\\) \u0442\u0430 \\(\\lvert\\mathbf{b}\\rvert\\)). \u041d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0438\u043a\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f \u0443 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0443 \u00ab\u041f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f\u00bb.<\/li>\n<li><strong>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0456\u0440\u043a\u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0456.<\/strong> \u042f\u043a\u0449\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 0, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0456: \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0454 \u043d\u0443\u043b\u044c\u043e\u0432\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 \u0437\u0431\u0456\u0433\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f \u0437 \u043f\u043e\u0447\u0430\u0442\u043a\u043e\u0432\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c.<\/li>\n<li><strong>\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u044f\u043a \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043d\u0454 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u0435.<\/strong> \u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \\(\\lvert\\mathbf{v}\\rvert = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\\) \u2014 \u0446\u0435 \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043d\u0454 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u0435 \u0442\u0440\u044c\u043e\u0445 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442, \u043f\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0435 \u043d\u0430 \\(\\sqrt{3}\\); \u0442\u043e\u0439 \u0441\u0430\u043c\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f \u0443\u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043d\u043d\u044f \u0437\u0430\u0441\u0442\u043e\u0441\u043e\u0432\u0430\u043d\u043e \u0432 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/kalkuliator-serednoho-kvadratychnoho\/\">\u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0456 \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043d\u044c\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e (RMS)<\/a>.<\/li>\n<li><strong>\u041f\u0430\u0440\u0430\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u0456 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438.<\/strong> \u042f\u043a\u0449\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u0456 (\u043a\u0443\u0442 0\u00b0 \u0430\u0431\u043e 180\u00b0), \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044f \u0437\u0431\u0456\u0433\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f \u0437 \\(\\mathbf{a}\\) (\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043d\u0456\u0441\u0442\u044e \u0434\u043e \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430), \u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430 \u0454 \u043d\u0443\u043b\u044c\u043e\u0432\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0438 \u0434\u0432\u043e\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u043c\u0456\u0440\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0456\u0432, \u0456 \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0442\u0443\u0454 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0456\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u043d\u0430 \u0456\u043d\u0448\u0438\u0439, \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0443\u044e\u0447\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044e, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0454\u043a\u0446\u0456\u044e, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u043e\u0432\u0443, \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a, \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0456 \u0442\u0430 \u043a\u0443\u0442 \u043c\u0456\u0436 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[44],"class_list":["post-4941","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-heometriia"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4941","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4941"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4941\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5770,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4941\/revisions\/5770"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4941"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4941"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4941"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}