{"id":5044,"date":"2026-10-14T16:52:37","date_gmt":"2026-10-14T13:52:37","guid":{"rendered":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/pidnesennia-do-stepenia-za-modulem\/"},"modified":"2026-10-14T16:52:37","modified_gmt":"2026-10-14T13:52:37","slug":"pidnesennia-do-stepenia-za-modulem","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/pidnesennia-do-stepenia-za-modulem\/","title":{"rendered":"\u041a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c"},"content":{"rendered":"<section class=\"not-prose calculator-box\" aria-labelledby=\"calculator-title\"><div class=\"flex items-baseline sm:items-center justify-between gap-2 sm:gap-3\"><div class=\"flex flex-col sm:flex-row sm:items-center gap-2\"><span class=\"icon icon-calculator text-primary-700! text-base! dark:text-primary-300!\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2 id=\"calculator-title\" class=\"text-lg font-display font-bold\">\u041f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c<\/h2><\/div><div class=\"calcdash-favorite group\">\n  <button type=\"button\" class=\"favorite\" id=\"favorite\" data-favorite-id=\"5044\" data-favorite-title=\"\u041f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c\" data-favorite-url=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/pidnesennia-do-stepenia-za-modulem\/\" data-favorite-excerpt=\"\u041c\u0438\u0442\u0442\u0454\u0432\u043e \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u044e\u0454 b^e mod m, \u043d\u0430\u0432\u0456\u0442\u044c \u044f\u043a\u0449\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u043c\u0430\u0454 \u0441\u043e\u0442\u043d\u0456 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u2014 \u0437\u0430 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u043e\u044e \u0448\u0432\u0438\u0434\u043a\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443 \u00ab\u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0439 \u0442\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u00bb. \u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443, \u043d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0442\u0430 \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c; \u0437\u0430 \u0431\u0430\u0436\u0430\u043d\u043d\u044f\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0431\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438 \u043a\u043e\u0436\u0435\u043d \u043a\u0440\u043e\u043a \u043f\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u043e\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f.\" aria-label=\"\u0414\u043e\u0434\u0430\u0442\u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0440\u0430\u043d\u0435\" data-favorite-icon=\"icon icon-arithmetic\">\n    <span class=\"icon icon-shape-star-empty\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\n  <\/button>\n  <div class=\"calcdash-favorite__tip\" aria-hidden=\"true\">\n   <span class=\"favorite-tooltip\" id=\"favorite-tooltip\"><\/span>\n  <\/div>\n  <span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"favorite-status\"><\/span>\n<\/div><\/div><form action=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/pidnesennia-do-stepenia-za-modulem\/\" method=\"POST\" class=\"calculator\" id=\"calculator-5044\" data-post=\"5044\"><fieldset class=\"fieldset-input is-1\"><legend class=\"sr-only\">\u041f\u043e\u043b\u044f \u0432\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044f<\/legend><div class=\"field has-term\" id=\"input-1\"><label for=\"field-1\">\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 (b)<\/label><div class=\"term\">b<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"number\" name=\"osnova_b\" id=\"field-1\" aria-describedby=\"calc-info-1\" placeholder=\"\u043d\u0430\u043f\u0440. 3 \u0430\u0431\u043e -12\" step=\"1\" value=\"3\"\/><small id=\"calc-info-1\">\u0411\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0435 \u0430\u0431\u043e \u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0435<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-2\"><label for=\"field-2\">\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f (e)<\/label><div class=\"term\">e<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"pokaznyk_stepenya_e\" id=\"field-2\" aria-describedby=\"calc-info-2\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 644\" min=\"0\" value=\"644\"\/><small id=\"calc-info-2\">\u041d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e; \u043c\u043e\u0436\u0435 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0441\u0442\u0456\u043b\u044c\u043a\u0438 \u0432\u0435\u043b\u0438\u043a\u0438\u043c, \u0449\u043e b\u1d49 \u043d\u0435\u043c\u043e\u0436\u043b\u0438\u0432\u043e \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0438 \u0431\u0435\u0437\u043f\u043e\u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043d\u044c\u043e<\/small><\/div><div class=\"field has-term\" id=\"input-3\"><label for=\"field-3\">\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c (m)<\/label><div class=\"term\">m<\/div>  <div class=\"absolute bottom-0 left-16 top-8 w-2 h-0.5 bg-blue-500\"><\/div><input type=\"text\" name=\"modul_m\" id=\"field-3\" aria-describedby=\"calc-info-3\" data-number inputmode=\"decimal\" autocomplete=\"off\" spellcheck=\"false\" placeholder=\"e.g. 645\" min=\"1\" value=\"645\"\/><small id=\"calc-info-3\">\u0414\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/small><\/div><div class=\"field is-checkbox\" id=\"input-4\"><input type=\"checkbox\" id=\"field-4\" value=\"1\" checked=\"checked\"\/><label for=\"field-4\">\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0438 \u043a\u0440\u043e\u043a\u0438 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0430<\/label><\/div><\/fieldset><div class=\"buttons\"><button type=\"submit\" data-text=\"\u041f\u0435\u0440\u0435\u0440\u0430\u0445\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438\" id=\"calculate-button\" data-post=\"5044\">\u0420\u043e\u0437\u0440\u0430\u0445\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438<\/button><button type=\"reset\">\u0421\u043a\u0438\u043d\u0443\u0442\u0438<\/button><\/div><div class=\"field is-checkbox hidden!\" id=\"field-auto-calc\"><input type=\"checkbox\" id=\"auto-calc\"><label for=\"auto-calc\">\u0420\u0430\u0445\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e<\/label><small>\u042f\u043a\u0449\u043e \u0443\u0432\u0456\u043c\u043a\u043d\u0435\u043d\u043e, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043e\u043d\u043e\u0432\u043b\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438\u043c\u0435\u0442\u044c\u0441\u044f \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0456\u0441\u043b\u044f \u0437\u043c\u0456\u043d\u0438 \u0431\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f.<\/small><\/div><div class=\"fieldset-result is-hidden\" aria-labelledby=\"result-title\" aria-live=\"polite\" role=\"region\"> <h3 class=\"result-title bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 dark:from-primary-900 dark:to-gray-800\" id=\"result-title\"><span class=\"icon icon-s-pulse\" aria-hidden=\"true\"><\/span> \u0412\u0430\u0448\u0456 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0438<\/h3><div class=\"result-box\"><div class=\"field-result\" id=\"output-1\"><span class=\"field-title\"><span>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 (b\u1d49 mod m)<\/span><span class=\"result-term\">b\u1d49 mod m<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-1\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result\" id=\"output-2\"><span class=\"field-title\"><span>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 (b mod m)<\/span><span class=\"result-term\">b mod m<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-2\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><div class=\"field-result is-column\" id=\"output-3\"><span class=\"field-title\"><span>\u041a\u0440\u043e\u043a\u0438 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0430<\/span><\/span><span class=\"field-value\" id=\"result-3\"><\/span><button type=\"button\" class=\"copy-result\" data-tooltip=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\" aria-label=\"\u041a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\"><span class=\"copy-icon icon icon-document-copy\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/button><\/div><\/div><div class=\"result-actions\"><button type=\"button\" class=\"copy-link\"><svg viewBox=\"0 0 20 20\" fill=\"currentColor\" aria-hidden=\"true\"><path d=\"M12.232 4.232a2.5 2.5 0 0 1 3.536 3.536l-1.225 1.224a.75.75 0 0 0 1.061 1.06l1.224-1.224a4 4 0 0 0-5.656-5.656l-3 3a4 4 0 0 0 .225 5.865.75.75 0 0 0 .977-1.138 2.5 2.5 0 0 1-.142-3.667l3-3Z\"\/><path d=\"M11.603 7.963a.75.75 0 0 0-.977 1.138 2.5 2.5 0 0 1 .142 3.667l-3 3a2.5 2.5 0 0 1-3.536-3.536l1.225-1.224a.75.75 0 0 0-1.061-1.06l-1.224 1.224a4 4 0 1 0 5.656 5.656l3-3a4 4 0 0 0-.225-5.865Z\"\/><\/svg><span class=\"copy-link__text\">\u0421\u043a\u043e\u043f\u0456\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0438\u043b\u0430\u043d\u043d\u044f \u043d\u0430 \u0446\u0435\u0439 \u0440\u043e\u0437\u0440\u0430\u0445\u0443\u043d\u043e\u043a<\/span><\/button><span class=\"sr-only\" role=\"status\" id=\"copy-link-status\"><\/span><\/div><\/div><a href=\"#respond\" class=\"hidden transition-opacity duration-300 opacity-0 w-50 text-sm justify-center items-center gap-2 px-4 py-2 rounded bg-gray-200 text-gray-700 hover:bg-gray-300\" id=\"leave-comment\"><span class=\"icon icon-comments\" aria-hidden=\"true\"><\/span>\u0417\u0430\u043b\u0438\u0448\u0438\u0442\u0438 \u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440<\/a><\/form><\/section><section id=\"calc-reactions\" class=\"not-prose hidden my-12 bg-gradient-to-r from-primary-50 to-gray-50 border border-indigo-100 rounded-xl px-6 py-4 shadow-sm\" data-post=\"5044\" aria-live=\"polite\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\"><p id=\"calc-reactions-title\" class=\"text-sm text-gray-500 text-center mb-2\">\u042f\u043a \u0432\u0430\u043c \u0446\u0435\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442?<\/p><div role=\"group\" aria-labelledby=\"calc-reactions-title\" class=\"grid grid-cols-3 sm:flex sm:flex-row sm:justify-around gap-4 sm:items-center sm:flex-wrap\"><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"like\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"like\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude00 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"helpful\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"helpful\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\udca1 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041a\u043e\u0440\u0438\u0441\u043d\u043e <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"confused\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"confused\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude15 <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041d\u0435\u0437\u0440\u043e\u0437\u0443\u043c\u0456\u043b\u043e <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"disappointed\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"disappointed\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\ud83d\ude1e <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u0420\u043e\u0437\u0447\u0430\u0440\u043e\u0432\u0443\u0454 <\/span><\/button><button type=\"button\" aria-pressed=\"false\" class=\"reaction-btn flex flex-col items-center gap-1 text-sm text-gray-700 hover:text-primary-600 cursor-pointer transition-transform hover:scale-105\" data-reaction=\"inaccurate\"><span class=\"reaction-count\" data-reaction-count=\"inaccurate\">0<\/span><span class=\"reaction text-3xl\" aria-hidden=\"true\">\u274c <\/span><span class=\"reaction-description font-medium\">\u041d\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e <\/span><\/button><\/div><div id=\"reaction-message\" class=\"hidden mt-8 rounded-md border border-primary-100 bg-white\/50 backdrop-blur-sm px-4 py-2 text-sm text-center shadow-sm\"><\/div><\/section><div class=\"calcdash-ad not-prose calcdash-ad--calc_result calcdash-ad--in-article\"><ins class=\"adsbygoogle\" style=\"display:block\" data-ad-client=\"ca-pub-1721569815777345\" data-ad-slot=\"6317458308\" data-ad-layout=\"in-article\" data-ad-format=\"fluid\"><\/ins><script>(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});<\/script><\/div>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-1\">.formula-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section class=\"formula-box\" aria-labelledby=\"formula-title\">\r\n\t<div id=\"formula-title\" class=\"not-prose font-display mb-4\"><span class=\"icon icon-formula\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c<\/h2><\/div>\r\n\t<figure class=\"not-prose formula\">\r\n\t\t<figcaption class=\"formula-title\">\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430<\/figcaption>\r\n\t\t<div class=\"text-base text-gray-800\" id=\"formula\">\n\\[ c \\;=\\; b^e \\bmod m \\]\n\\[ e = \\sum_{k=0}^{n} e_k\\,2^k \\;\\;\\Longrightarrow\\;\\; b^e \\;\\equiv\\; \\prod_{k:\\; e_k = 1} \\bigl(b^{2^k} \\bmod m\\bigr) \\pmod{m}, \\qquad b^{2^k} \\equiv \\bigl(b^{2^{k-1}}\\bigr)^2 \\pmod{m} \\]\n<\/div>\r\n\t<\/figure>\r\n\t<\/p>\n<p><strong>\u0414\u0435:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\\(b\\) \u2014 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 (\u0431\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e)<\/li>\n<li>\\(e\\) \u2014 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f (\u043d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e)<\/li>\n<li>\\(m\\) \u2014 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c (\u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e)<\/li>\n<li>\\(e_k\\) \u2014 \u0431\u0456\u0442\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \\(e\\) \u0443 \u0434\u0432\u0456\u0439\u043a\u043e\u0432\u043e\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0456<\/li>\n<li>\\(c\\) \u2014 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442: \u043e\u0441\u0442\u0430\u0447\u0430 \u0432\u0456\u0434 \u0434\u0456\u043b\u0435\u043d\u043d\u044f \\(b^e\\) \u043d\u0430 \\(m\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0448\u0438\u0439 \u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u2014 \u0446\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0435 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u0439 \u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u043c\u0456\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0442\u043e\u0436\u043d\u0456\u0441\u0442\u044c \u00ab\u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0439 \u0442\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u00bb (\u0434\u0432\u0456\u0439\u043a\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f), \u043d\u0430 \u044f\u043a\u0456\u0439 \u043f\u0440\u0430\u0446\u044e\u0454 \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440: \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0440\u043e\u0437\u043a\u043b\u0430\u0434\u0430\u0454\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0456 \u0434\u0432\u0456\u0439\u043a\u0438, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f \\(b^{2^k}\\) \u0437\u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u043e\u0432\u043d\u0438\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f\u043c, \u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0443\u044e\u0442\u044c\u0441\u044f \u043b\u0438\u0448\u0435 \u0442\u0456 \u0437 \u043d\u0438\u0445, \u0449\u043e \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u0430\u044e\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0438\u043c \u0431\u0456\u0442\u0430\u043c \u2014 \u0456 \u0432\u0441\u0435 \u0446\u0435 \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \\(m\\), \u0442\u043e\u0436 \u043f\u0440\u043e\u043c\u0456\u0436\u043d\u0456 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0456\u043a\u043e\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u00ab\u0432\u0438\u0431\u0443\u0445\u0430\u044e\u0442\u044c\u00bb \u0434\u043e \u0430\u0441\u0442\u0440\u043e\u043d\u043e\u043c\u0456\u0447\u043d\u0438\u0445 \u0440\u043e\u0437\u043c\u0456\u0440\u0456\u0432.<\/p>\n<p>\r\n<\/section>\n<style id=\"wpcoderpro-inline-2\">.calculation-box {\r\n\tborder-bottom: none !important;\r\n}<\/style><section id=\"calculation\" class=\"calculation-box\" aria-labelledby=\"calculation-title\">\r\n\t<div id=\"calculation-title\" class=\"not-prose font-display\"><span class=\"icon icon-unordered-list\" aria-hidden=\"true\"><\/span><h2>\u041f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \u2014 \u043f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044f<\/h2><\/div>\r\n\r\n<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434:<\/strong> \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c\u043e \\(3^{644} \\bmod 645\\) \u2014 \u0446\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0456 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0430. \u0427\u0438\u0441\u043b\u043e \\(3^{644}\\) \u043c\u0430\u0454 308 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u0442\u043e\u0436 \u0441\u043f\u0435\u0440\u0448\u0443 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0438 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0456\u043d\u044c, \u0430 \u0432\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0442\u0456\u043c \u0437\u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0447\u0443 \u2014 \u0431\u0435\u0437\u043d\u0430\u0434\u0456\u0439\u043d\u0430 \u0456\u0434\u0435\u044f.<\/p>\n<p><strong>\u041a\u0440\u043e\u043a 1 \u2014 \u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443:<\/strong> \\(3 \\bmod 645 = 3\\).<\/p>\n<p><strong>\u041a\u0440\u043e\u043a 2 \u2014 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0443 \u0434\u0432\u0456\u0439\u043a\u043e\u0432\u0456\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0456:<\/strong><\/p>\n<p>\\[ 644 = 512 + 128 + 4 = 1010000100_2 \\]<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u043e\u0432\u043d\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c 645 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0438\u0445 \u0431\u0456\u0442\u0456\u0432 \u0434\u0430\u0454 \\(3^4 \\equiv 81\\), \\(3^{128} \\equiv 396\\) \u0442\u0430 \\(3^{512} \\equiv 111 \\pmod{645}\\).<\/p>\n<p><strong>\u041a\u0440\u043e\u043a 3 \u2014 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c\u043e \u0446\u0456 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f, \u0449\u043e\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0437\u0432\u043e\u0434\u044f\u0447\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c 645:<\/strong><\/p>\n<p>\\[ 3^{644} \\equiv 81 \\times 396 \\times 111 \\equiv 471 \\times 111 \\equiv 52281 \\equiv 36 \\pmod{645} \\]<\/p>\n<p><strong>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442:<\/strong> \\(3^{644} \\bmod 645 = 36\\). \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 \u0437\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u0438\u043b\u043e\u0441\u044f \u043b\u0438\u0448\u0435 9 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u044c \u0456 3 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044f \u2014 12 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u0438\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0456\u0439 \u0437\u0430\u043c\u0456\u0441\u0442\u044c 643, \u044f\u043a\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0432\u0430\u0432 \u0431\u0438 \u043d\u0430\u0439\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0456\u0448\u0438\u0439 \u043f\u0456\u0434\u0445\u0456\u0434.<\/p>\n<p>\n\r\n<\/section>\n<h2>\u042f\u043a \u043a\u043e\u0440\u0438\u0441\u0442\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438\u0441\u044f \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c<\/h2>\n<ol>\n<li>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c <strong>\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443 (b)<\/strong> \u2014 \u0431\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0435 \u0430\u0431\u043e \u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0435.<\/li>\n<li>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c <strong>\u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f (e)<\/strong> \u2014 \u043d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. \u0412\u0456\u043d \u043c\u043e\u0436\u0435 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0441\u0442\u0456\u043b\u044c\u043a\u0438 \u0432\u0435\u043b\u0438\u043a\u0438\u043c, \u0449\u043e \\(b^e\\) \u043d\u0435\u043c\u043e\u0436\u043b\u0438\u0432\u043e \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0438 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443; \u0441\u0430\u043c\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0432\u0438\u043f\u0430\u0434\u043a\u0456\u0432 \u0456 \u0441\u0442\u0432\u043e\u0440\u0435\u043d\u043e \u0446\u0435\u0439 \u0456\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442.<\/li>\n<li>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c <strong>\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c (m)<\/strong> \u2014 \u0431\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u0435 \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/li>\n<li>\u0417\u0430\u043b\u0438\u0448\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u043a\u0443 <strong>\u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u043a\u0440\u043e\u043a\u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u043e\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f<\/strong>, \u044f\u043a\u0449\u043e \u0445\u043e\u0447\u0435\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0431\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438 \u0434\u0432\u0456\u0439\u043a\u043e\u0432\u0438\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430 \u0456 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044e \u0432\u0441\u0456\u0445 \u043a\u0440\u043e\u043a\u0456\u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f; \u0437\u043d\u0456\u043c\u0456\u0442\u044c \u0457\u0457, \u0449\u043e\u0431 \u043e\u0442\u0440\u0438\u043c\u0430\u0442\u0438 \u043b\u0438\u0448\u0435 \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u044c.<\/li>\n<li>\u041e\u0437\u043d\u0430\u0439\u043e\u043c\u0442\u0435\u0441\u044f \u0437 <strong>\u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c (b\u1d49 mod m)<\/strong>, <strong>\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043e\u044e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043e\u044e (b mod m)<\/strong> \u0456 \u043f\u043e\u043a\u0440\u043e\u043a\u043e\u0432\u0438\u043c \u0440\u043e\u0437\u0432\u2019\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u044f\u043c.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u0429\u043e \u0442\u0430\u043a\u0435 \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c?<\/h2>\n<p>\u041f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u0430\u0454 \u043d\u0430 \u043f\u0438\u0442\u0430\u043d\u043d\u044f: <em>\u044f\u043a\u0430 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0447\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0456\u043b\u0435\u043d\u043d\u0456 \\(b^e\\) \u043d\u0430 \\(m\\)?<\/em> \u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0436\u0434\u0438 \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442\u044c \u043c\u0456\u0436 \\(0\\) \u0456 \\(m-1\\). \u0406\u043d\u0430\u043a\u0448\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0443\u0447\u0438, \u0446\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\(c\\), \u0434\u043b\u044f \u044f\u043a\u043e\u0433\u043e \\(0 \\le c &lt; m\\) \u0456 \\(b^e \\equiv c \\pmod{m}\\). \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434, \u0442\u043e\u0442\u043e\u0436\u043d\u0456\u0441\u0442\u044c \\(3^{644} \\bmod 645 = 36\\) \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0454, \u0449\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \\(3^{644}\\) \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0456\u043b\u0435\u043d\u043d\u0456 \u043d\u0430 645 \u0434\u0430\u0454 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0447\u0443 36.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0456\u0448\u0438\u0439 \u0448\u043b\u044f\u0445 \u2014 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0438 \\(b^e\\), \u0430 \u043f\u043e\u0442\u0456\u043c \u0437\u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0447\u0443 \u2014 \u0434\u0443\u0436\u0435 \u0448\u0432\u0438\u0434\u043a\u043e \u0437\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0443 \u0433\u043b\u0443\u0445\u0438\u0439 \u043a\u0443\u0442. \\(3^{644}\\) \u0432\u0436\u0435 \u043c\u0430\u0454 308 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u0430 \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0456\u0457 \u0440\u0435\u0433\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e \u0432\u0438\u043a\u043e\u0440\u0438\u0441\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e\u0442\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a\u0438 \u0437 \u0441\u043e\u0442\u043d\u044f\u043c\u0438 \u0446\u0438\u0444\u0440: \u0443 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0437\u0456 \\(b^e\\) \u043c\u0430\u043b\u043e \u0431 \u0431\u0456\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u043d\u0456\u0436 \u0430\u0442\u043e\u043c\u0456\u0432 \u0443 \u0412\u0441\u0435\u0441\u0432\u0456\u0442\u0456. \u0420\u043e\u0437\u0432\u2019\u044f\u0437\u043e\u043a \u2014 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u00ab\u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0439 \u0442\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u00bb: \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0443\u0454\u043c\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0443 \u0434\u0432\u0456\u0439\u043a\u043e\u0432\u0456\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0456, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u043e\u0432\u043d\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0454\u043c\u043e \u0437\u0456 \u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044f\u043c \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c, \u0449\u043e\u0431 \u043e\u0442\u0440\u0438\u043c\u0430\u0442\u0438 \\(b^{2^k} \\bmod m\\), \u0456 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0443\u0454\u043c\u043e \u043b\u0438\u0448\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043b\u044f \u043e\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0438\u0445 \u0431\u0456\u0442\u0456\u0432. \u0426\u0435 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0454 \u043b\u0438\u0448\u0435 \\(O(\\log e)\\) \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u0438\u0445 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u044c \u0437\u0430\u043c\u0456\u0441\u0442\u044c \\(e-1\\), \u0430 \u043e\u0441\u043a\u0456\u043b\u044c\u043a\u0438 \u043a\u043e\u0436\u0435\u043d \u043f\u0440\u043e\u043c\u0456\u0436\u043d\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \\(m\\), \u0436\u043e\u0434\u043d\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0456\u043a\u043e\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0438\u0449\u0443\u0454 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0437\u043d\u043e \\(m^2\\).<\/p>\n<p>\u041f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \u2014 \u0440\u043e\u0431\u043e\u0447\u0430 \u043a\u043e\u043d\u044f\u0447\u043a\u0430 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0456\u0457 \u0437 \u0432\u0456\u0434\u043a\u0440\u0438\u0442\u0438\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043c. \u0428\u0438\u0444\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f \u0456 \u0440\u043e\u0437\u0448\u0438\u0444\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f RSA \u2014 \u0446\u0435 \u043e\u0434\u043d\u0435 \u043f\u0456\u0434\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u043d\u044f \u0434\u043e \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \u0456\u0437 \u0434\u0443\u0436\u0435 \u0432\u0435\u043b\u0438\u043a\u0438\u043c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c; \u043d\u0430 \u043d\u044c\u043e\u043c\u0443 \u0436 \u0431\u0443\u0434\u0443\u044e\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0431\u043c\u0456\u043d \u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u043c\u0438 \u0414\u0456\u0444\u0444\u0456\u2013\u0413\u0435\u043b\u043b\u043c\u0430\u043d\u0430 \u0456 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0415\u043b\u044c-\u0413\u0430\u043c\u0430\u043b\u044f. \u0412\u0456\u043d \u0442\u0430\u043a\u043e\u0436 \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0456 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0456\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u0438, \u044f\u043a-\u043e\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430 \u0456 \u041c\u0456\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430\u2013\u0420\u0430\u0431\u0456\u043d\u0430, \u044f\u043a\u0456 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0456\u0440\u044f\u044e\u0442\u044c \u0443\u043c\u043e\u0432\u0443 \\(a^{n-1} \\equiv 1 \\pmod n\\) \u2014 \u0433\u043b\u0438\u0431\u0448\u0443 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0456\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u0430 \u0432\u0438\u0432\u0447\u0438\u0442\u0438 \u0437\u0430 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u043e\u044e \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0456\u0432 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/mala-teorema-ferma\/\">\u043c\u0430\u043b\u043e\u0457 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0438 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430<\/a> \u0442\u0430 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/teorema-eilera\/\">\u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0438 \u0415\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430<\/a>.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437 \u043a\u0440\u043e\u043a\u0456\u0432 \u0440\u043e\u0431\u0438\u0442\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043f\u0440\u043e\u0437\u043e\u0440\u0438\u043c: \u0443 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0456 \u043d\u0430\u0432\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438 \u043a\u043e\u0436\u043d\u043e\u0457 \u043f\u043e\u0437\u0438\u0446\u0456\u0457 \u0431\u0456\u0442\u0430 \\(k\\) \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0457\u0442\u044c \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u043d\u0435 \\(b^{2^k} \\bmod m\\), \u0432\u0438\u0434\u0456\u043b\u0435\u043d\u0456 \u0440\u044f\u0434\u043a\u0438 \u2014 \u0442\u0456, \u0449\u043e \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u0438\u043a\u043e\u0440\u0438\u0441\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0430 \u0457\u0445\u043d\u0456\u0439 \u0434\u043e\u0431\u0443\u0442\u043e\u043a (\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c \\(m\\)) \u0456 \u0454 \u0432\u0430\u0448\u043e\u044e \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u0434\u044e. \u0421\u0430\u043c\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0446\u0435 \u0440\u043e\u0431\u043b\u044f\u0442\u044c \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u2019\u044e\u0442\u0435\u0440\u043d\u043e\u0457 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0438, \u0456 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0433\u043b\u044f\u0434\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043d\u044c\u043e, \u0449\u043e\u0431 \u0437\u0440\u043e\u0437\u0443\u043c\u0456\u0442\u0438, \u0447\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u0437\u043d\u0456 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u044e\u044e\u0442\u044c\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a \u0434\u0435\u0448\u0435\u0432\u043e.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0438\u043f\u0443\u0449\u0435\u043d\u043d\u044f, \u043e\u0431\u043c\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u044f \u0442\u0430 \u043f\u043e\u0440\u0430\u0434\u0438<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u043c\u0430\u0454 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u043d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0438\u043c.<\/strong> \u0412\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0432\u0438\u043c\u0430\u0433\u0430\u0432 \u0431\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0435\u0440\u043d\u0435\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \\(b\\), \u044f\u043a\u0435 \u0456\u0441\u043d\u0443\u0454 \u043b\u0438\u0448\u0435 \u0437\u0430 \u0443\u043c\u043e\u0432\u0438 \\(\\gcd(b, m) = 1\\). \u0429\u043e\u0431 \u043e\u043f\u0440\u0430\u0446\u044e\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0439 \u0432\u0438\u043f\u0430\u0434\u043e\u043a, \u0441\u043f\u0435\u0440\u0448\u0443 \u0437\u043d\u0430\u0439\u0434\u0456\u0442\u044c \u043e\u0431\u0435\u0440\u043d\u0435\u043d\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0448\u0438\u043c \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/obernenya-za-modulem\/\">\u043e\u0431\u0435\u0440\u043d\u0435\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c<\/a>, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u0456\u043c \u0432\u0438\u043a\u043e\u0440\u0438\u0441\u0442\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0439\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u044f\u043a \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443 \u0437 \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0438\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a\u043e\u043c.<\/li>\n<li><strong>\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u043c\u0430\u0454 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0438\u043c.<\/strong> \u042f\u043a\u0449\u043e \\(m = 1\\), \u0431\u0443\u0434\u044c-\u044f\u043a\u0435 \u0446\u0456\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a\u043e\u043d\u0433\u0440\u0443\u0435\u043d\u0442\u043d\u0435 0, \u0442\u043e\u0436 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 0 \u2014 \u0446\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e \u043a\u043e\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e, \u0430 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043c\u0438\u043b\u043a\u0430.<\/li>\n<li><strong>\u0412\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0456 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0438 \u2014 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430.<\/strong> \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443 \u0441\u043f\u0435\u0440\u0448\u0443 \u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u043d\u0430\u0439\u043c\u0435\u043d\u0448\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u0438\u0448\u043a\u0443 \\(b \\bmod m\\), \u0442\u043e\u043c\u0443 \\(-12\\) \u0456 \\(m - 12\\) \u0434\u0430\u044e\u0442\u044c \u0442\u0443 \u0441\u0430\u043c\u0443 \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u044c.<\/li>\n<li><strong>\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a 0 \u0434\u0430\u0454 \\(1 \\bmod m\\)<\/strong> (\u0449\u043e \u0434\u043e\u0440\u0456\u0432\u043d\u044e\u0454 0 \u043b\u0438\u0448\u0435 \u043f\u0440\u0438 \\(m = 1\\)), \u0443 \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0456 \u0437 \\(b^0 = 1\\).<\/li>\n<li><strong>\u041e\u0431\u043c\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u044f \u043d\u0430 \u0440\u043e\u0437\u043c\u0456\u0440:<\/strong> \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0456 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u043c\u043e\u0436\u0443\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0438 \u0434\u043e 1000 \u0446\u0438\u0444\u0440 \u043a\u043e\u0436\u0435\u043d, \u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u2014 \u0434\u043e\u0441\u044f\u0433\u0430\u0442\u0438 \\(10^{18}\\). \u041e\u0441\u043a\u0456\u043b\u044c\u043a\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0456\u0447\u043d\u0438\u0439 \u0437\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a\u043e\u043c, \u043d\u0430\u0432\u0456\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u0456 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044f \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u044e\u044e\u0442\u044c\u0441\u044f \u043c\u0438\u0442\u0442\u0454\u0432\u043e.<\/li>\n<li><strong>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0456\u0440\u044f\u0439\u0442\u0435 \u0432\u0456\u0434\u043f\u043e\u0432\u0456\u0434\u044c \u0456\u043d\u0448\u0438\u043c \u0448\u043b\u044f\u0445\u043e\u043c:<\/strong> \u0434\u043b\u044f \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u0435\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u0430 \u0440\u043e\u0437\u0431\u0438\u0442\u0438 \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u043d\u0438 \u0437\u0430 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0456 \u043f\u043e\u0442\u0456\u043c \u0441\u043a\u043e\u043c\u0431\u0456\u043d\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0438 \u2014 \u0441\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043d\u0430\u0448 \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 <a href=\"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/matematyka\/kytaiska-teorema-pro-ostachi\/\">\u043a\u0438\u0442\u0430\u0439\u0441\u044c\u043a\u043e\u0457 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e \u043e\u0441\u0442\u0430\u0447\u0456<\/a>, \u0449\u043e\u0431 \u043d\u0435\u0437\u0430\u043b\u0435\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0456\u0440\u0438\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041c\u0438\u0442\u0442\u0454\u0432\u043e \u043e\u0431\u0447\u0438\u0441\u043b\u044e\u0454 b^e mod m, \u043d\u0430\u0432\u0456\u0442\u044c \u044f\u043a\u0449\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u043c\u0430\u0454 \u0441\u043e\u0442\u043d\u0456 \u0446\u0438\u0444\u0440, \u2014 \u0437\u0430 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u043e\u044e \u0448\u0432\u0438\u0434\u043a\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443 \u00ab\u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0439 \u0442\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u00bb. \u0412\u0432\u0435\u0434\u0456\u0442\u044c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443, \u043d\u0435\u0432\u0456\u0434\u2019\u0454\u043c\u043d\u0438\u0439 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u043d\u0438\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f \u0442\u0430 \u0434\u043e\u0434\u0430\u0442\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c; \u0437\u0430 \u0431\u0430\u0436\u0430\u043d\u043d\u044f\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0431\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438 \u043a\u043e\u0436\u0435\u043d \u043a\u0440\u043e\u043a \u043f\u043e\u0441\u043b\u0456\u0434\u043e\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0443\u0432\u0430\u043d\u043d\u044f.<\/p>\n","protected":false},"author":3168,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[20],"class_list":["post-5044","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematyka","tag-arifmetrychni-kalkuliatory"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5044","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3168"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5044"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5044\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5725,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5044\/revisions\/5725"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5044"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5044"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wpcalc.com\/uk\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5044"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}