Калькулятор консольной балки с сосредоточенным моментом (парой сил)

Обновлено: 3 октября, 2026

Вычислите угол поворота свободного конца и прогиб в любом сечении консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом (парой сил). Введите момент, модуль упругости, момент инерции, длину балки и положение сечения.

Формула для консольной балки с сосредоточенным моментом

Формула

\[ \theta_{free} = \frac{M \cdot L}{E \cdot I} \] \[ \delta_x = \frac{M \cdot x^2}{2 \cdot E \cdot I} \]

Где:

\(M\) — сосредоточенный момент (пара сил), приложенный на свободном конце (фунт·дюйм или Н·м)
\(L\) — длина балки от заделки до свободного конца (дюймы или м)
\(x\) — расстояние от заделки до сечения, в котором вычисляется прогиб (дюймы или м)
\(E\) — модуль упругости (модуль Юнга) материала (psi или Па)
\(I\) — осевой момент инерции поперечного сечения балки (дюйм⁴ или м⁴)
\(\theta_{free}\) — угол поворота (наклон) свободного конца, в радианах
\(\delta_x\) — вертикальный прогиб в сечении с координатой \(x\)

Поскольку сосредоточенный момент создаёт постоянный изгибающий момент по всей длине балки, кривизна оказывается равномерной: изогнутая ось представляет собой дугу окружности, поэтому прогиб растёт пропорционально квадрату расстояния от заделки.

Консольная балка с сосредоточенным моментом — пример расчёта

Пример: стальная консольная балка длиной 120 дюймов несёт сосредоточенный момент 500 фунт·дюйм, приложенный по часовой стрелке на свободном конце. Модуль упругости стали составляет 29 000 000 psi, а момент инерции поперечного сечения равен 100 дюйм⁴. Найдите угол поворота свободного конца и прогиб на расстоянии 60 дюймов от заделки.

\[ \theta_{free} = \frac{M \cdot L}{E \cdot I} = \frac{500 \times 120}{29{,}000{,}000 \times 100} = 2.07 \times 10^{-5}\ \text{рад} \]

\[ \delta_{60} = \frac{M \cdot x^2}{2 \cdot E \cdot I} = \frac{500 \times 60^2}{2 \times 29{,}000{,}000 \times 100} = 3.10 \times 10^{-4}\ \text{дюйм} \]

Результат: угол поворота свободного конца составляет примерно 0,0000207 радиан (0,00119°), а прогиб на расстоянии 60 дюймов от заделки — около 0,00031 дюйма.

Как пользоваться калькулятором

Введите Сосредоточенный момент на свободном конце \(M\) — чистый момент, приложенный к концу консоли.
Введите Модуль упругости \(E\) материала балки (например, 29 000 000 psi для стали или 4 350 000 psi для бетона).
Введите Момент инерции сечения \(I\) относительно оси изгиба.
Введите Длину балки \(L\) — от заделки до свободного конца.
Введите Положение нагрузки \(x\) — расстояние от заделки, для которого требуется прогиб. Нажмите кнопку вычисления, чтобы получить Угол поворота свободного конца (в радианах) и Прогиб в выбранном сечении.

Что такое консольная балка с сосредоточенным моментом?

Консольная балка жёстко заделана одним концом и полностью свободна на другом. В отличие от сосредоточенной силы или распределённой нагрузки, сосредоточенный момент — это чистый момент: пара равных и противоположных сил, которая вызывает вращение без равнодействующей силы. Когда такой момент приложен к свободному концу консоли, он создаёт постоянный изгибающий момент \(M\) по всей длине балки.

Этот случай нагружения имеет характерную особенность: поскольку изгибающий момент одинаков во всех сечениях, балка изгибается по дуге окружности с постоянной кривизной \(M / (EI)\). Угол поворота линейно возрастает от нуля в заделке до максимума \(ML/(EI)\) на свободном конце, а прогиб растёт пропорционально квадрату расстояния, достигая \(ML^2/(2EI)\) на конце балки. Обратите внимание: поперечной силы в балке нет нигде — только изгиб.

На практике такой случай встречается везде, где чистый момент передаётся на конец балки: вал машины, создающий изгибающий момент от крутящего момента, соединительная рама или эксцентричная нагрузка, которую можно идеализировать как момент. Это также стандартный «кирпичик» в методах момент-площадей и наложения (суперпозиции), применяемых для анализа более сложных нагрузок, поэтому он присутствует практически в любом курсе сопротивления материалов.

Результаты дают для проектирования две величины: угол поворота свободного конца показывает, насколько поворачивается конец балки (это важно для соединений, соосности и работы механизмов), а прогиб — насколько балка смещается по вертикали в любом сечении. Нормы проектирования обычно ограничивают прогибы долей пролёта — например, L/360, — поэтому всегда сравнивайте вычисленный прогиб с предельным значением, действующим для вашей конструкции.

Допущения и ограничения

Малые прогибы: формулы предполагают линейно-упругое поведение и малые углы поворота, поэтому углы выражаются в радианах, а изогнутая ось точно описывается лишь при условии \(\delta \ll L\).
Деформациями сдвига пренебрегается; результаты основаны на теории балок Эйлера–Бернулли, которая применима к гибким балкам (отношение пролёта к высоте сечения обычно больше 10).
Материал считается однородным, изотропным и линейно-упругим с постоянным \(E\); поперечное сечение — призматическим с постоянным \(I\).
Заделка считается абсолютно жёсткой и полностью защемлённой. Реальные соединения обладают некоторой податливостью, что увеличивает фактические прогибы.
Учитывается только приложенный сосредоточенный момент. Если на балку одновременно действуют другие нагрузки — сосредоточенные силы, равномерно распределённые — используйте метод наложения, чтобы суммировать их эффекты, и проверьте суммарный результат по ограничениям прогиба и прочности, например по максимальной временной нагрузке на перекрытие.
Соблюдайте согласованность единиц: если \(E\) задан в psi, а размеры — в дюймах, то момент должен быть в фунт·дюймах, и результаты получатся в радианах и дюймах. Смешение систем единиц даст бессмысленные результаты.

Для быстрой проверки помните, что максимальный прогиб свободного конца равен просто \(ML^2/(2EI)\) — подставьте \(x = L\) в калькулятор, чтобы убедиться в этом. Если вы также подбираете связанные конструктивные элементы, наши калькуляторы максимальной длины бетонной плиты и максимальной нагрузки от стены на бетонную плиту помогут дополнить проверочные расчёты.

Часто задаваемые вопросы

Какая система знаков принята для угла поворота и прогиба в этом калькуляторе?

Калькулятор возвращает абсолютные значения. По принятому соглашению, сосредоточенный момент, приложенный по часовой стрелке к свободному концу горизонтальной консоли (с заделкой слева), вызывает прогиб вниз и поворот по часовой стрелке, поэтому в полном векторном анализе оба результата были бы отрицательными. Против часовой стрелки момент меняет направление на противоположное. При интерпретации результатов всегда сверяйте физическое направление приложенного момента с вашей системой координат.

Как пользоваться калькулятором с метрическими единицами (СИ)?

Используйте согласованный набор единиц СИ: момент в Н·м, модуль упругости в Па (или МПа — аккуратно переводите: 1 МПа = 10⁶ Па), момент инерции в м⁴, длины в м. Угол поворота получится в радианах, прогиб — в метрах. Распространённая ошибка — ввод I в мм⁴ при том, что остальные величины в метрах: переведите мм⁴ в м⁴, умножив на 10⁻¹².

Почему формула прогиба квадратичная, а формула угла поворота — линейная?

Поскольку изгибающий момент постоянен по всей длине пролёта, кривизна \(M/(EI)\) равномерна, и балка изгибается по дуге окружности. Интегрирование постоянной кривизны один раз даёт угол поворота, линейно растущий с расстоянием от заделки: \(\theta = Mx/(EI)\); повторное интегрирование даёт прогиб, растущий с квадратом расстояния: \(\delta = Mx^2/(2EI)\).

Чем сосредоточенный момент отличается от силы, приложенной на свободном конце?

Сосредоточенная сила создаёт изгибающий момент, который линейно меняется от нуля на свободном конце до максимума у заделки, плюс постоянную поперечную силу. Сосредоточенный момент создаёт одинаковый изгибающий момент во всех сечениях и нулевую поперечную силу. Различаются и изогнутые оси: сила даёт кубическую кривую прогиба с максимальным прогибом конца \(PL^3/(3EI)\), а момент — дугу окружности с прогибом конца \(ML^2/(2EI)\).

Как перевести угол поворота из радиан в градусы или проверить корректность малых углов?

Умножьте результат в радианах на \(180/\pi \approx 57.2958\), чтобы получить градусы. Например, угол поворота \(2.07 \times 10^{-5}\) рад равен примерно 0,00119°. Значения в радианах ниже примерно 0,05 (около 3°) подтверждают справедливость допущения о малых прогибах, лежащего в основе теории Эйлера–Бернулли; если угол больше, линейные формулы могут занижать фактический прогиб.

Что будет, если ввести положение x больше длины балки или x = 0?

При \(x = 0\) прогиб в точности равен нулю — это жёсткая заделка. Ввод \(x = L\) даёт максимальный прогиб конца \(ML^2/(2EI)\), что удобно для проверки. Ввод \(x > L\) вычисляет значение за пределами физической балки, поэтому держите положение между 0 и \(L\). Результат для угла поворота справедлив только на свободном конце и не зависит от \(x\).

Можно ли сочетать этот сосредоточенный момент с другими нагрузками на той же консоли?

Да — используйте метод наложения (суперпозиции). Вычислите угол поворота и прогиб от сосредоточенного момента здесь, а затем прибавьте соответствующие результаты отдельных расчётов для сосредоточенных сил, распределённых нагрузок или собственного веса балки, следя за знаками. Это работает, потому что балка линейно-упругая. Затем проверьте суммарный прогиб по нормативным ограничениям, например L/360, и убедитесь, что суммарный изгибающий момент не превышает несущей способности сечения.