Метод наименьших квадратов

Обновлено: 26 мая, 2025

Онлайн калькулятор нахождения углового коэффициента, точки пересечение и уравнения прямой линии по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Формула метода наименьших квадратов

Формула

$$m = \frac{n \cdot \sum xy - \sum x \cdot \sum y}{n \cdot \sum x^2 - (\sum x)^2}$$

$$b = \frac{\sum y \cdot \sum x^2 - \sum x \cdot \sum xy}{n \cdot \sum x^2 - (\sum x)^2}$$

Где

$$m$$ — угловой коэффициент (наклон прямой)
$$b$$ — свободный член (пересечение с осью y)
$$n$$ — количество точек
$$\sum x$$, $$\sum y$$, $$\sum xy$$, $$\sum x^2$$ — суммы по таблице значений

Пример

Найти регрессию методом наименьших квадратов

Значение X	Значение Y
5	6
2	3
1	6
7	9

Получаем,

Значение X	Значение Y
5	6
2	3
1	6
7	9

Найдем,
Уравнение линии регрессии методом наименьших квадратов

Решение:

Шаг 1 :

Количество значений x.

N = 4

Шаг 2 :

Найдем XY, X² для полученных значений. Смотрите таблицу ниже

Значение X	Значение Y	X*Y	X*X
60	3.1	60 * 3.1 = 186	60 * 60 = 3600
61	3.6	61 * 3.6 = 219.6	61 * 61 = 3721
62	3.8	62 * 3.8 = 235.6	62 * 62 = 3844
63	4	63 * 4 = 252	63 * 63 = 3969
65	4.1	65 * 4.1 = 266.5	65 * 65 = 4225

Шаг 3 :

Найдем ΣX, ΣY, ΣXY;, ΣX² для значений

ΣX = 311
ΣY = 18.6
ΣXY = 1159.7
ΣX² = 19359

Шаг 4 :

Подставим значения в приведенную выше формулу.

Наклон(b) = (NΣXY - (ΣX)(ΣY)) / (NΣX² - (ΣX)²)

= ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)²)
= (5798.5 - 5784.6)/(96795 - 96721)
= 13.9/74
= 0.19

Шаг 5 :

Подставив значения в формулу

Пересечение (a) = (ΣY - b(ΣX)) / N

= (18.6 - 0.19(311))/5
= (18.6 - 59.09)/5
= -40.49/5
= -8.098

Шаг 6 :

Подставим значения в уравнение прямой

Уравнение прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

Предположим, если мы хотим, узнать приблизительное у значение переменной x = 64, необходимо подставить значение в формулу