Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Онлайн калькулятор нахождения углового коэффициента, точки пересечение  и уравнения прямой линии по методу наименьших квадратов

Формула метода наименьших квадратов:

где,

• b = Наклон линии регрессии
• a = Точка пересечения оси Y и линии регрессии.
• X̄ = Среднее значений х
• Ȳ = Среднее значений y
• SD_x = Стандартное отклонение x
• SD_y = Стандартное отклонение y
• r = (NΣxy — ΣxΣy) / корень ((NΣx² — (Σx)²) x (NΣy)² — (Σy)²)

Пример

Найти регрессию методом наименьших квадратов

Получаем,

Найдем,

Уравнение линии регрессии методом наименьших квадратов

Решение:

Шаг 1 :

Количество значений x.

N = 4

Шаг 2 :

Найдем XY, X² для полученных значений. Смотрите таблицу ниже

Шаг 3 :

Найдем ΣX, ΣY, ΣXY;, ΣX² для значений

• ΣX = 311
• ΣY = 18.6
• ΣXY = 1159.7
• ΣX² = 19359

Шаг 4 :

Подставим значения в приведенную выше формулу.

Наклон(b) = (NΣXY — (ΣX)(ΣY)) / (NΣX² — (ΣX)²)

• = ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)²)
• = (5798.5 — 5784.6)/(96795 — 96721)
• = 13.9/74
• = 0.19

Шаг 5 :

Подставив значения в формулу

Пересечение (a) = (ΣY — b(ΣX)) / N

• = (18.6 — 0.19(311))/5
• = (18.6 — 59.09)/5
• = -40.49/5
• = -8.098

Шаг 6 :

Подставим значения в уравнение прямой

Уравнение прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

Предположим, если мы хотим, узнать приблизительное у значение переменной x = 64, необходимо подставить значение в формулу

Уравнение прямой(y) = a + bx

• = -8.098 + 0.19(64)
• = -8.098 + 12.16
• = 4.06

Синонимы: Least-Squares method, МНК