Система линейных уравнений
Система линейных уравнений (или линейной системы) представляет собой набор уравнений с n-м количеством неизвестных и таким же набором переменных.
Теория линейных систем является основной частью линейной алгебры
Есть разные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.
Метод исключения
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения:
Умножаем слагаемые второго уравнения на 2:
4x + 2y = 14
4x - 2y = 2
Добавляем одно уравнение ко второму, получаем
8x = 16
отсюда
x = 2
Вычислив, что х = 2, можно вычислить с помощью одного из двух исходных уравнений у, подставив вместо х значение 2, у = 3
Обращаем внимание, что это не единственный способ решения данной системы уравнений.
Пример 1:
Решите уравнения 3x - 5y = -16 и 2x + 5y = 31 и вычислите значения x и y.
Получаем,
- 3x - 5y = -16
- 2x + 5y = 31
Найдем,
значения x и y
Решение:
Вычислить значение х и у при заданных линейных уравнений с помощью метода исключения.
Шаг 1:
В двух уравнениях коэффициенты 'у' равны. Таким образом, исключить 'Y' легко.
3x - 5y | = -16 ----- (1) | |
2x + 5y | = 31 ----- (2) | |
(1) + (2) | 5x | = 15 |
Получаем, x=15/5 = 3
Шаг 2:
Подставляем значение x = 3 в любое из уравнений. Давайте подставим значение x в первое уравнение, 3x - 5y = -16.
3x - 5y | = -16 |
3(3)-5y | = -16 |
9-5y | = -16 |
-5y | = -16-9 |
-5y | = -25 |
y | = 25/5 |
y | = 5 |
Получаем значения (x,y) = (3,5)
Пример 2:
Даны уравнения 6x + 4y = 6 и 7x - 8y = 10, вычислите значения x и y.
Получаем,
- 6x + 4y = 6
- 7x - 8y = 10
Найдем,
значения x и y
Решение:
Вычислить значение х и у при заданных линейных уравнений с помощью метода исключения.
Шаг 1:
В данных двух уравнений коэффициенты «х» и «у» численно различны. Так, для того, чтобы коэффициенты стали равными, умножим первое уравнение на 2, если первое уравнение умножить на 2, то коэффициент при "у" станут численно равна.
(1) * 2 | 12x +8y | = 12 ----- (3) |
7x - 8y | = 10 ----- (2) | |
(3) + (2) | 19x | = 22 |
Получаем, x = 22/19 = 1.158
Шаг 2:
Подставим значение x = 1.158 в (1) уравнение. 6x + 4y = 6 ---------- (1)
6(1.158) + 4y | = 6 |
6.948 + 4y | = 6 |
4y | = 6-6.948 |
4y | = -0.948 |
y | = -0.948/4 |
y | = -0.237 |
Получаем решение (x,y) = (1.158,-0.237)