Калькулятор радиуса Шварцшильда
Введите массу в килограммах, тоннах, массах Земли или массах Солнца — и узнайте её радиус Шварцшильда, то есть размер горизонта событий, который этот объект имел бы в качестве чёрной дыры, вместе с пояснением результата.
Вычислите радиус горизонта событий для любой массы
Формула радиуса Шварцшильда
Где:
- \(r_s\) — радиус Шварцшильда, радиус горизонта событий (м)
- \(G\) — гравитационная постоянная, \(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M\) — масса объекта (кг)
- \(c\) — скорость света в вакууме, \(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)
Формула даёт критический радиус, при котором вторая космическая скорость для данной массы сравнивается со скоростью света. Если сжать всю массу внутрь этого радиуса, наружу не вырвется ничто — даже свет: объект превращается в чёрную дыру.
Радиус Шварцшильда — пример расчёта
Пример: звезда с массой, равной солнечной, коллапсирует, исчерпав ядерное топливо. Каким будет радиус горизонта событий образовавшейся чёрной дыры? Возьмём \(M = 1\) масса Солнца \(= 1.98847 \times 10^{30}\) кг.
\[ r_s = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.98847 \times 10^{30}}{(2.998 \times 10^{8})^2} = \frac{2.654 \times 10^{20}}{8.988 \times 10^{16}} \approx 2953\ \mathrm{m} \]
Результат: радиус Шварцшильда составляет примерно 2953 м, то есть около 2,95 км. Если бы вся масса Солнца была сжата в шар диаметром чуть меньше 3 км, возникла бы чёрная дыра именно с таким горизонтом.
Как пользоваться калькулятором
- Введите массу объекта (M) в числовое поле — например, 1 для объекта массой в одно Солнце.
- Выберите подходящую единицу измерения из выпадающего списка: кг, г, тонны, фунты, массы Земли или массы Солнца.
- Посмотрите результат — радиус Шварцшильда (rs) выводится в метрах и километрах, а также пересчитывается в сантиметры, миллиметры, мили, футы и астрономические единицы.
- Загляните в блок Подробности и интерпретация: там указаны вторая космическая скорость на горизонте, средняя плотность внутри него и простое объяснение, что означает полученное число.
Что такое радиус Шварцшильда?
Радиус Шварцшильда — это расстояние от центра массы, на котором вторая космическая скорость становится равной скорости света. Он назван в честь Карла Шварцшильда, который нашёл это решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна в 1916 году — спустя всего несколько месяцев после публикации самой теории. Сфера радиуса \(r_s\) вокруг сколлапсировавшего объекта — это его горизонт событий: граница, за которую не может вернуться во внешнюю Вселенную ни сигнал, ни материя, ни свет.
Радиус Шварцшильда есть у любого объекта — он просто пропорционален массе. Проблема в том, что для обычных тел этот радиус смехотворно мал. У человека массой 70 кг \(r_s \approx 10^{-25}\) м — на много порядков меньше протона, поэтому люди не превращаются в чёрные дыры самопроизвольно. Необратимый гравитационный коллапс начинается лишь тогда, когда материя сжимается внутри собственного \(r_s\).
Поскольку \(r_s\) растёт линейно с массой, а объём — пропорционально кубу радиуса, более крупные чёрные дыры в среднем оказываются менее плотными. У сверхмассивной чёрной дыры в миллиард солнечных масс средняя плотность сравнима с плотностью воздуха, тогда как чёрная дыра звёздной массы сжимает плотности, многократно превышающие ядерные. По выводу плотности в калькуляторе эту парадоксальную закономерность легко проследить напрямую.
Результат служит и удобной «линейкой» в астрономии: у чёрной дыры в одну солнечную массу \(r_s \approx 2{,}95\) км, радиус Шварцшильда Земли составил бы около 8,87 мм, а у Стрельца A* — центральной чёрной дыры Млечного Пути массой примерно 4 миллиона солнечных — горизонт имеет поперечник около 12 000 км, то есть чуть больше Земли.
Допущения, ограничения и советы
- Невращающийся и незаряженный объект. Формула описывает идеализированную чёрную дыру Шварцшильда. Реальные чёрные дыры вращаются (чёрные дыры Керра), и их горизонт несколько меньше — у максимально вращающейся вплоть до двух раз. Для повседневных оценок этим различием обычно можно пренебречь.
- Классический подход. Эффекты квантовой гравитации не учитываются. Для крайне малых масс классический горизонт может оказаться меньше планковской длины \(\approx 1.6 \times 10^{-35}\) м, где формула теряет физический смысл.
- Вся масса считается сосредоточенной в центре. Формула предполагает, что вся масса лежит внутри \(r_s\). Звезда или планета той же массы, но крупнее своего радиуса Шварцшильда — просто обычный объект: чёрной дырой она станет, только если её сжать внутрь этого радиуса.
- Для больших объектов используйте крупные единицы. Ввод огромной массы в килограммах может привести к переполнению вычислений. Переключите единицы в выпадающем списке на массы Солнца или Земли, чтобы числа оставались удобными.
- Работаете с излучением горячих аккреционных дисков? Диск светится как абсолютно чёрное тело, поэтому оценить его мощность и длину волны максимума излучения помогут калькулятор закона Стефана — Больцмана и калькулятор закона смещения Вина.
Справочные значения
| Объект | Приблизительная масса | Радиус Шварцшильда |
|---|---|---|
| Человек (70 кг) | 70 кг | \(\sim 10^{-25}\) м |
| Земля | \(5.97 \times 10^{24}\) кг | 8,87 мм |
| Солнце | \(1.99 \times 10^{30}\) кг | 2,95 км |
| Стрелец A* (центр Млечного Пути) | \(\sim 4 \times 10^6\) масс Солнца | \(\sim 1.2 \times 10^7\) км |
| M87* (первая чёрная дыра, получившая изображение) | \(\sim 6.5 \times 10^9\) масс Солнца | \(\sim 1.9 \times 10^{10}\) км |
Каждую строку можно проверить, введя массу в калькулятор с выбранной подходящей единицей — в таблице использованы та же формула и те же постоянные.
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать радиус Шварцшильда вручную?
Умножьте массу на 2 и на гравитационную постоянную, а затем разделите на квадрат скорости света: \(r_s = 2GM/c^2\). Удобное правило: \(r_s \approx 1.48 \times 10^{-27}\) м на килограмм, то есть достаточно умножить массу в кг на этот коэффициент. Например, для 1000 кг получим \(r_s \approx 1.5 \times 10^{-24}\) м — огромные постоянные по отдельности обрабатывать не придётся.
Каким бывает типичный, «нормальный» радиус Шварцшильда?
Всё зависит от массы: радиус составляет примерно 2,95 км на одну солнечную массу. У чёрной дыры в 10 масс Солнца (типичная сколлапсировавшая звезда) горизонт близок к 30 км, масса Земли дала бы около 8,87 мм, а у сверхмассивных чёрных дыр горизонты достигают миллионов и миллиардов километров. Единого «нормального» значения нет — есть лишь линейная зависимость от массы.
Радиус Шварцшильда — это размер чёрной дыры?
Это радиус горизонта событий — ближайшего аналога «поверхности» у чёрной дыры. Строго говоря, на самом горизонте нет ничего физического — это граница в пространстве-времени. Сингулярность находится в центре, и вещество, из которого образовалась дыра, сжалось именно в неё, так что внутри горизонта — в основном пустое пространство плюс всё, что падает извне.
Как перевести результат в мили, футы или астрономические единицы?
Калькулятор делает это автоматически. Если считаете вручную: разделите метры на 1609,344 — получите мили, на 0,3048 — футы, на \(1.496 \times 10^{11}\) — астрономические единицы. Например, горизонт Солнца радиусом 2953 м — это примерно 1,84 мили, 9690 футов или \(2 \times 10^{-8}\) а. е.: по сравнению с расстоянием от Земли до Солнца это меньше атома.
Есть ли радиус Шварцшильда у моего тела или у бытовых предметов?
Да, он есть у любой массы: у человека весом 70 кг это примерно \(10^{-25}\) м — примерно на десять порядков меньше протона. Никакой опасности тут нет: объект станет чёрной дырой, только если что-то сожмёт его внутрь этого радиуса, а для обычной материи такого физического процесса не существует. Это лишь теоретический предел.
Почему у более крупных чёрных дыр меньше средняя плотность?
Потому что масса растёт линейно с радиусом Шварцшильда, а заключённый объём — пропорционально кубу радиуса: \(\rho = 3c^6/(32\pi G^3 M^2)\). Удвоение массы удваивает радиус, но увеличивает объём в восемь раз, поэтому средняя плотность падает вчетверо. Именно поэтому у чёрной дыры в миллиард солнечных масс средняя плотность примерно как у воздуха, а у дыры звёздной массы она многократно превышает ядерную.
Какие ошибки чаще всего допускают при использовании формулы?
Самая частая ошибка — смешение единиц: массу всегда нужно переводить в килограммы, а для \(G\) и \(c\) использовать значения СИ. Другие типичные промахи: забыть, что результат получается в метрах (а не в километрах), считать, что формула применима к текущему размеру звезды (она важна, лишь когда масса помещается внутрь \(r_s\)), и игнорировать то, что вращение уменьшает реальный горизонт — у чёрной дыры Керра вплоть до двух раз.