Kalkulator promienia Schwarzschilda
Wpisz dowolną masę w kilogramach, tonach, masach Ziemi lub masach Słońca, aby obliczyć jej promień Schwarzschilda — rozmiar horyzontu zdarzeń, jaki miałby obiekt jako czarna dziura, wraz z interpretacją wyniku.
Oblicz promień horyzontu zdarzeń dla dowolnej masy
Wzór na promień Schwarzschilda
gdzie:
- \(r_s\) — promień Schwarzschilda, czyli promień horyzontu zdarzeń (m)
- \(G\) — stała grawitacji, \(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M\) — masa obiektu (kg)
- \(c\) — prędkość światła w próżni, \(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)
Wzór wyznacza promień krytyczny, przy którym prędkość ucieczki od danej masy równa się prędkości światła. Jeśli całą masę ściskamy w obrębie tego promienia, nic — ani nawet światło — nie może się wydostać: obiekt staje się czarną dziurą.
Promień Schwarzschilda – przykład obliczenia
Przykład: gwiazda o masie równej masie Słońca zapada się po wypaleniu paliwa jądrowego. Jaki promień horyzontu zdarzeń będzie miała powstała czarna dziura? Przyjmij \(M = 1\) masa Słońca \(= 1.98847 \times 10^{30}\) kg.
\[ r_s = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.98847 \times 10^{30}}{(2.998 \times 10^{8})^2} = \frac{2.654 \times 10^{20}}{8.988 \times 10^{16}} \approx 2953\ \mathrm{m} \]
Wynik: promień Schwarzschilda wynosi około 2953 m, czyli z grubsza 2,95 km. Cała masa Słońca ściśnięta w kuli o średnicy nieco mniejszej niż 3 km utworzyłaby czarną dziurę z takim właśnie horyzontem.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz masę obiektu (M) w polu liczbowym — na przykład 1 dla obiektu o masie Słońca.
- Wybierz pasującą jednostkę z listy rozwijanej: kg, g, tony, funty, masy Ziemi lub masy Słońca.
- Odczytaj wynik — promień Schwarzschilda (rs) podany w metrach i kilometrach, z przeliczeniem na cm, mm, mile, stopy i jednostki astronomiczne.
- Zajrzyj do bloku Szczegóły i interpretacja, aby sprawdzić prędkość ucieczki na horyzoncie, średnią gęstość w jego wnętrzu oraz przystępne wyjaśnienie, co dana liczba oznacza.
Czym jest promień Schwarzschilda?
Promień Schwarzschilda to odległość od środka masy, przy której prędkość ucieczki równa się prędkości światła. Nazwa pochodzi od Karla Schwarzschilda, który znalazł to rozwiązanie równań ogólnej teorii względności Einsteina w 1916 roku, zaledwie kilka miesięcy po publikacji teorii. Sfera o promieniu \(r_s\) wokół zapadającego się obiektu to jego horyzont zdarzeń: granica, poza którą żaden sygnał, materia ani światło nigdy nie wracają do zewnętrznego Wszechświata.
Każdy obiekt ma swój promień Schwarzschilda — jest on po prostu proporcjonalny do masy. Haczyk w tym, że dla zwykłych obiektów jest on absurdalnie mały. Człowiek o masie 70 kg ma \(r_s \approx 10^{-25}\) m, czyli wiele rzędów wielkości mniej niż proton — dlatego ludzie nie zamieniają się sami z siebie w czarne dziury. Dopiero gdy materia zostaje ściśnięta w obrębie własnego \(r_s\), kolaps grawitacyjny staje się nie do zatrzymania.
Ponieważ \(r_s\) rośnie liniowo z masą, a objętość z trzecią potęgą promienia, większe czarne dziury są średnio mniej gęste. Supermasywna czarna dziura o miliardzie mas Słońca ma średnią gęstość porównywalną z powietrzem, podczas gdy czarna dziura o masie gwiazdowej osiąga gęstości daleko przewyższające materię jądrową. Wynik gęstości w kalkulatorze pozwala zobaczyć ten nieintuicyjny trend bezpośrednio.
Wynik to także wygodna miara w astronomii: czarna dziura o jednej masie Słońca ma \(r_s \approx 2.95\) km, promień masy Ziemi wyniósłby około 8,87 mm, a Sagittarius A*, centralna czarna dziura Drogi Mlecznej o masie około 4 milionów mas Słońca, ma horyzont o średnicy około 12 000 km — kulę nieco większą od Ziemi.
Założenia, ograniczenia i wskazówki
- Obiekt nierotujący i nieelektryzowany. Wzór opisuje idealizowaną czarną dziurę Schwarzschilda. Prawdziwe czarne dziury rotują (czarne dziury Kerra), a ich horyzonty są nieco mniejsze — dla maksymalnie rotującej nawet dwukrotnie. W codziennych szacunkach różnica ta jest zwykle do zaakceptowania.
- Podejście klasyczne. Efekty grawitacji kwantowej są pomijane. Dla ekstremalnie małych mas klasyczny rozmiar horyzontu może być mniejszy niż długość Plancka \(\approx 1.6 \times 10^{-35}\) m, gdzie wzór traci sens fizyczny.
- Cała masa w centrum. Wzór zakłada, że cała masa mieści się w obrębie \(r_s\). Gwiazda lub planeta o tej samej masie, ale większa niż jej promień Schwarzschilda, to po prostu zwykły obiekt — czarną dziurą staje się dopiero po ściśnięciu wewnątrz tego promienia.
- Duże jednostki dla dużych obiektów. Wpisanie ogromnej masy w kilogramach może przekroczyć zakres obliczeń. Przełącz listę jednostek na masy Słońca lub masy Ziemi, aby liczby pozostały znośne.
- Pracujesz z promieniowaniem gorących dysków akrecyjnych? Dysk świeci jak ciało doskonale czarne, więc kalkulator prawa Stefana-Boltzmanna i kalkulator prawa przesunięcia Wiena pomogą Ci oszacować jego moc promieniowania i długość fali maksymalnej.
Wartości odniesienia
| Obiekt | Masa (w przybliżeniu) | Promień Schwarzschilda |
|---|---|---|
| Człowiek (70 kg) | 70 kg | \(\sim 10^{-25}\) m |
| Ziemia | \(5.97 \times 10^{24}\) kg | 8,87 mm |
| Słońce | \(1.99 \times 10^{30}\) kg | 2,95 km |
| Sagittarius A* (centrum Drogi Mlecznej) | \(\sim 4 \times 10^6\) mas Słońca | \(\sim 1.2 \times 10^7\) km |
| M87* (pierwsza sfotografowana czarna dziura) | \(\sim 6.5 \times 10^9\) mas Słońca | \(\sim 1.9 \times 10^{10}\) km |
Każdy wiersz możesz zweryfikować, wpisując masę do kalkulatora z odpowiednią jednostką — powyższe wyniki korzystają z tego samego wzoru i stałych.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć promień Schwarzschilda ręcznie?
Pomnóż masę przez 2 i przez stałą grawitacji, a następnie podziel przez kwadrat prędkości światła: \(r_s = 2GM/c^2\). Wygodny skrót: \(r_s \approx 1.48 \times 10^{-27}\) m na kilogram, więc wystarczy pomnożyć masę w kg przez ten współczynnik. Na przykład 1000 kg daje \(r_s \approx 1.5 \times 10^{-24}\) m — nie musisz osobno żonglować wielkimi stałymi.
Jaki jest typowy, „normalny” promień Schwarzschilda?
Zależy wyłącznie od masy: promień wynosi około 2,95 km na jedną masę Słońca. Czarna dziura o 10 masach Słońca (typowa gwiazda po zapaści) ma horyzont w okolicach 30 km, masa Ziemi dałaby około 8,87 mm, a supermasywne czarne dziury mają horyzonty liczone od milionów do miliardów kilometrów. Nie istnieje jedna „normalna” wartość — jest tylko liniowe skalowanie z masą.
Czy promień Schwarzschilda to rozmiar czarnej dziury?
To promień horyzontu zdarzeń — najbliższy odpowiednik „powierzchni”, jaki czarna dziura posiada. Ściśle rzecz biorąc, na samym horyzoncie nie istnieje nic fizycznego — to granica w czasoprzestrzeni. Osobliwość znajduje się w centrum, a materia, z której powstała dziura, zapadła się właśnie w nią, więc horyzont otacza głównie pustą przestrzeń oraz to, co akurat spada do środka.
Jak przeliczyć wynik na mile, stopy lub jednostki astronomiczne?
Kalkulator robi to automatycznie. Jeśli liczysz ręcznie: podziel metry przez 1609,344, aby otrzymać mile, przez 0,3048 dla stóp albo przez \(1.496 \times 10^{11}\) dla jednostek astronomicznych. Na przykład horyzont Słońca o promieniu 2953 m to około 1,84 mili, 9690 stóp albo \(2 \times 10^{-8}\) AU — to w skali odległości Ziemia–Słońce mniej niż rozmiar atomu.
Czy moje ciało lub codzienne przedmioty mają promień Schwarzschilda?
Tak, każda masa go ma — u osoby ważącej 70 kg wynosi on około \(10^{-25}\) m, czyli o około dziesięć rzędów wielkości mniej niż proton. Jest to całkowicie nieszkodliwe: obiekt stałby się czarną dziurą dopiero, gdyby coś ściśnęło go w obrębie tego promienia, a żaden proces fizyczny nie jest w stanie tego zrobić ze zwykłą materią. Ta liczba to wyłącznie granica teoretyczna.
Dlaczego większe czarne dziury mają mniejszą średnią gęstość?
Ponieważ masa rośnie liniowo z promieniem Schwarzschilda, a objętość wewnątrz horyzontu rośnie z trzecią potęgą promienia: \(\rho = 3c^6/(32\pi G^3 M^2)\). Podwojenie masy podwaja promień, ale ośmiokrotnie zwiększa objętość, więc średnia gęstość spada czterokrotnie. Dlatego czarna dziura o miliardzie mas Słońca ma średnio gęstość zbliżoną do powietrza, a czarna dziura o masie gwiazdowej przekracza gęstości materii jądrowej.
Jakie błędy najczęściej popełnia się przy korzystaniu ze wzoru?
Najczęstszy błąd to mieszanie jednostek — zawsze przelicz masę na kilogramy i używaj wartości SI dla \(G\) oraz \(c\) przed podstawieniem. Inne pułapki: zapominanie, że wynik jest w metrach (nie w kilometrach), zakładanie, że wzór dotyczy obecnego rozmiaru gwiazdy (ma znaczenie dopiero, gdy cała masa mieści się w \(r_s\)) oraz pomijanie faktu, że rotacja zmniejsza rzeczywisty horyzont nawet dwukrotnie w przypadku czarnej dziury Kerra.