Calculadora del radio de Schwarzschild
Introduce cualquier masa en kg, toneladas, masas terrestres o masas solares para calcular su radio de Schwarzschild: el tamaño del horizonte de sucesos que tendría el objeto como agujero negro, con la interpretación del resultado.
Calcula el radio del horizonte de sucesos de cualquier masa
Fórmula del radio de Schwarzschild
Donde:
- \(r_s\) — radio de Schwarzschild, el radio del horizonte de sucesos (m)
- \(G\) — constante de gravitación universal, \(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M\) — masa del objeto (kg)
- \(c\) — velocidad de la luz en el vacío, \(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)
La fórmula da el radio crítico al que la velocidad de escape de una masa iguala la velocidad de la luz. Si comprimes toda la masa dentro de ese radio, nada — ni siquiera la luz — puede escapar: el objeto se convierte en un agujero negro.
Radio de Schwarzschild: ejemplo de cálculo
Ejemplo: una estrella con la masa del Sol colapsa tras agotar su combustible nuclear. ¿Cuál es el radio del horizonte de sucesos del agujero negro resultante? Toma \(M = 1\) masa solar \(= 1.98847 \times 10^{30}\) kg.
\[ r_s = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.98847 \times 10^{30}}{(2.998 \times 10^{8})^2} = \frac{2.654 \times 10^{20}}{8.988 \times 10^{16}} \approx 2953\ \mathrm{m} \]
Resultado: el radio de Schwarzschild es de unos 2.953 m, es decir, aproximadamente 2,95 km. Toda la masa del Sol comprimida en una esfera de menos de 3 km de diámetro formaría un agujero negro con ese horizonte.
Cómo usar la calculadora
- Introduce la masa del objeto (M) en el campo numérico; por ejemplo, 1 para un objeto con la masa del Sol.
- Elige la unidad correspondiente en el desplegable: kg, g, toneladas, lb, masas terrestres o masas solares.
- Lee el resultado del radio de Schwarzschild (rs), mostrado en metros y kilómetros y convertido a cm, mm, millas, pies y unidades astronómicas.
- Consulta el bloque de detalles e interpretación para ver la velocidad de escape en el horizonte, la densidad media dentro de él y una explicación en lenguaje llano de lo que significa el número.
¿Qué es el radio de Schwarzschild?
El radio de Schwarzschild es la distancia desde el centro de una masa a la que su velocidad de escape iguala la velocidad de la luz. Debe su nombre a Karl Schwarzschild, que encontró esta solución a las ecuaciones de la relatividad general de Einstein en 1916, apenas unos meses después de publicarse la teoría. La esfera de radio \(r_s\) que rodea a un objeto colapsado es su horizonte de sucesos: la frontera más allá de la cual ninguna señal, materia o luz puede regresar jamás al universo exterior.
Todo objeto tiene un radio de Schwarzschild: es simplemente proporcional a su masa. El problema es que, en los objetos corrientes, el resultado es ridículamente pequeño. Una persona de 70 kg tiene \(r_s \approx 10^{-25}\) m, muchas órdenes de magnitud menor que un protón; por eso la gente no se convierte espontáneamente en agujero negro. Solo cuando la materia se comprime dentro de su propio \(r_s\) el colapso gravitatorio se vuelve imparable.
Como \(r_s\) crece linealmente con la masa mientras el volumen lo hace con el cubo del radio, los agujeros negros más grandes son, de media, menos densos. Un agujero negro supermasivo de mil millones de masas solares tiene una densidad media comparable a la del aire, mientras que uno de masa estelar alcanza densidades muy superiores a las de la materia nuclear. La salida de densidad de la calculadora te permite ver directamente esta tendencia tan contraintuitiva.
El resultado también sirve de regla práctica en astronomía: un agujero negro de una masa solar tiene \(r_s \approx 2.95\) km, el de la Tierra mediría unos 8,87 mm, y Sagitario A*, el agujero negro central de la Vía Láctea, con unas 4 millones de masas solares, tiene un horizonte de unos 12.000 km de diámetro: una esfera algo mayor que la Tierra.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Objeto sin rotación ni carga. La fórmula describe un agujero negro de Schwarzschild idealizado. Los agujeros negros reales giran (agujeros negros de Kerr) y sus horizontes son algo menores: hasta un factor 2 en el caso de rotación máxima. Para estimaciones cotidianas la diferencia suele ser aceptable.
- Tratamiento clásico. Se ignoran los efectos de la gravedad cuántica. Para masas extremadamente pequeñas, el horizonte clásico puede quedar por debajo de la longitud de Planck \(\approx 1.6 \times 10^{-35}\) m, donde la fórmula pierde sentido físico.
- Toda la masa en el centro. La fórmula supone que la masa completa está dentro de \(r_s\). Una estrella o un planeta de la misma masa pero mayor que su radio de Schwarzschild es simplemente un objeto ordinario: solo se convierte en agujero negro si se comprime dentro de ese radio.
- Unidades grandes para objetos grandes. Introducir una masa enorme en kilogramos puede desbordar el cálculo. Cambia el desplegable de unidades a masas solares o masas terrestres para mantener los números manejables.
- ¿Trabajas con la radiación de discos de acreción calientes? El disco brilla como un cuerpo negro, así que la calculadora de la ley de Stefan-Boltzmann y la calculadora de la ley de desplazamiento de Wien te ayudarán a estimar su potencia emitida y su longitud de onda pico.
Valores de referencia
| Objeto | Masa aproximada | Radio de Schwarzschild |
|---|---|---|
| Humano (70 kg) | 70 kg | \(\sim 10^{-25}\) m |
| Tierra | \(5.97 \times 10^{24}\) kg | 8,87 mm |
| Sol | \(1.99 \times 10^{30}\) kg | 2,95 km |
| Sagitario A* (centro de la Vía Láctea) | \(\sim 4 \times 10^6\) masas solares | \(\sim 1.2 \times 10^7\) km |
| M87* (primer agujero negro fotografiado) | \(\sim 6.5 \times 10^9\) masas solares | \(\sim 1.9 \times 10^{10}\) km |
Puedes comprobar cada fila introduciendo la masa en la calculadora con la unidad correspondiente seleccionada: los resultados anteriores usan la misma fórmula y las mismas constantes.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el radio de Schwarzschild a mano?
Multiplica la masa por 2 y por la constante de gravitación universal, y divide el resultado entre la velocidad de la luz al cuadrado: \(r_s = 2GM/c^2\). Un atajo útil: \(r_s \approx 1.48 \times 10^{-27}\) m por cada kilogramo, así que basta multiplicar la masa en kg por ese factor. Por ejemplo, 1000 kg dan \(r_s \approx 1.5 \times 10^{-24}\) m: no hace falta manejar por separado constantes tan enormes.
¿Cuál es un radio de Schwarzschild típico o «normal»?
Depende por completo de la masa: el radio es de unos 2,95 km por masa solar. Un agujero negro de 10 masas solares (una estrella colapsada típica) tiene un horizonte cercano a los 30 km, la masa de la Tierra daría unos 8,87 mm, y los supermasivos van desde millones hasta miles de millones de km. No existe un único valor «normal»: solo el escalado lineal con la masa.
¿El radio de Schwarzschild es el tamaño del agujero negro?
Es el radio del horizonte de sucesos, lo más parecido a una «superficie» que tiene un agujero negro. En rigor, en el horizonte no existe nada físico: es una frontera en el espacio-tiempo. La singularidad está en el centro, y la materia que formó el agujero ha colapsado en ella, de modo que el horizonte encierra sobre todo espacio vacío más lo que esté cayendo.
¿Cómo convierto el resultado a millas, pies o unidades astronómicas?
La calculadora lo hace automáticamente. Si calculas a mano: divide los metros entre 1609,344 para obtener millas, entre 0,3048 para pies o entre \(1.496 \times 10^{11}\) para unidades astronómicas. Por ejemplo, el horizonte de 2953 m del Sol equivale a unas 1,84 millas, 9690 pies o \(2 \times 10^{-8}\) UA: más pequeño que un átomo en comparación con la distancia Tierra–Sol.
¿Mi cuerpo o los objetos cotidianos tienen radio de Schwarzschild?
Sí: toda masa lo tiene. El de una persona de 70 kg es de unos \(10^{-25}\) m, unas diez órdenes de magnitud menor que un protón. Es totalmente inofensivo: el objeto solo se convierte en agujero negro si algo lo comprime dentro de ese radio, y ningún proceso físico puede hacerlo con la materia ordinaria. El número es solo un límite teórico.
¿Por qué los agujeros negros más grandes tienen menor densidad media?
Porque la masa crece linealmente con el radio de Schwarzschild mientras el volumen encerrado crece con el cubo del radio: \(\rho = 3c^6/(32\pi G^3 M^2)\). Duplicar la masa duplica el radio pero multiplica el volumen por ocho, así que la densidad media se reduce a la cuarta parte. Por eso un agujero negro de mil millones de masas solares tiene de media una densidad parecida a la del aire, mientras que uno de masa estelar supera las densidades nucleares.
¿Cuáles son los errores más comunes al usar la fórmula?
El más frecuente es mezclar unidades: convierte siempre la masa a kilogramos y usa los valores del SI para \(G\) y \(c\) antes de sustituir. Otros errores son olvidar que el resultado está en metros (no en km), suponer que la fórmula se aplica al tamaño actual de una estrella (solo importa cuando la masa cabe dentro de \(r_s\)) y pasar por alto que la rotación reduce el horizonte real hasta un factor 2 en un agujero negro de Kerr.