Калькулятор НОК — наименьшее общее кратное

Обновлено: 20 октября, 2026

Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель от 2 до 10 положительных целых чисел. Введите числа через запятую или пробел, чтобы увидеть их разложение на простые множители и шаги вычисления НОК.

НОК целых чисел

Формула НОК

Формула

\[\operatorname{LCM}(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\prod_{p}p^{\max\left(v_p(a_1),v_p(a_2),\ldots,v_p(a_n)\right)}\]

Обозначения:

\(a_1,a_2,\ldots,a_n\) — введённые положительные целые числа.
\(p\) — простой множитель хотя бы одного из введённых чисел.
\(v_p(a_i)\) — показатель степени \(p\) в разложении \(a_i\) на простые множители; он равен 0, если \(p\) не входит в разложение.

Для каждого простого множителя берётся его наибольшая степень среди введённых чисел. Перемножение этих степеней даёт наименьшее положительное число, которое делится на каждое из введённых.

НОК — пример вычисления

Пример: найдём НОК предложенных по умолчанию чисел 12, 18 и 30.

Разложим каждое число на множители и выберем наибольшую степень каждого простого числа:

\[12=2^2\times3,\qquad18=2\times3^2,\qquad30=2\times3\times5\]

\[\operatorname{LCM}(12,18,30)=2^2\times3^2\times5=4\times9\times5=180\]

Результат: НОК равен 180. Калькулятор также показывает НОД, который равен 6.

Как пользоваться калькулятором

В поле «Положительные целые числа» введите от 2 до 10 чисел через запятую или пробел. Например, введите 12, 18, 30.
В строке «Наименьшее общее кратное (НОК)» показано наименьшее положительное число, которое делится на каждое из введённых.
В строке «Наибольший общий делитель (НОД)» указано наибольшее положительное число, на которое все введённые числа делятся без остатка.
Блок «Разложение каждого числа на простые множители» показывает, как раскладывается каждое число. «Наибольшая степень каждого простого числа» подсказывает, какие множители нужно взять, а «Произведение наибольших степеней» — как они объединяются и дают НОК.

Что такое наименьшее общее кратное

Кратным целого числа называют результат умножения этого числа на другое целое число. Наименьшее общее кратное, или НОК, — это самое маленькое положительное кратное, общее для всех введённых чисел. Например, 180 делится на 12, 18 и 30, а меньшего положительного числа с таким свойством не существует. Более крупное общее кратное, скажем 360, тоже подойдёт, но оно уже не наименьшее.

НОК пригождается, когда величины нужно выразить в согласованных единицах или совместить повторяющиеся события. Если одно событие повторяется каждые 12 дней, а другое — каждые 18 дней, то при одновременном старте они совпадают раз в 36 дней. Для дробей НОК знаменателей служит наименьшим общим знаменателем, что упрощает сложение и сравнение дробей.

Разложение на простые множители объясняет, почему так происходит. Результат должен делиться на каждое введённое число, поэтому в нём каждого простого множителя должно быть не меньше, чем в числе с наибольшим показателем. В примере 18 даёт \(3^2\), 12 даёт \(2^2\), а 30 даёт \(5\). Произведение трёх наибольших степеней и есть 180. Отдельное число можно изучить в калькуляторе разложения на простые множители, а с помощью проверки простоты числа выяснить, является ли множитель простым.

НОД отвечает на другой вопрос: какое наибольшее число делит каждое из введённых? Для 12, 18 и 30 это 6. НОК берёт наибольшую степень каждого простого числа по всем введённым числам, а НОД оставляет только те степени, которые общие для всех чисел. Для двух положительных чисел \(a\) и \(b\) результаты можно проверить равенством \(\operatorname{LCM}(a,b)\times\operatorname{GCD}(a,b)=a\times b\). К трём и более числам это тождество в неизменном виде применять нельзя.

Ограничения ввода и практические советы

Введите от 2 до 10 положительных целых чисел. Каждое число должно быть от 1 до 1 000 000 000 000. Ноль, отрицательные числа, десятичные и обыкновенные дроби не принимаются.
Запятые и пробелы используйте между числами, а не как разделители разрядов. Например, 1000 2500 — это два числа, а 1,000, 2,500 будет понято как четыре числа.
Число 1 не увеличивает НОК. Повтор одного и того же числа не меняет ни НОК, ни НОД.
Если ни один простой множитель не является общим для всех чисел, их НОД равен 1. Однако это ещё не значит, что НОК равен произведению чисел: такой приём работает только для попарно взаимно простых чисел.
НОК может оказаться намного больше любого из введённых чисел, особенно если у них мало общих множителей. Сам по себе большой результат — не ошибка; посмотрите выведенные степени простых чисел, чтобы понять, как он получился.

Часто задаваемые вопросы

Как найти НОК вручную без разложения на простые множители?

Для двух чисел найдите их НОД по алгоритму Евклида, а затем примените формулу \(\operatorname{LCM}(a,b)=a\times(b/\operatorname{GCD}(a,b))\). Например, НОД чисел 14 и 20 равен 2, поэтому их НОК равен \(14\times(20/2)=140\). Если чисел больше, повторяйте процесс, каждый раз беря предыдущий НОК и следующее число.

Когда НОК совпадает с одним из введённых чисел?

НОК равен наибольшему из чисел, если оно делится на все остальные. Например, НОК чисел 4, 6 и 12 равен 12, потому что 12 кратно и 4, и 6. Если хотя бы одно из чисел не делит наибольшее, НОК обязательно будет больше.

Если НОД равен 1, можно ли получить НОК простым перемножением всех чисел?

Не всегда. НОД, равный 1, означает лишь, что нет множителя, делящего все числа сразу, но отдельные пары могут иметь общие множители. Например, у чисел 6, 10 и 15 НОД равен 1, однако их НОК равен 30, а не произведению 900. Перемножение всех чисел даёт правильный результат, только когда они попарно взаимно просты.

Как использовать НОК для сложения дробей с разными знаменателями?

Найдите НОК знаменателей и приведите каждую дробь к этому знаменателю, после чего сложите числители. Например, НОК чисел 6 и 8 равен 24, поэтому \(1/6=4/24\) и \(1/8=3/24\). Их сумма равна \(7/24\). Так получается наименьший общий знаменатель, хотя итоговую дробь может потребоваться ещё сократить.

Можно ли по НОК узнать, когда события с разным временем старта совпадут впервые?

Нет. НОК задаёт интервал между совпадениями, но если события начинаются в разное время, первое совпадение может наступить раньше или позже. Пусть одно событие происходит каждые 4 дня начиная с дня 0, а другое — каждые 6 дней начиная со дня 2: впервые они совпадут в день 8, а дальше будут совпадать каждые 12 дней — это и есть НОК чисел 4 и 6.

Существует ли НОК для нуля и отрицательных чисел?

В математике отрицательные числа обычно заменяют их модулями, поэтому НОК чисел −6 и 8 равен 24. С нулём сложнее: по одной из соглашений НОК нуля и ненулевого числа равен 0, хотя привычное определение через наименьшее положительное общее кратное здесь не работает. Этот калькулятор принимает только положительные целые числа.