Калькулятор НСК — найменше спільне кратне

Оновлено: 20.10.2026

Знайдіть найменше спільне кратне та найбільший спільний дільник для 2–10 додатних цілих чисел. Введіть числа через кому чи пробіл, щоб побачити їхній розклад на прості множники та кроки обчислення НСК.

Обчислення НСК цілих чисел

Формула НСК

Формула

\[\operatorname{LCM}(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\prod_{p}p^{\max\left(v_p(a_1),v_p(a_2),\ldots,v_p(a_n)\right)}\]

Де:

\(a_1,a_2,\ldots,a_n\) — введені додатні цілі числа.
\(p\) — простий множник принаймні одного з введених чисел.
\(v_p(a_i)\) — показник, з яким \(p\) входить до розкладу числа \(a_i\) на прості множники; він дорівнює 0, якщо \(p\) не є множником.

Для кожного простого числа, що зустрічається, беруть його найбільший показник серед усіх введених чисел. Добуток цих степенів простих чисел дає найменше додатне число, яке ділиться на кожне з них.

НСК — приклад обчислення

Приклад: знайдемо НСК для стандартних чисел 12, 18 і 30.

Розкладемо кожне число на множники, а потім виберемо найбільший степінь кожного простого числа:

\[12=2^2\times3,\qquad18=2\times3^2,\qquad30=2\times3\times5\]

\[\operatorname{LCM}(12,18,30)=2^2\times3^2\times5=4\times9\times5=180\]

Результат: НСК дорівнює 180. Калькулятор також показує НСД, який дорівнює 6.

Як користуватися калькулятором

У поле «Додатні цілі числа» введіть від 2 до 10 чисел, розділених комами або пробілами. Наприклад, введіть 12, 18, 30.
Подивіться результат «Найменше спільне кратне (НСК)» — найменше додатне число, яке ділиться на кожне з введених.
Перевірте «Найбільший спільний дільник (НСД)» — найбільше додатне число, на яке кожне з них ділиться без остачі.
Скористайтеся блоком «Розклад кожного числа на прості множники», щоб побачити, з чого складається кожне число. «Найбільший степінь кожного простого числа» показує, які множники слід узяти, а «Добуток найбільших степенів» — як вони поєднуються у НСК.

Що таке найменше спільне кратне

Кратне додатного цілого числа — це те саме число, помножене на інше ціле число. Найменше спільне кратне, або НСК, — це найменше додатне кратне, спільне для всіх введених чисел. Так, число 180 ділиться на 12, 18 і 30, і жодне менше додатне число не ділиться на всі три. Більше спільне кратне, наприклад 360, теж підійде, але воно вже не буде найменшим.

НСК знадобиться, коли величини потрібно узгодити або коли повторювані події мають збігтися. Якщо одна подія повторюється кожні 12 днів, а друга — кожні 18, то, почавши одночасно, вони збігатимуться кожні 36 днів. Для дробів НСК знаменників дає найменший спільний знаменник, завдяки якому дроби легше додавати й порівнювати.

Розклад на прості множники пояснює, чому це обчислення працює. Результат має ділитися на кожне введене число, тому в ньому має бути такого самого чи більшого степеня кожного простого множника, як у числі з найбільшим показником. У нашому прикладі 18 дає \(3^2\), 12 дає \(2^2\), а 30 дає \(5\). Усі три найбільші степені разом дають 180. Окреме число можна розглянути в калькуляторі розкладу на прості множники, а перевірити, чи є якийсь множник простим, — у перевірці простих чисел.

НСД відповідає на інше питання: яке найбільше число ділить кожне із введених? Для 12, 18 і 30 це число 6. НСК бере найбільший потрібний степінь кожного простого множника серед усіх чисел, тоді як НСД лишає лише ті степені простих чисел, що спільні для всіх. Для двох додатних чисел \(a\) і \(b\) результати можна перевірити співвідношенням \(\operatorname{LCM}(a,b)\times\operatorname{GCD}(a,b)=a\times b\). Цю тотожність не можна без змін застосовувати до трьох і більшої кількості чисел.

Обмеження щодо введення та практичні поради

Вводьте від 2 до 10 додатних цілих чисел. Кожне число має бути в межах від 1 до 1 000 000 000 000. Нуль, від’ємні числа, десяткові дроби та звичайні дроби не приймаються.
Використовуйте кому чи пробіл між числами, а не як роздільники розрядів. Наприклад, 1000 2500 — це два числа, а 1,000, 2,500 буде прочитано як чотири числа.
Додавання числа 1 не збільшує НСК. Повторення числа не змінює ані НСК, ані НСД.
Якщо жоден простий множник не є спільним для всіх чисел, їхній НСД дорівнює 1. Але це ще не означає, що НСК дорівнює добутку чисел: така скорочена формула справедлива лише за умови, що всі числа попарно взаємно прості.
НСК може бути значно більшим за будь-яке із введених чисел, особливо коли вони мають мало спільних множників. Сам по собі розмір результату не є помилкою; перегляньте показані степені простих чисел, щоб зрозуміти, як він утворився.

Часті запитання

Як знайти НСК вручну, без розкладу на прості множники?

Для двох чисел знайдіть їхній НСД алгоритмом Евкліда, а потім скористайтеся формулою \(\operatorname{LCM}(a,b)=a\times(b/\operatorname{GCD}(a,b))\). Наприклад, НСД чисел 14 і 20 дорівнює 2, отже, їхній НСК становить \(14\times(20/2)=140\). Якщо чисел більше, повторюйте дію, щоразу беручи попередній НСК і наступне число.

Коли НСК дорівнює одному з введених чисел?

НСК дорівнює найбільшому з чисел, якщо воно ділиться на кожне інше. Наприклад, НСК чисел 4, 6 і 12 дорівнює 12, бо 12 кратне і 4, і 6. Якщо ж хоча б одне число не ділить найбільше, НСК мусить бути більшим.

Якщо НСД дорівнює 1, чи можна отримати НСК, перемноживши всі числа?

Не завжди. НСД, рівний 1, означає лише, що жоден множник не ділить усі числа одразу, але дехто з чисел у парах може мати спільні множники. Наприклад, НСД чисел 6, 10 і 15 дорівнює 1, проте їхній НСК — це 30, а не добуток 900. Перемноження всіх чисел дає НСК лише тоді, коли кожна пара взаємно проста.

Як використати НСК для додавання дробів із різними знаменниками?

Знайдіть НСК знаменників, перепишіть кожен дріб із цим знаменником, а потім додайте чисельники. Наприклад, НСК чисел 6 і 8 дорівнює 24, тому \(1/6=4/24\), а \(1/8=3/24\). Їхня сума — \(7/24\). Так одержуємо найменший спільний знаменник, хоча кінцевий дріб може потребувати скорочення.

Чи показує НСК, коли події з різним часом початку вперше збігаються?

Ні. НСК дає лише інтервал між повторними збігами, тоді як перший збіг може статися інакше, якщо події починаються в різний час. Якщо одна подія відбувається кожні 4 дні, починаючи з дня 0, а друга — кожні 6 днів, починаючи з дня 2, вони вперше збігаються у день 8. Надалі ж вони збігаються кожні 12 днів — саме це число є НСК чисел 4 і 6.

Чи існує НСК для нуля та від’ємних чисел?

У математиці від’ємні числа зазвичай розглядають через їхні модулі, тому НСК чисел −6 і 8 дорівнює 24. З нулем усе складніше: за деякими угодами НСК нуля і ненульового цілого числа вважають рівним 0, тоді як класичне означення — як найменшого додатного спільного кратного — тут не працює. Цей калькулятор приймає лише додатні цілі числа.