Калькулятор делителей — все делители числа
Введите любое целое число до 10¹² и мгновенно получите все его делители, их количество и сумму, разложение на простые множители, пары делителей, а также узнаете, простое это число, совершенное, избыточное или недостаточное. Можно также сравнить 2–5 чисел и найти их общие делители и НОД.
Найдите все делители, пары делителей и разложение на простые множители
Формула делителей
Где:
- \(d\) — делитель числа \(n\)
- \(n\) — число, которое раскладывается на множители
- \(p_i\), \(e_i\) — простые делители числа \(n\) и их показатели в разложении на простые множители
- \(\tau(n)\) — количество всех делителей числа \(n\)
- \(\sigma(n)\) — сумма всех делителей числа \(n\)
Первая строка — определение делителя: число \(d\) делит \(n\) нацело, без остатка. Вторая строка показывает, как разложение на простые множители определяет и количество делителей, и их сумму.
Делители — пример вычисления
Пример: найдём все делители числа \(n = 360\) — это значение задано в калькуляторе по умолчанию.
\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]
\[ \tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24 \]
\[ \sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \]
Результат: у числа 360 24 делителя: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Их сумма — 1170. Поскольку сумма собственных делителей равна \(1170 - 360 = 810 > 360\), число 360 — избыточное. Делители образуют 12 пар — от \(1 \times 360\) до \(18 \times 20\).
Как пользоваться калькулятором делителей
- Выберите режим: «Все делители одного числа» или «Общие делители 2–5 чисел».
- В режиме «Все делители» введите целое число от 1 до 10¹² в поле «Число (n)». Можно ввести отрицательное значение: калькулятор выведет делители числа \(|n|\) и отметит отрицательные.
- Ознакомьтесь с результатами: все делители в порядке возрастания, количество делителей \(\tau(n)\), сумма делителей \(\sigma(n)\), разложение на простые множители, таблица пар делителей, а также классификация числа — простое, совершенное, избыточное или недостаточное.
- В режиме «Общие делители» введите 2–5 целых чисел, отличных от нуля, в поле «Числа», разделяя их запятыми, пробелами, точками с запятой или переводами строк (например,
12, 18, 30). В результате будут перечислены все делители, общие для этих чисел, причём наибольший общий делитель будет выделен.
Что такое делители и зачем они нужны
Делителем числа \(n\) называют любое целое число, которое делит \(n\) без остатка. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 — это и есть все его делители. У каждого делителя \(d\) числа \(n\) есть пара: поскольку \(n = d \times k\), этой парой является \(k = n \div d\). Именно поэтому делители естественным образом выстраиваются в пары множителей. У числа, являющегося точным квадратом, например 36 с парой \(6 \times 6\), делителей нечётное количество, потому что \(\sqrt{n}\) образует пару с самим собой.
Самый быстрый способ найти все делители большого числа — разложение на простые множители. Если \(n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\), то каждый делитель — это произведение тех же простых чисел с показателями, не превышающими \(e_i\). Отсюда сразу получается количество: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Пошаговое разложение на простые множители выполняет калькулятор разложения на простые множители; чтобы проверить одно конкретное число, быстрее воспользоваться калькулятором проверки на простоту.
Сумма делителей \(\sigma(n)\) — не просто любопытный факт, она позволяет классифицировать число. Если собственные делители (все делители, кроме самого \(n\)) в сумме дают ровно \(n\), число совершенное, как 6 или 28. Если сумма больше — избыточное, если меньше — недостаточное. Простые числа всегда недостаточные: их единственный собственный делитель — это 1.
Общие делители — это делители, присутствующие сразу у двух или более чисел. Это в точности делители наибольшего общего делителя (НОД), поэтому калькулятор сначала находит НОД, а затем перечисляет его делители. Общие делители — ключ к сокращению дробей; парное понятие — наименьшее общее кратное — вычисляет калькулятор НОК.
Условия, ограничения и советы
- Только целые числа. Дроби и десятичные числа не принимаются. Ноль исключён: он делится на любое целое число, кроме нуля, и список делителей получился бы бесконечным.
- Ограничение по размеру. Модуль каждого числа не должен превышать 10¹² (1 000 000 000 000 000). Для очень больших чисел с тысячами делителей список сокращается: выводятся первые 2 000 делителей и до 500 пар, остальные только учитываются при подсчёте.
- Отрицательные числа. Если ввести отрицательное значение, будут показаны положительные делители числа \(|n|\) с пометкой, что у каждого из них есть противоположный делитель \(-d\), — это удваивает общее количество целых делителей.
- Совет. Чтобы быстро проверить, делится ли \(n\) на候选ное число, не выписывая весь список, разделите \(n\) на него и посмотрите, целое ли получилось частное. Проверять нужно только кандидатов до \(\sqrt{n}\): любой делитель больше \(\sqrt{n}\) — это пара уже найденного меньшего делителя.
- Совет. Пары делителей удобны при упрощении радикалов и разложении квадратных трёхчленов: если \(a \times b = n\) и при этом сумма или разность удобна, вы нашли полезное представление числа \(n\).
Часто задаваемые вопросы
Как найти все делители числа вручную?
Проверьте все целые числа от 1 до \(\sqrt{n}\), деля \(n\) на каждого кандидата. Как только деление прошло без остатка, вы сразу получили два делителя: сам кандидат \(d\) и его пару \(n \div d\). Пример с числом 60: проверка до \(\sqrt{60} \approx 7.7\) даёт пары \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\), \(6 \times 10\). Соберите все числа из пар и отсортируйте — это и есть полный список.
Почему у точных квадратов нечётное количество делителей?
Обычно делители идут парами \(d \times (n \div d)\), поэтому их общее количество чётное. У точного квадрата, например 36, средняя пара — это \(\sqrt{36} = 6\), и 6 образует пару с самим собой (\(6 \times 6 = 36\)), поэтому считается только один раз. Эта единственная «самопара» и делает итог нечётным. И наоборот: если у числа нечётное количество делителей, оно обязано быть точным квадратом.
В чём разница между делителем и кратным?
Это взаимно обратные понятия. Делитель числа \(n\) делит его нацело, поэтому делители никогда не больше самого \(n\); кратное числа \(n\) получается умножением, поэтому кратные никогда не меньше \(n\). Например, 3 — делитель числа 12, а 12 — кратное числа 3. Типичная путаница: 12 не является делителем 3, при этом 3 — кратное самого себя, ведь каждое число является одновременно делителем и кратным самого себя.
Является ли 1 делителем любого числа и простым ли оно?
Да, 1 делит любое целое число нацело, поэтому 1 всегда делитель числа \(n\), стоящий в паре с самим \(n\) в конце списка делителей. Однако 1 не является простым числом: у простого должно быть ровно два делителя — 1 и оно само, а у 1 только один. По той же причине 1 не относят ни к составным числам, ни к совершенным, избыточным или недостаточным.
Какое наибольшее количество делителей может быть у числа?
Фиксированного предела нет — у некоторых чисел делителей куда больше, чем у сопоставимых по величине соседей. Такие числа называют высокосоставленными: например, у 720720 целых 240 делителей, а у 963761198400 (меньше 10¹²) их 6720. Количество делителей растёт с числом простых множителей и их показателями: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\), поэтому добавление нового простого множителя всегда увеличивает это произведение.
Считаются ли отрицательные числа делителями?
В строгой целочисленной арифметике да: если \(d\) делит \(n\), то делит и \(-d\), поэтому −2 и 2 — оба делители 10, и общее число делителей удваивается. В школьной практике и большинстве учебных задач под «делителями числа n» понимают только положительные делители — именно их калькулятор выводит по умолчанию. При вводе отрицательного числа он показывает делители \(|n|\) и отдельно отмечает отрицательные counterparts.
Каковы первые совершенные числа и почему их так мало?
Совершенное число равно сумме своих собственных делителей: наименьшие — 6 (1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 и 8128. Каждое известное чётное совершенное число имеет вид Евклида — Эйлера \(2^{p-1}(2^p - 1)\), где \(2^p - 1\) должно быть простым числом Мерсенна, — этим и объясняется их редкость: известно всего 52 таких числа, а существование хотя бы одного нечётного совершенного числа до сих пор не доказано.