Abkühlungsgesetz-Rechner nach Newton
Berechnen Sie, wie schnell ein Objekt auf die Umgebungstemperatur abkühlt oder sich erwärmt. Geben Sie Anfangs- und Umgebungstemperatur, die Abkühlkonstante k und die verstrichene Zeit ein – Sie erhalten die Temperatur des Objekts sowie die Zeit, die bis zum Erreichen einer Zieltemperatur vergeht.
Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers über die Zeit berechnen
Formel des newtonschen Abkühlungsgesetzes
Dabei bedeuten:
- \(T(t)\) — Temperatur des Objekts nach der Zeit \(t\) (°C, °F oder K)
- \(T_0\) — Anfangstemperatur des Objekts zum Zeitpunkt \(t = 0\)
- \(T_a\) — Umgebungstemperatur der Umgebung (als konstant angenommen)
- \(k\) — Abkühlkonstante, eine positive Zahl, die angibt, wie schnell Wärme ausgetauscht wird (pro Sekunde, Minute oder Stunde)
- \(t\) — verstrichene Zeit, in Einheiten, die zu \(k\) passen
Die Formel besagt, dass sich die Temperatur des Objekts exponentiell der Umgebungstemperatur annähert: Die Differenz \(T - T_a\) verringert sich mit jeder Zeiteinheit um denselben Faktor \(e^{-k}\) – ganz unabhängig davon, wie heiß oder kalt das Objekt ist.
Benötigen Sie stattdessen die Zeit, um eine bestimmte Zieltemperatur \(T_t\) zu erreichen, lösen Sie die Formel nach der Zeit auf:
\[ t = -\frac{\ln\left(\dfrac{T_t - T_a}{T_0 - T_a}\right)}{k} \]
Newtonsches Abkühlungsgesetz – Rechenbeispiel
Beispiel: Eine Tasse Kaffee mit 90 °C steht in einem Raum mit 20 °C. Die Abkühlkonstante beträgt etwa \(k = 0.05\) pro Minute. Welche Temperatur hat der Kaffee nach 10 Minuten, und wie lange dauert es, bis er auf 40 °C abgekühlt ist?
\[ T(10) = 20 + (90 - 20)\,e^{-0.05 \times 10} = 20 + 70\,e^{-0.5} \approx 20 + 70 \times 0.6065 \approx 62.46\ \text{°C} \]
\[ t = -\frac{\ln\left(\dfrac{40 - 20}{90 - 20}\right)}{0.05} = -\frac{\ln(0.2857)}{0.05} \approx \frac{1.2528}{0.05} \approx 25.06\ \text{min} \]
Ergebnis: Nach 10 Minuten hat der Kaffee etwa 62,46 °C, und die 40 °C erreicht er nach rund 25 Minuten (genauer etwa 25,06 min).
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Anfangstemperatur (T₀) des Objekts ein und wählen Sie die Einheit (°C, °F oder K).
- Geben Sie die Umgebungstemperatur (Tₐ) ein – die konstante Temperatur der Umgebung – samt Einheit.
- Geben Sie die Abkühlkonstante (k) ein und legen Sie fest, ob sie pro Sekunde, pro Minute oder pro Stunde angegeben ist. Sie muss größer als null sein.
- Geben Sie die verstrichene Zeit (t) seit Beginn zusammen mit ihrer Einheit ein.
- Optional können Sie eine Zieltemperatur eingeben. Dann berechnet der Rechner zusätzlich, wie lange das Objekt braucht, um diese Temperatur zu erreichen. Lassen Sie das Feld leer, wenn Sie diese Funktion nicht benötigen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Temperatur des Objekts nach der verstrichenen Zeit (angezeigt in °C, °F und K) sowie – falls eine Zieltemperatur gesetzt wurde – die Zeit bis zu deren Erreichen.
Was besagt das newtonsche Abkühlungsgesetz?
Das newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass die Geschwindigkeit, mit der ein Objekt Wärme abgibt (oder aufnimmt), proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Objekt und seiner Umgebung ist. Je heißer das Objekt also im Vergleich zum Raum ist, desto schneller kühlt es ab; je näher es der Umgebungstemperatur kommt, desto langsamer wird der Abkühlvorgang. Die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung liefert die oben verwendete Exponentialformel: Die Temperaturdifferenz nimmt stetig ab und schrumpft in jedem Zeitabschnitt um denselben Prozentsatz.
Eine wichtige Folge: Ein Objekt erreicht die Umgebungstemperatur nie exakt – es nähert sich ihr nur asymptotisch. In der Praxis wird die Differenz jedoch schnell so klein, dass sie nicht mehr messbar ist. Deshalb warnt Sie der Rechner, wenn Sie die Zieltemperatur gleich der Umgebungstemperatur setzen – mathematisch wäre dafür unendlich viel Zeit nötig. Sinnvoller ist ein Wert knapp über oder unter der Umgebungstemperatur, etwa „1 °C unter Raumtemperatur“.
Dasselbe Gesetz gilt auch für das Erwärmen. Liegt die Anfangstemperatur unter der Umgebungstemperatur (etwa bei einem kalten Getränk in einem warmen Raum), bleibt die Formel gültig – die Temperaturdifferenz ist dann einfach negativ, und das Objekt erwärmt sich exponentiell auf die Umgebung. Der Rechner berücksichtigt beide Richtungen automatisch.
Das Gesetz findet Anwendung im Ingenieurwesen (Wärmetauscher, Abschrecken von Metallteilen), in der Forensik (Schätzung der Todeszeit anhand der Leichenabkühlung), in der Lebensmittelsicherheit (Abkühlen von gegarten Speisen) und im Alltag, etwa wenn Tee oder Kaffee kalt wird. Es beruht auf derselben Mathematik des exponentiellen Zerfalls, die auch beim radioaktiven Zerfall und bei der Entladung eines Kondensators auftritt.
Die Abkühlkonstante k richtig wählen
Die Abkühlkonstante \(k\) hängt von Größe, Form und Material des Objekts sowie vom umgebenden Medium ab – also nicht nur vom Objekt selbst. Dasselbe Objekt kühlt in bewegtem Wasser deutlich schneller ab als in ruhender Luft. Einige typische Größenordnungen:
- Eine Tasse Kaffee oder Tee in ruhender Luft: \(k \approx 0.02\)–\(0.08\) pro Minute
- Ein kleines Metallteil im Wasserbad: \(k\) kann mehrere pro Minute betragen
- Ein großer Braten, frisch aus dem Ofen: \(k \approx 0.01\)–\(0.03\) pro Minute
Wenn Sie \(k\) nicht kennen, können Sie es messen: Notieren Sie die Temperatur zu zwei bekannten Zeitpunkten, setzen Sie die Werte in die Formel ein und lösen Sie nach \(k\) auf. Alternativ können Sie diesen Rechner mit einem geschätzten \(k\) durchführen, die berechnete Temperatur mit Ihrer Messung vergleichen und \(k\) so lange anpassen, bis die Werte übereinstimmen.
Annahmen und Grenzen
- Konstante Umgebungstemperatur. Die Umgebung muss über den gesamten Zeitraum auf \(T_a\) bleiben – etwa ein großer Raum oder ein gut durchmischtes Bad. Ein kleiner geschlossener Raum erwärmt sich zusammen mit dem Objekt.
- Gleichmäßige Objekttemperatur. Es wird angenommen, dass das Objekt überall dieselbe Temperatur hat (Konzentrat-Modell, engl. „lumped system“). Das ist eine gute Näherung für kleine Objekte aus guten Wärmeleitern; bei großen oder schlecht leitenden Körpern, die von außen nach innen abkühlen, versagt sie.
- Linearer Wärmeübergang. Das Gesetz modelliert den konvektiven Wärmeübergang mit konstantem Wärmeübergangskoeffizienten. Strahlung (wichtig bei sehr heißen Objekten) und Phasenwechsel wie Sieden oder Gefrieren bleiben unberücksichtigt.
- Exponentielles Verhalten. Weil die Abkühlung exponentiell verläuft, dauern die letzten Grade nahe der Umgebungstemperatur unverhältnismäßig lange – eine Halbierung der Temperaturdifferenz braucht immer gleich lang, egal wie klein die Differenz schon ist.
Weitere physikalische Berechnungen finden Sie in unserem Freier-Fall-Rechner, im Luftwiderstandsrechner (ein weiterer Fall, in dem eine geschwindigkeitsähnliche Größe exponentiell mit der Zeit abklingt) oder im Rechner für die Schallgeschwindigkeit in Luft für weitere temperaturabhängige Eigenschaften von Luft.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich das newtonsche Abkühlungsgesetz von Hand?
Setzen Sie Ihre Werte Schritt für Schritt in \( T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt} \) ein. Bestimmen Sie zuerst die anfängliche Temperaturdifferenz \(T_0 - T_a\), multiplizieren Sie sie mit \(e^{-kt}\) (die \(e^x\)-Taste eines wissenschaftlichen Taschenrechners erledigt das) und addieren Sie zuletzt \(T_a\) wieder. Beispiel mit \(T_0 = 90\), \(T_a = 20\), \(k = 0.05\) pro Minute und \(t = 10\): \(20 + 70 \times e^{-0.5} \approx 62.5\) °C.
Wie finde ich die Abkühlkonstante k heraus, wenn ich sie nicht kenne?
Messen Sie die Temperatur des Objekts zu zwei bekannten Zeitpunkten und lösen Sie nach \(k\) auf: \( k = -\frac{1}{t}\ln\left(\frac{T(t) - T_a}{T_0 - T_a}\right) \). Kühlt ein Getränk z. B. in 15 Minuten von 80 °C auf 50 °C in einem Raum mit 20 °C ab, so ist \(k \approx 0.052\) pro Minute. Theoretisch genügt ein Wertepaar; der Mittelwert aus mehreren Messungen ist aber genauer, da echte Abkühlungsdaten nie perfekt exponentiell verlaufen.
Kann ich Fahrenheit oder Kelvin verwenden?
Ja – die Mathematik funktioniert in jeder konsistenten Temperaturskala, denn im Exponenten treten nur Temperaturdifferenzen auf. Achten Sie nur darauf, dass \(T_0\), \(T_a\) und die Zieltemperatur dieselbe Einheit verwenden. Der Rechner rechnet °F und K intern nach °C um und zeigt das Ergebnis in allen drei Einheiten an – Sie müssen selbst nichts umrechnen.
Wie lange dauert es, bis das Objekt 1 Grad von der Umgebungstemperatur entfernt ist?
Verwenden Sie \( t = -\ln\left(\frac{1}{T_0 - T_a}\right)/k \), wobei im Zähler die kleine verbleibende Differenz steht (z. B. 1 °C). Beachten Sie: \(T_a\) exakt zu erreichen ist mathematisch unmöglich – das Objekt nähert sich ihr nur asymptotisch, weshalb der letzte Grad länger dauert als die ersten zehn. Praktisch sollten Sie deshalb immer „innerhalb von X Grad“ anpeilen statt des Umgebungswerts selbst.
Welche Fehler passieren bei dieser Formel am häufigsten?
Der größte Stolperstein ist der Einheitenmix zwischen \(k\) und \(t\): Ist \(k\) pro Minute angegeben, muss \(t\) in Minuten stehen, nicht in Sekunden oder Stunden. Weitere häufige Fehler sind ein negatives \(k\) (es muss positiv sein, das Minuszeichen steckt bereits in der Formel), das Vergessen der Subtraktion von \(T_a\) vor dem Exponentieren sowie die Annahme einer konstanten Raumtemperatur, obwohl das Objekt seine Umgebung tatsächlich erwärmt oder abkühlt.
Ist das newtonsche Abkühlungsgesetz zur Schätzung der Todeszeit genau?
In der Forensik ist es eine nützliche erste Näherung, aber die reale Leichenabkühlung weicht vom einfachen Exponentialmodell ab. Zunächst gibt es eine „Plateau“-Phase, in der sich die innere Wärme verteilt, und die Abkühlkonstante schwankt je nach Körpergröße, Bekleidung, Luftbewegung und ob der Körper im Wasser liegt. Professionelle Verfahren wenden auf das Grundgesetz Korrekturregeln an. Betrachten Sie Ergebnisse dieses Rechners daher als grobe Schätzung, nicht als Beweismittel.
Gibt es beim Abkühlen eine Halbwertszeit wie beim radioaktiven Zerfall?
Ja. Die Zeit, in der sich die Temperaturdifferenz halbiert, ist konstant und beträgt \( t_{1/2} = \ln 2 / k \approx 0.693/k \) – unabhängig davon, wie heiß das Objekt ist. Eine Tasse mit \(k = 0.05\) pro Minute halbiert ihren Abstand zur Raumtemperatur etwa alle 13,9 Minuten: Aus 70 °C über Umgebung werden 35 °C, dann 17,5 °C und so weiter. Das ist eine praktische Plausibilitätskontrolle für Ihre Ergebnisse.