Калькулятор дисперсии

Обновлено: 3 октября, 2026

Введите набор данных и выберите выборочную или генеральную дисперсию, чтобы получить дисперсию, стандартное отклонение, среднее и подробную разбивку этапов вычисления.

Вычислить дисперсию

Формула дисперсии

Формула

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \qquad \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N} \]

Где:

\(s^2\) — выборочная дисперсия
\(\sigma^2\) — генеральная дисперсия
\(x_i\) — каждое значение в наборе данных
\(\bar{x}\) / \(\mu\) — среднее значение данных
\(n\) / \(N\) — количество точек данных

Дисперсия измеряет средний квадрат отклонения точек данных от их среднего значения. Выборочный вариант делит на \(n - 1\) (поправка Бесселя), чтобы дать несмещённую оценку, когда ваши данные являются лишь выборкой из более крупной генеральной совокупности.

Дисперсия — пример вычисления

Пример: набор данных 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 с типом дисперсии, установленным на «Выборочная».

\[ n = 8, \quad \sum x_i = 144, \quad \bar{x} = \frac{144}{8} = 18 \]

\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 64 + 36 + 25 + 25 + 4 + 25 + 9 + 4 = 192 \]

\[ s^2 = \frac{192}{8 - 1} = \frac{192}{7} \approx 27.43 \]

Результат: выборочная дисперсия равна \(s^2 \approx 27.43\), стандартное отклонение — \(s \approx 5.24\), среднее — \(18\), а количество точек данных — \(8\). Для сравнения, генеральная дисперсия тех же данных составила бы \(\sigma^2 = 192/8 = 24\).

Как пользоваться калькулятором

Введите или вставьте свои числа в поле Набор данных. Разделяйте их запятыми, пробелами, точками с запятой или переносами строк — можно использовать разные разделители одновременно.
Выберите Тип дисперсии: «Выборочная (деление на n − 1)», если ваши данные — это выборка из более крупной генеральной совокупности, или «Генеральная (деление на N)», если у вас есть все значения описываемой группы.
Прочитайте результат Дисперсия, а также Стандартное отклонение, Среднее и Количество точек данных.
Проверьте таблицу Сравнение, чтобы увидеть оба типа дисперсии, сумму \(\Sigma x\) и сумму квадратов отклонений \(\Sigma(x_i - \bar{x})^2\) рядом друг с другом — так вы сможете проверить расчёт вручную.

Что такое дисперсия?

Дисперсия — одна из самых распространённых мер разброса: она показывает, насколько сильно значения в наборе данных рассеяны вокруг своего среднего. Дисперсия, равная (или близкая к) нулю, означает, что все значения практически одинаковы; большая дисперсия означает, что значения широко разбросаны. Поскольку она строится из квадратов расстояний, дисперсия всегда неотрицательна и выражается в квадратных единицах — если ваши данные в долларах, дисперсия будет в долларах в квадрате.

Чтобы вернуться к исходным единицам, извлеките квадратный корень из дисперсии: это стандартное отклонение, которое калькулятор также выводит. Стандартное отклонение обычно легче интерпретировать («значения обычно отклоняются от среднего примерно на 5,24 единицы»), тогда как дисперсия — это величина, которая напрямую фигурирует в статистических формулах, от теории вероятностей до дисперсионного анализа и регрессии.

Калькулятор вычисляет дисперсию в три шага: находит среднее, суммирует квадраты отклонений каждой точки от этого среднего и делит итог на \(n - 1\) (выборка) или \(N\) (генеральная совокупность). Таблица сравнения показывает каждое из этих промежуточных значений, так что вы можете проследить, как именно получен итоговый результат.

Выборочная или генеральная дисперсия?

Выбор делителя имеет значение. Используйте генеральную дисперсию, когда ваш набор данных содержит всех членов интересующей вас группы — например, возраст всех учеников одного конкретного класса. Используйте выборочную дисперсию, когда ваши данные — это выборка из более крупной генеральной совокупности и вы хотите оценить дисперсию этой совокупности — например, измерение партии деталей для оценки изменчивости производственной линии.

Деление на \(n - 1\) вместо \(n\) (поправка Бесселя) компенсирует тот факт, что выборка имеет тенденцию занижать разброс генеральной совокупности: выборочное среднее само подогнано под выборку, поэтому отклонения выглядят меньше, чем они есть на самом деле. Для данных из примера выше выборочная дисперсия (27,43) заметно больше генеральной (24), и этот разрыв уменьшается по мере роста набора данных.

Ограничения и практические советы

Дисперсия чувствительна к выбросам: одно экстремальное значение вносит свой квадрат расстояния, что может доминировать в результате. Проверьте данные на опечатки, прежде чем делать выводы.
Для выборочной дисперсии требуется минимум 2 точки данных; при одном значении измерять разброс нечего, и калькулятор покажет ошибку.
Единицы измерения возводятся в квадрат. Если вам нужна мера разброса в тех же единицах, что и данные, используйте выводимое стандартное отклонение вместо самой дисперсии.
Поддерживаются десятичные дроби и отрицательные числа, поэтому данные измерений, например температуры, обрабатываются без проблем.
Дисперсия, близкая к нулю, не означает, что данные «хорошие» или «плохие» — это лишь означает, что значения согласованы. Желательно ли это, зависит от того, что вы измеряете.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить дисперсию шаг за шагом вручную?

Сначала найдите среднее: сложите все значения и разделите на их количество. Затем вычтите среднее из каждого значения и возведите каждый результат в квадрат. Сложите эти квадраты отклонений. Наконец, разделите сумму на \(n - 1\) для выборочной дисперсии или на \(n\) для генеральной. Для данных 2, 4, 6: среднее равно 4, квадраты отклонений равны 4, 0 и 4, их сумма равна 8, значит выборочная дисперсия равна \(8 / 2 = 4\).

Какое значение дисперсии считается хорошим или нормальным?

Не существует универсальной «хорошей» дисперсии — всё зависит от масштаба ваших данных и контекста. Дисперсия 25 ничтожна для доходов домохозяйств в долларах, но огромна для диаметров болтов в миллиметрах. Чтобы оценивать разброс без привязки к масштабу, сравните стандартное отклонение со средним (коэффициент вариации, \(s / \bar{x}\)). Как грубое правило: в примерно нормальных данных большинство значений лежат в пределах двух стандартных отклонений от среднего.

Может ли дисперсия быть отрицательной?

Нет, дисперсия всегда неотрицательна. Она вычисляется из квадратов отклонений, а квадраты не могут быть отрицательными. Наименьшее возможное значение — ровно 0, и оно достигается только тогда, когда каждая точка данных равна среднему, то есть когда все значения одинаковы. Если вы получили отрицательный результат в таблице или при ручном расчёте, это сигнализирует об ошибке в формуле, неверном диапазоне ячеек или о том, что вы случайно вычислили не дисперсию.

Какая функция Excel соответствует этому калькулятору?

Выборочной дисперсии в Excel соответствует функция ДИСП.В (VAR.S в английской версии) или ДИСП в старых версиях, а генеральной — ДИСП.Г (VAR.P, ранее VARP). Google Таблицы использует те же имена функций. Поэтому если вы вставили в этот калькулятор выборку, сравнивайте результат с VAR.S; если вы ввели всю генеральную совокупность — с VAR.P. Несовпадение обычно означает, что два инструмента используют разные делители, а не то, что какой-то из расчётов неверен.

Почему дисперсия возводит отклонения в квадрат, а не использует абсолютные значения?

Возведение в квадрат выполняет две задачи: оно делает каждое отклонение положительным и сильно штрафует большие отклонения, благодаря чему выбросы становятся заметными. Математически квадраты отклонений делают дисперсию дифференцируемой, поэтому она встречается во всей статистике — в регрессии (метод наименьших квадратов), дисперсионном анализе, доверительных интервалах и теории вероятностей. Подход на основе среднего абсолютного отклонения тоже существует, но ему недостают этих удобных математических свойств, поэтому дисперсия и стандартное отклонение доминируют.

Как перевести дисперсию в другие единицы измерения?

Дисперсия масштабируется пропорционально квадрату пересчёта единиц, поскольку строится из квадратов расстояний. Если ваши данные в сантиметрах и дисперсия равна \(9\ \text{см}^2\), то в метрах она составит \(9 / 100^2 = 0.0009\ \text{м}^2\). Умножение каждого значения данных на константу \(c\) умножает дисперсию на \(c^2\), а прибавление константы сдвигает данные, но оставляет дисперсию неизменной. Если вам нужен разброс в исходных единицах, просто используйте стандартное отклонение.

Можно ли пользоваться этим калькулятором с таблицей частот или сгруппированными данными?

Этот калькулятор ожидает исходный список отдельных значений, поэтому для таблицы частот нужно повторить каждое значение столько раз, какова его частота — например, таблица \(5 \times 3,\ 7 \times 2\) превращается в 5, 5, 5, 7, 7. Для сгруппированных данных с интервалами понадобились бы середины интервалов, что даёт лишь приближение. Для точных результатов всегда отдавайте предпочтение исходным наблюдениям, если они доступны.