Калькулятор дисперсії
Введіть набір даних і виберіть вибіркову або генеральну дисперсію, щоб отримати дисперсію, стандартне відхилення, середнє та повний покроковий розбір обчислень.
Обчислити дисперсію
Формула дисперсії
Де:
- \(s^2\) — вибіркова дисперсія
- \(\sigma^2\) — генеральна дисперсія
- \(x_i\) — кожне значення в наборі даних
- \(\bar{x}\) / \(\mu\) — середнє даних
- \(n\) / \(N\) — кількість точок даних
Дисперсія вимірює середній квадрат відстані точок даних від їхнього середнього. Вибірковий варіант ділить на \(n - 1\) (поправка Бесселя), щоб дати незміщену оцінку, коли ваші дані є лише вибіркою з більшої генеральної сукупності.
Дисперсія — приклад обчислення
Приклад: набір даних 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 із типом дисперсії «Вибіркова».
\[ n = 8, \quad \sum x_i = 144, \quad \bar{x} = \frac{144}{8} = 18 \]
\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 64 + 36 + 25 + 25 + 4 + 25 + 9 + 4 = 192 \]
\[ s^2 = \frac{192}{8 - 1} = \frac{192}{7} \approx 27.43 \]
Результат: вибіркова дисперсія дорівнює \(s^2 \approx 27.43\), стандартне відхилення — \(s \approx 5.24\), середнє — \(18\), а точок даних — \(8\). Для порівняння, генеральна дисперсія тих самих даних становила б \(\sigma^2 = 192/8 = 24\).
Як користуватися калькулятором
- Введіть або вставте свої числа в поле Набір даних. Розділяйте їх комами, пробілами, крапками з комою або новими рядками — можна змішувати роздільники.
- Виберіть Тип дисперсії: Вибіркова (ділити на n − 1), якщо ваші дані — це вибірка з більшої сукупності, або Генеральна (ділити на N), якщо ви маєте всі значення групи, яку описуєте.
- Прочитайте результат Дисперсія разом із Стандартним відхиленням, Середнім та Кількістю точок даних.
- Перегляньте таблицю Порівняння, щоб побачити обидва типи дисперсії, суму \(\Sigma x\) та суму квадратів відхилень \(\Sigma(x_i - \bar{x})^2\) поруч, тож ви зможете перевірити обчислення вручну.
Що таке дисперсія?
Дисперсія — один із найпоширеніших показників розсіювання: вона показує, наскільки широко значення в наборі даних розкидані навколо свого середнього. Дисперсія, що дорівнює нулю (або близька до нього), означає, що всі значення практично однакові; велика дисперсія означає, що значення сильно розкидані. Оскільки вона будується з квадратів відстаней, дисперсія завжди невід’ємна та виражається в квадратних одиницях — якщо ваші дані в доларах, дисперсія буде в квадратних доларах.
Щоб повернутися до початкових одиниць, візьміть квадратний корінь із дисперсії: це стандартне відхилення, яке калькулятор також показує. Стандартне відхилення зазвичай легше інтерпретувати («значення зазвичай відхиляються від середнього приблизно на 5,24 одиниці»), тоді як дисперсія — це величина, що безпосередньо фігурує у статистичних формулах, від теорії ймовірностей до дисперсійного аналізу та регресії.
Калькулятор обчислює дисперсію за три кроки: знаходить середнє, підсумовує квадрати відхилень кожної точки від цього середнього та ділить загальну суму на \(n - 1\) (вибірка) або \(N\) (генеральна сукупність). Таблиця порівняння показує кожен із цих проміжних результатів, тож ви можете простежити, як саме отримано підсумкове число.
Вибіркова чи генеральна дисперсія?
Вибір дільника має значення. Використовуйте генеральну дисперсію, коли ваш набір даних містить усіх членів групи, що вас цікавить, — наприклад, вік усіх учнів одного конкретного класу. Використовуйте вибіркову дисперсію, коли ваші дані є вибіркою з більшої сукупності і ви хочете оцінити дисперсію цієї сукупності — наприклад, коли вимірюють партію деталей, щоб оцінити мінливість виробничої лінії.
Ділення на \(n - 1\) замість \(n\) (поправка Бесселя) компенсує той факт, що вибірка схильна недооцінювати розкид сукупності: вибіркове середнє саме підігнане під вибірку, тому відхилення виглядають меншими, ніж є насправді. Для даних наведеного вище прикладу вибіркова дисперсія (27,43) помітно більша за генеральну (24), і ця різниця зменшується зі зростанням набору даних.
Обмеження та практичні поради
- Дисперсія чутлива до викидів: одне екстремальне значення вносить свій квадрат відстані, який може домінувати в результаті. Перевірте дані на помилки перед тим, як робити висновки.
- Вибіркова дисперсія потребує щонайменше 2 точок даних; якщо значення лише одне, немає розкиду для вимірювання, і калькулятор покаже помилку.
- Одиниці є квадратними. Якщо вам потрібна міра розкиду в тих самих одиницях, що й ваші дані, використовуйте показане стандартне відхилення замість самої дисперсії.
- Підтримуються десяткові дроби та від’ємні числа, тож вимірювальні дані, як-от температури, працюють без проблем.
- Дисперсія, близька до нуля, не означає, що дані «добрі» чи «погані» — це лише означає, що значення є узгодженими. Чи це бажано, залежить від того, що ви вимірюєте.
Часті запитання
Як покроково обчислити дисперсію вручну?
Спочатку знайдіть середнє: додайте всі значення та поділіть на їхню кількість. Потім відніміть середнє від кожного значення та зведіть кожен результат у квадрат. Складіть ці квадрати відхилень. Нарешті, поділіть суму на \(n - 1\) для вибіркової дисперсії або на \(n\) для генеральної. Для даних 2, 4, 6: середнє дорівнює 4, квадрати відхилень — 4, 0 і 4, їх сума — 8, тож вибіркова дисперсія дорівнює \(8 / 2 = 4\).
Яке значення дисперсії вважається хорошим чи нормальним?
Не існує універсальної «хорошої» дисперсії — усе залежить від масштабу ваших даних і контексту. Дисперсія 25 — мізерно мала для доходів домогосподарств у доларах, але величезна для діаметрів болтів у міліметрах. Щоб оцінити розкид незалежно від масштабу, порівняйте стандартне відхилення із середнім (коефіцієнт варіації, \(s / \bar{x}\)). Як грубий орієнтир: у приблизно нормальних даних більшість значень лежать у межах двох стандартних відхилень від середнього.
Чи може дисперсія бути від’ємною?
Ні, дисперсія завжди нульова або додатна. Вона обчислюється з квадратів відхилень, а квадрати ніколи не можуть бути від’ємними. Найменше можливе значення — рівно 0, і воно трапляється лише тоді, коли кожна точка даних дорівнює середньому, тобто коли всі значення однакові. Якщо ви отримали від’ємний результат у електронній таблиці або вручну, це сигналізує про помилку у формулі, хибний діапазон комірок або про те, що ви випадково обчислили щось інше, а не дисперсію.
Яка функція Excel відповідає цьому калькулятору?
Вибіркова дисперсія відповідає VAR.S в Excel (або VAR у старіших версіях), а генеральна дисперсія — VAR.P (раніше VARP). Google Sheets використовує ті самі назви функцій. Отже, якщо ви вставили в цей калькулятор вибірку, порівняйте результат із VAR.S; якщо ви ввели всю генеральну сукупність — із VAR.P. Невідповідність зазвичай означає, що два інструменти використовують різні дільники, а не те, що одне з обчислень неправильне.
Чому дисперсія підносить відхилення до квадрата замість використання абсолютних значень?
Піднесення до квадрата виконує два завдання: робить кожне відхилення додатним і сильно штрафує великі відхилення, тож викиди стають помітними. Математично квадрати відхилень роблять дисперсію диференційовною, саме тому вона фігурує в усій статистиці — у регресії (метод найменших квадратів), дисперсійному аналізі, довірчих інтервалах та теорії ймовірностей. Підхід на основі середнього абсолютного відхилення теж існує, але йому бракує цих зручних математичних властивостей, саме тому домінують дисперсія та стандартне відхилення.
Як перевести дисперсію в інші одиниці?
Дисперсія масштабується пропорційно до квадрата перетворення одиниць, бо вона будується з квадратів відстаней. Якщо ваші дані в сантиметрах, а дисперсія \(9\ \text{cm}^2\), то в метрах вона становитиме \(9 / 100^2 = 0.0009\ \text{m}^2\). Множення кожного значення даних на константу \(c\) множить дисперсію на \(c^2\), тоді як додавання константи зсуває дані, але не змінює дисперсію. Якщо вам потрібен розкид у початкових одиницях, просто використовуйте стандартне відхилення.
Чи можна використовувати цей калькулятор із частотною таблицею чи згрупованими даними?
Цей калькулятор очікує на сирий список окремих значень, тому з частотною таблицею потрібно повторити кожне значення стільки разів, скільки його частота — наприклад, таблиця \(5 \times 3,\ 7 \times 2\) перетворюється на 5, 5, 5, 7, 7. Для згрупованих даних з інтервалами класів знадобилися б середні точки класів, що дає лише наближену оцінку. Для точних результатів завжди віддавайте перевагу початковим сирих спостереженнях, коли вони доступні.