Калькулятор неупругого столкновения

Анализ абсолютно неупругого столкновения

Формула неупругого столкновения

Формула

\[ v = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} \] \[ KE_{lost} = \left( \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 \right) - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 \]

Где:

\(v\) — конечная скорость объединённой массы (м/с)
\(m_1\), \(m_2\) — массы двух тел (кг)
\(u_1\), \(u_2\) — начальные скорости двух тел (м/с)
\(KE_{lost}\) — кинетическая энергия, перешедшая в другие формы во время столкновения (Дж)

Первое уравнение выражает закон сохранения импульса: поскольку тела слипаются, они движутся с одной общей конечной скоростью \(v\). Второе уравнение даёт рассеянную кинетическую энергию — разность между суммарной кинетической энергией до удара и после него. Импульс сохраняется при любом столкновении, а вот кинетическая энергия при неупругом столкновении не сохраняется; потерянная энергия переходит в теплоту, звук и остаточную деформацию.

Неупругое столкновение — пример расчёта

Пример: тело массой 2 кг, движущееся со скоростью 5 м/с, сталкивается с покоящимся телом массой 1 кг, и они слипаются (это значения по умолчанию в калькуляторе).

\[ v = \frac{2 \times 5 + 1 \times 0}{2 + 1} = \frac{10}{3} \approx 3.3333\ \text{м/с} \]

\[ KE_{до} = \tfrac{1}{2}(2)(5^2) + \tfrac{1}{2}(1)(0^2) = 25\ \text{Дж} \]

\[ KE_{после} = \tfrac{1}{2}(3)(3.3333^2) \approx 16.6667\ \text{Дж} \]

\[ KE_{lost} = 25 - 16.6667 \approx 8.3333\ \text{Дж} \]

Результат: объединённая масса 3 кг движется со скоростью 3.3333 м/с в исходном направлении движения, а 8.3333 Дж кинетической энергии (около 33 % от начальной) теряется, переходя в теплоту, звук и деформацию.

Как пользоваться калькулятором

Введите Массу 1 (m₁) и выберите её единицу — кг или г.
Введите Начальную скорость 1 (u₁) и выберите м/с или км/ч. Используйте отрицательное значение, если тело движется в противоположном направлении.
Введите Массу 2 (m₂) с её единицей измерения.
Введите Начальную скорость 2 (u₂) с её единицей измерения. У покоящегося тела скорость равна 0.
Считайте результаты: Конечную скорость (v) слипшихся тел в м/с и Потери кинетической энергии в джоулях.

Смешанные единицы обрабатываются автоматически: массы в граммах переводятся в килограммы, а скорости в км/ч — в м/с перед вычислением, поэтому можно вводить данные в любых доступных единицах.

Что такое абсолютно неупругое столкновение?

Столкновение называется неупругим, когда сталкивающиеся тела теряют кинетическую энергию. В предельном случае — при абсолютно неупругом столкновении — тела соединяются и дальше движутся как единая масса. Бытовые примеры: автомобиль, «подхватывающий» тележку из супермаркета, дротик, вонзающийся в деревянный брусок, сцепка двух железнодорожных вагонов. По-настоящему упругие столкновения происходят только между атомами или твёрдыми шарами, например бильярдными; большинство реальных ударов хотя бы частично неупругие.

При любом столкновении, изолированном от внешних сил, суммарный импульс сохраняется: \(m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v\). Решая это уравнение относительно \(v\), получаем приведённую выше формулу. С кинетической энергией всё иначе: её часть переходит в теплоту, звук и работу, необходимую для необратимой деформации тел. Абсолютно неупругое столкновение рассеивает максимально возможное количество кинетической энергии, совместимое с сохранением импульса — поэтому «потерянная энергия» в этом калькуляторе является также максимальной энергией, которую может поглотить любое столкновение этих двух тел.

Интерпретировать результаты несложно. Конечная скорость всегда лежит между двумя начальными скоростями (и по знаку, и по величине), поскольку представляет собой их средневзвешенное по массе значение. Если обе начальные скорости равны, столкновения не происходит и энергия не теряется. Чем больше разница между \(u_1\) и \(u_2\), тем больше кинетической энергии рассеивается. Если вычисленная конечная скорость отрицательна, объединённая масса движется в направлении, которое вы условились считать отрицательным — в соответствии с теми обозначениями, что вы использовали при вводе начальных скоростей.

Допущения и ограничения

Только одно измерение. Оба тела должны двигаться вдоль одной прямой до и после столкновения. Для двумерных ударов потребуется применить закон сохранения импульса отдельно по каждой оси.
Абсолютная неупругость. Расчёт предполагает, что тела слипаются. При частично неупругих столкновениях (тела разлетаются, но теряют энергию) конечные скорости будут другими, и необходимо знать коэффициент восстановления.
Изолированная система. Внешние силы — трение, сопротивление воздуха, тяга двигателя — во время столкновения не учитываются. За миллисекунды удара это обычно превосходное приближение.
Материальные точки. Вращение не учитывается. Если тела протяжённые и после удара начинают вращаться, часть энергии переходит в кинетическую энергию вращения — для этого случая см. калькуляторы Кинетическая энергия вращения и Момент импульса.
Значение Потерь кинетической энергии не может быть отрицательным при физически корректных входных данных; отрицательный результат означал бы, что начальные скорости введены с несогласованными знаками.

Практическое применение

Подобные расчёты нужны везде, где два тела соединяются: реконструкция ДТП (скорости сразу после того, как автомобили сцепились), баллистические маятники для измерения скорости пуль, сцепка железнодорожных вагонов, анализ в физике частиц. Инженеры также используют величину потерянной энергии при проектировании зон смятия и амортизаторов: чем больше энергии безопасно поглощает конструкция, тем меньше её передаётся пассажирам. Для смежных задач по движению попробуйте калькуляторы Движение тела, брошенного под углом или Тормозной путь.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить абсолютно неупругое столкновение вручную?

Сначала переведите все величины в килограммы и м/с. Затем умножьте каждую массу на её скорость, сложите произведения и разделите на суммарную массу: \( v = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} \). Для потерянной энергии вычислите \( \tfrac{1}{2}m_1u_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2u_2^2 \) до удара и вычтите \( \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v^2 \) после удара. Учитывайте знаки скоростей: тело, движущееся влево, имеет отрицательную скорость.

Как быть при лобовом столкновении, когда тела движутся навстречу друг другу?

Примите одно направление за положительное и введите скорость второго тела со знаком минус. Если тело массой 3 кг со скоростью +4 м/с сталкивается лобово с телом массой 2 кг со скоростью −6 м/с, суммарный импульс равен \( 3(4) + 2(−6) = 0 \), поэтому слипшаяся пара останавливается, и вся кинетическая энергия теряется. Забытый знак минус — самая распространённая ошибка при работе с этой формулой.

В чём разница между неупругим и упругим столкновением?

При упругом столкновении сохраняются и импульс, и кинетическая энергия — тела разлетаются без потерь энергии. При неупругом столкновении импульс по-прежнему сохраняется, а кинетическая энергия — нет: часть её переходит в теплоту, звук или деформацию. Абсолютно неупругое столкновение — предельный случай, когда тела слипаются и теряют максимум кинетической энергии, допустимый законом сохранения импульса.

Почему импульс сохраняется, а кинетическая энергия — нет?

Импульс сохраняется, потому что во время краткого удара на систему не действуют внешние силы — внутренние силы попарно компенсируются (третий закон Ньютона). Кинетическая энергия — скалярная величина без такой гарантии сохранения: она может переходить в другие формы, например в теплоту, звук и работу по необратимому изгибу металла. Постоянной она остаётся только при абсолютно упругих ударах.

Сколько кинетической энергии может потеряться при абсолютно неупругом столкновении?

Это зависит от масс и разницы скоростей. Если одно тело изначально покоится, доля потерь равна \( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \). При равных массах рассеивается ровно половина кинетической энергии. Если покоящееся тело ударяет очень тяжёлое — теряется мало энергии; если тяжёлое тело ударяет лёгкое — теряется большая доля. Если же оба тела движутся с одинаковой скоростью, потери равны нулю.

Может ли конечная скорость быть отрицательной или нулевой?

Да. Конечная скорость — это средневзвешенное по массе двух начальных скоростей, поэтому она может получиться отрицательной (пара движется в направлении, которое вы условились считать отрицательным) или точно нулевой (импульсы взаимно компенсируются — равны по величине и противоположны по направлению). Нулевой результат просто означает, что объединённая масса после удара покоится; если направление вас удивило, проверьте выбранные знаки.

Работает ли калькулятор с единицами вроде граммов и км/ч?

Да. Выберите г или кг для каждой массы и м/с или км/ч для каждой скорости — их можно свободно комбинировать. Граммы делятся на 1000, а км/ч — на 3,6 перед вычислением, поэтому результаты всегда выводятся в м/с и джоулях. Если вам нужен результат в км/ч, умножьте конечную скорость на 3,6 самостоятельно.