Калькулятор орбитальной скорости
Рассчитайте скорость, необходимую для круговой орбиты вокруг Земли, Луны, Марса, Юпитера, Солнца или произвольного небесного тела. Введите высоту или радиус орбиты и получите орбитальную скорость, период обращения и длину орбиты.
Найдите скорость, необходимую для круговой орбиты
Формула орбитальной скорости
Где:
- \(v\) — орбитальная скорость, постоянная скорость движения объекта по круговой орбите (м/с)
- \(G\) — гравитационная постоянная, \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}\)
- \(M\) — масса центрального тела (кг)
- \(r\) — радиус орбиты, расстояние от центра тела до орбиты (м)
- \(R\) — средний радиус центрального тела (м)
- \(h\) — высота орбиты над поверхностью тела (м)
Формула показывает, что на круговой орбите сила тяготения обеспечивает ровно ту центростремительную силу, которая необходима для кругового движения: приравняв \(GMm/r^2 = mv^2/r\) и выразив \(v\), получаем результат. Калькулятор также вычисляет период обращения по формуле \(T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}\).
Орбитальная скорость — пример расчёта
Пример: Международная космическая станция летит по почти круговой орбите на высоте около 400 км над поверхностью Земли. Найдём её орбитальную скорость и период обращения.
Стандартный гравитационный параметр Земли равен \(GM = 3.986004 \times 10^{14}\ \text{м}^3/\text{с}^2\), а её средний радиус — \(R = 6371\ \text{км}\). Радиус орбиты составляет:
\[ r = R + h = 6371\ \text{км} + 400\ \text{км} = 6771\ \text{км} = 6.771 \times 10^{6}\ \text{м} \]
\[ v = \sqrt{\frac{3.986004 \times 10^{14}}{6.771 \times 10^{6}}} \approx 7673\ \text{м/с} \approx 7.67\ \text{км/с} \]
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{(6.771 \times 10^{6})^3}{3.986004 \times 10^{14}}} \approx 5545\ \text{с} \approx 92.4\ \text{мин} \]
Результат: чтобы удерживаться на круговой орбите высотой 400 км, МКС должна лететь со скоростью около 7,67 км/с (примерно 27 600 км/ч или 17 150 миль/ч), совершая один полный виток вокруг Земли — расстояние около 42 543 км — примерно за 92 минуты.
Как пользоваться калькулятором
- Выберите Центральное тело — Земля, Луна, Марс, Юпитер, Солнце или Другое тело. Для готового тела автоматически подставляются его известные масса и радиус.
- Укажите Тип расстояния: либо Высота над поверхностью (типично для орбит космических аппаратов), либо Радиус орбиты от центра.
- Введите Высоту орбиты (h) (или радиус орбиты, в зависимости от выбора) и выберите единицу измерения — км, м или мили.
- Если вы выбрали Другое тело, заполните Массу тела (M) в массах Земли, килограммах или массах Солнца. При вводе высоты также укажите Радиус тела (R), чтобы калькулятор мог пересчитать высоту в радиус орбиты.
- Ознакомьтесь с результатами: орбитальная скорость в шести различных единицах, а также период обращения и путь, проходимый за один оборот.
Что такое орбитальная скорость?
Орбитальная скорость — это скорость, которую объект должен поддерживать, чтобы двигаться по круговой траектории вокруг небесного тела, не падая на него и не улетая прочь. Речь не о том, чтобы «избавиться» от гравитации — в космосе она действует в полную силу, — а о том, чтобы двигаться вбок достаточно быстро, так чтобы искривлённое падение к телу в точности совпадало с кривизной орбиты. Космонавт на борту МКС находится в состоянии непрерывного свободного падения; станция просто летит вперёд так быстро, что постоянно «промахивается» мимо Земли.
Ключевой вывод из формулы \(v = \sqrt{GM/r}\) состоит в том, что орбитальная скорость зависит только от массы центрального тела и радиуса орбиты — но не от массы самого объекта. Боулинговый шар и перо на одной и той же высоте требуют совершенно одинаковой скорости. Обратите также внимание на обратную зависимость от расстояния: чем выше орбита, тем меньше требуемая скорость. На высоте 400 км МКС мчится со скоростью 7,67 км/с, а спутнику на геостационарной орбите высотой 35 786 км достаточно всего около 3,07 км/с.
Период обращения \(T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}\) показывает, сколько длится один полный оборот. Он быстро растёт с высотой, потому что длина окружности увеличивается, а скорость уменьшается. В этом выражении скрыт третий закон Кеплера: квадрат периода пропорционален кубу радиуса орбиты. Для Земли орбита, период которой равен одним звёздным суткам (23 ч 56 мин), находится на высоте 35 786 км — это геостационарный пояс, который используют спутники связи.
Допущения, ограничения и практические советы
- Только круговые орбиты. Формула даёт точную скорость для круговой орбиты. Реальные орбиты обычно эллиптические, где скорость меняется вдоль пути — максимальна в самой низкой точке (перигее), минимальна в самой высокой (апогее).
- Материальная точка. Предполагается, что вся масса тела сосредоточена в его центре, что отлично работает для планет и звёзд, но менее точно вблизи тел неправильной формы, например малых астероидов.
- Без атмосферы и возмущений. Торможение атмосферой, гравитация спутников и других планет, а также релятивистские эффекты вблизи очень массивных тел не учитываются. Низкие орбиты со временем снижаются именно из-за атмосферного торможения.
- Только задача двух тел. Расчёт предполагает, что масса обращающегося объекта пренебрежимо мала по сравнению с массой центрального тела. Это справедливо для спутников, космических аппаратов и даже планет, обращающихся вокруг Солнца.
- Нулевая высота означает орбиту, скользящую по самой поверхности — физически невозможно для тел с атмосферой, но полезно для сравнения теоретических скоростей «приповерхностной» орбиты (около 7,91 км/с для Земли).
- При использовании варианта Другое тело убедитесь, что введённый радиус орбиты больше радиуса самого тела; иначе калькулятор предупредит вас, что орбита оказалась бы внутри тела.
Связанная физика
Орбитальное движение — классическое применение центростремительной силы: роль силы, притягивающей объект к центру, играет гравитация. Такой же баланс следует и из закона сохранения энергии: на круговой орбите кинетическая и гравитационная потенциальная энергия остаются постоянными, а обмен высоты на скорость на эллиптических орбитах — это прямое энергообменное преобразование.
Часто задаваемые вопросы
Чем орбитальная скорость отличается от второй космической скорости?
Орбитальная скорость — это скорость, необходимая для удержания на круговой орбите, а вторая космическая скорость — скорость, необходимая, чтобы окончательно преодолеть притяжение тела. Для любого заданного радиуса вторая космическая скорость равна круговой орбитальной скорости, умноженной на \(\sqrt{2}\), то есть примерно в 1,41 раза больше. У поверхности Земли это означает 7,91 км/с для орбиты и 11,19 км/с для отлёта. Спутник, летящий ровно с орбитальной скоростью, имеет энергии ровно столько, чтобы вечно обращаться по кругу, но не достаточно, чтобы улететь.
Почему более высокие орбиты требуют меньшей скорости?
Гравитация ослабевает с расстоянием по закону обратных квадратов, поэтому спутнику, находящемуся дальше от тела, нужна меньшая боковая скорость, чтобы продолжать «промахиваться» мимо поверхности. Формула \(v = \sqrt{GM/r}\) показывает, что скорость уменьшается с ростом радиуса. Вблизи Земли МКС на высоте 400 км летит со скоростью 7,67 км/с, а Луна, находясь на расстоянии около 384 400 км, движется со скоростью лишь около 1,02 км/с. Однако вопреки интуиции более высокие орбиты всё же занимают больше времени, потому что длина окружности растёт, а скорость падает.
С какой скоростью летит спутник на низкой околоземной орбите?
Типичные спутники на низкой околоземной орбите (НОО) летят со скоростью от 7,5 до 7,8 км/с, то есть примерно 27 000–28 000 км/ч. МКС на высоте 400 км движется со скоростью 7,67 км/с, а большинство спутников НОО находятся на высотах от 200 до 2000 км, где скорости меняются лишь незначительно, поскольку высота мала по сравнению с радиусом Земли в 6371 км. С такими скоростями спутник облетает всю планету примерно за 90–130 минут.
На какой высоте находится геостационарная орбита вокруг Земли?
Геостационарная орбита расположена на высоте 35 786 км над экватором, где период обращения равен одним звёздным суткам (23 ч 56 мин 4 с). На этой высоте спутник движется со скоростью около 3,07 км/с и кажется неподвижным над одной точкой поверхности — именно поэтому телевизионные и метеорологические спутники используют этот пояс. Тот же принцип применим к другим телам: например, геостационарная орбита вокруг Марса находится на высоте около 17 000 км.
Можно ли использовать этот калькулятор для эллиптических орбит?
Нет — формула \(v = \sqrt{GM/r}\) применима только к круговым орбитам. На эллиптической орбите скорость постоянно меняется: спутник движется быстрее всего в перигее (ближайшей точке) и медленнее всего в апогее (самой дальней точке). Для эллипсов можно использовать уравнение.vis-viva (интеграл энергии) \(v = \sqrt{GM(2/r - 1/a)}\), где \(a\) — большая полуось. Круговой результат совпадает со скоростью из vis-viva, когда эллипс превращается в окружность, то есть когда \(r = a\).
Почему космонавты на МКС парят в невесомости, если станция летит так быстро?
Космонавты парят не потому, что гравитация отсутствует, а потому, что они вместе с космическим аппаратом находятся в состоянии непрерывного свободного падения. На высоте 400 км гравитация всё ещё составляет около 90% от её силы на поверхности. Станция и всё, что в ней находится, ускоряются к Земле одинаково, поэтому между ними нет силы контакта — это и создаёт ощущение невесомости. Если бы станция внезапно остановилась, она упала бы вниз, как любой другой предмет.
Как рассчитать орбитальную скорость вручную для другой планеты?
Переведите радиус орбиты в метры, найдите стандартный гравитационный параметр планеты \(GM\) (или умножьте её массу на \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\)), затем извлеките квадратный корень из \(GM/r\). Например, у Марса \(GM = 4.2828 \times 10^{13}\ \text{м}^3/\text{с}^2\); на высоте 300 км радиус составляет около \(3.69 \times 10^{6}\) м, что даёт \(v \approx 3.41\) км/с. Всегда используйте метры, килограммы и секунды, чтобы избежать ошибок с единицами измерения.