Калькулятор закона сохранения энергии

Рассчитать полную механическую энергию

Формула закона сохранения энергии

Формула

\[ E_1 = E_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2 \]

Где:

\(m\) — масса объекта (кг)
\(v_1\), \(v_2\) — скорость объекта в состоянии 1 и в состоянии 2 (м/с)
\(h_1\), \(h_2\) — высота объекта в состоянии 1 и в состоянии 2 (м)
\(g\) — ускорение свободного падения (9,81 м/с\(^2\) на Земле)
\(KE = \tfrac{1}{2}mv^2\) — кинетическая энергия (Дж)
\(PE = mgh\) — гравитационная потенциальная энергия (Дж)

Это уравнение утверждает, что полная механическая энергия \(E = KE + PE\) остаётся постоянной, когда объект движется без трения и сопротивления воздуха: какая потенциальная энергия теряется при падении, такая же кинетическая энергия появляется взамен, и наоборот.

Сохранение энергии — пример расчёта

Пример: объект массой 5 кг отпускают из состояния покоя с высоты 10 м, и он свободно падает на землю (\(h_2 = 0\)). Найдём его скорость непосредственно перед ударом о землю.

\[ m = 5\ \text{кг},\quad h_1 = 10\ \text{м},\quad v_1 = 0\ \text{м/с},\quad h_2 = 0\ \text{м},\quad g = 9.81\ \text{м/с}^2 \]

Энергия в состоянии 1 (вся потенциальная, поскольку \(v_1 = 0\)):

\[ KE_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 0^2 = 0\ \text{Дж},\qquad PE_1 = 5 \cdot 9.81 \cdot 10 = 490.5\ \text{Дж},\qquad E_1 = 490.5\ \text{Дж} \]

Решим уравнение сохранения энергии относительно \(v_2\):

\[ v_2 = \sqrt{\frac{2\,(E_1 - mgh_2)}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot (490.5 - 0)}{5}} = \sqrt{196.2} \approx 14.007\ \text{м/с} \]

Результат: полная энергия в обоих состояниях равна 490,5 Дж, а объект ударяется о землю со скоростью \(v_2 \approx 14.007\) м/с (около 50,4 км/ч).

Как пользоваться калькулятором

Введите массу (m) объекта и выберите единицу измерения (кг или г).
В разделе Состояние 1 заполните поля Высота 1 (h₁) и Скорость 1 (v₁) с их единицами измерения (м или см для высоты, м/с или км/ч для скорости). Состояние 1 — это начальная точка движения.
В разделе Состояние 2 введите Высоту 2 (h₂) — точку, которую вы хотите проанализировать. Вы также можете изменить единицу измерения Скорости 2 (v₂); её значение вычисляется калькулятором, а выбранная единица лишь определяет, в каком виде будет показан ответ.
Проверьте ускорение свободного падения (g). Значение по умолчанию 9,81 м/с\(^2\) относится к Земле; при необходимости измените его для Луны (1,62) или другого небесного тела.
Нажмите Рассчитать. Калькулятор покажет полную энергию в состоянии 1, скорость в состоянии 2 и полную энергию в состоянии 2 — два значения энергии должны совпасть, что подтверждает сохранение энергии.

Что такое закон сохранения энергии?

Закон сохранения энергии — один из самых фундаментальных принципов физики: энергия не может быть создана или уничтожена, она лишь переходит из одной формы в другую. В механике наиболее важны две формы: кинетическая энергия — энергия движения — и гравитационная потенциальная энергия, которая зависит от высоты объекта над выбранным уровнем отсчёта. Их сумма, механическая энергия, остаётся постоянной, пока никакая энергия не покидает систему.

Падающий объект идеально иллюстрирует эту идею. В верхней точке траектории он движется медленно и находится высоко над землёй, поэтому большая часть его энергии — потенциальная. По мере падения высота уменьшается, а скорость растёт: потенциальная энергия переходит в кинетическую в точности с той же скоростью. В момент удара вся исходная потенциальная энергия стала кинетической. Если катить шар вверх по наклонной плоскости, процесс идёт в обратном направлении.

Поскольку полная энергия фиксирована, можно предсказать скорость на любой высоте, не зная подробностей траектории. Мяч, брошенный вертикально вверх, шайба, скользящая по гладкой криволинейной поверхности без трения, и качающийся маятник подчиняются одному и тому же уравнению — скорость зависит только от энергетического баланса, а не от формы траектории. Именно поэтому закон сохранения энергии — столь мощный инструмент решения задач: он заменяет детальный анализ сил простым подсчётом энергии в двух состояниях.

При интерпретации результата помните, что обе энергии измеряются относительно выбранного уровня отсчёта высоты. Калькулятор считает \(h = 0\) уровнем, где потенциальная энергия равна нулю, и значения полной энергии имеют смысл только относительно этого же уровня отсчёта. Совпадать в обоих состояниях должна именно полная энергия, а не её отдельные кинетическая или потенциальная части.

Допущения и ограничения

Нет трения и сопротивления воздуха. Калькулятор предполагает идеально консервативную систему. При наличии сопротивления воздуха или трения реальная скорость в состоянии 2 будет ниже расчётной; для падения в воздухе см. калькулятор предельной скорости падения.
Абсолютно твёрдое тело, без вращения. Учитывается только поступательная кинетическая энергия. Если объект катится или вращается, часть энергии уходит во вращение — этот случай рассматривается в калькуляторе кинетической энергии вращения.
Постоянное ускорение свободного падения. Значение \(g\) считается одинаковым на обеих высотах, что является отличным приближением вблизи поверхности Земли.
Уровень отсчёта высоты произволен. Вы можете установить \(h = 0\) где угодно; на результат влияют только разности высот. Используйте один и тот же уровень отсчёта для обоих состояний.
Если введённые числа подразумевают больше энергии в состоянии 2, чем в состоянии 1 (например, более высокое положение и большая скорость без подвода энергии), выражение под корнем становится отрицательным и физического решения не существует — проверьте исходные данные.

Практические советы

Для чистой задачи свободного падения задайте \(v_1 = 0\) и \(h_2 = 0\); ответ тогда равен классической скорости свободного падения \(v = \sqrt{2gh}\). Калькулятор свободного падения описывает полное движение во времени.
Чтобы найти, насколько высоко поднимется брошенный объект, мысленно примите \(v_2 = 0\), оставив в состоянии 2 нулевую скорость — введите начальную скорость в состоянии 1 и найдите высоту, на которой вся энергия становится потенциальной.
Тот же принцип управляет колебаниями маятника и горками американских горок; для смежных задач о движении попробуйте калькулятор движения тела, брошенного под углом и калькулятор математического маятника.
Реальные механизмы всегда теряют часть энергии на трение и нагрев. Чтобы оценить, сколько полезной энергии сохраняется, используйте калькулятор коэффициента полезного действия механизма.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать сохранение энергии вручную?

Запишите энергетический баланс \(\tfrac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2\), подставьте известные значения и решите уравнение относительно неизвестной величины. Для скорости: \(v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2g(h_1 - h_2)}\). Сначала вычислите каждое слагаемое в джоулях (кинетическую и потенциальную энергию по отдельности), чтобы проверить вычисления — обе суммы должны совпасть, иначе какое-то из входных данных неверно.

Почему при свободном падении масса сокращается?

Если объект начинает движение из состояния покоя, масса присутствует в обеих частях уравнения энергии и сокращается, давая \(v = \sqrt{2g\Delta h}\). Перо и молоток, отпущенные с одной высоты в вакууме, ударяются о землю с одинаковой скоростью. Масса всё же важна в этом калькуляторе для абсолютных значений энергии в джоулях — более тяжёлый объект накапливает больше энергии при той же высоте и скорости.

Что означает отрицательное число под корнем?

Если введённые данные подразумевают, что состоянию 2 требуется больше энергии, чем состоянию 1 (более высокое положение и большая скорость) без подвода энергии, уравнение не имеет физического решения — такое движение невозможно. Проверьте высоты: классическая ошибка — перепутать единицы измерения или поменять местами два состояния. Также убедитесь, что \(h_1\) и \(h_2\) отсчитываются от одного и того же нулевого уровня.

Влияет ли выбор уровня отсчёта высоты (h = 0)?

Нет — на скорость влияет только разность высот. Ноль можно установить на уровне земли, столешницы или даже ниже самого объекта; вычисленное значение \(v_2\) будет одинаковым. Абсолютные значения энергии в джоулях при этом меняются, поэтому два человека могут назвать разные значения полной энергии для одной и той же задачи — и оба будут правы.

Какое значение g использовать для Луны, Марса и других планет?

Земля: \(g \approx 9.81\ \text{м/с}^2\) (9,78 на экваторе, 9,83 на полюсах). Луна: 1,62. Марс: 3,71. Юпитер: 24,79. Просто замените значение по умолчанию в поле ускорения свободного падения. На Луне то же падение с 10 м даёт лишь около 5,7 м/с вместо 14 м/с.

Когда закон сохранения механической энергии неприменим?

Всякий раз, когда энергия уходит из механической формы: трение, сопротивление воздуха, неупругие столкновения или работа двигателя. Тогда \(KE_2 + PE_2\) будет меньше, чем \(KE_1 + PE_1\), и реальная скорость в состоянии 2 ниже идеального значения калькулятора. Для обычных падений с высоты менее нескольких сотен метров сопротивление воздуха вносит лишь небольшую погрешность для компактных объектов.

Почему скорость на заданной высоте не зависит от формы пути?

Потому что гравитационная сила консервативна: энергетический баланс сравнивает только начальную и конечную высоты, а не траекторию между ними. Шар, скользящий по гладкой наклонной плоскости без трения, груз маятника и свободно падающий объект развивают одинаковую скорость при одинаковой высоте спуска. Именно это делает энергетические методы быстрее, чем анализ сил вдоль криволинейной траектории.