Калькулятор потенциальной энергии упругой деформации

Обновлено: 3 октября, 2026

Вычислите потенциальную энергию упругой деформации пружины по её жёсткости и смещению либо найдите k или x, если энергия известна. Поддерживаются единицы Н/м, Н/см, м, см и мм.

Рассчитать энергию, запасённую в пружине

Формула потенциальной энергии упругой деформации

Формула

\[ PE = \frac{1}{2} k x^2 \]

Где:

\(PE\) — потенциальная энергия упругой деформации (Дж)
\(k\) — жёсткость пружины (Н/м)
\(x\) — смещение от положения равновесия (м)

Эта формула, выведенная из закона Гука, даёт энергию, запасённую в пружине, растянутой или сжатой на расстояние \(x\) от её естественной длины. То же соотношение можно преобразовать для нахождения двух других переменных:

\[ k = \frac{2 \cdot PE}{x^2} \qquad x = \sqrt{\frac{2 \cdot PE}{k}} \]

Потенциальная энергия упругой деформации — пример расчёта

Пример: пружина с жёсткостью \(k = 100\ \text{Н/м}\) растянута на \(x = 0{,}1\ \text{м}\) от положения равновесия. Какая потенциальная энергия упругой деформации в ней запасена?

\[ PE = \frac{1}{2} \times 100 \times (0{,}1)^2 \]

\[ PE = 50 \times 0{,}01 = 0{,}5\ \text{Дж} \]

Результат: пружина запасает 0,5 джоуля потенциальной энергии упругой деформации.

Как пользоваться калькулятором

В выпадающем списке «Я хочу рассчитать» выберите, что вам нужно: потенциальную энергию упругой деформации (PE), жёсткость пружины (k) или смещение (x). Поле, которое вы вычисляете, заполняется автоматически.
Введите жёсткость пружины (k) и выберите её единицу — Н/м или Н/см (значения в Н/см внутренне преобразуются в Н/м).
Введите смещение (x) и выберите единицу — м, см или мм (автоматически преобразуется в метры).
Если вы вычисляете k или x, вместо соответствующего поля введите известную потенциальную энергию упругой деформации (PE) в джоулях.
Прочитайте результат в блоке «Результат»: энергия приводится в джоулях (Дж), жёсткость — в Н/м, смещение — в метрах.

Что такое потенциальная энергия упругой деформации?

Потенциальная энергия упругой деформации — это энергия, запасённая в теле при его растяжении или сжатии: вспомните сжатую пружину, натянутый лук или растянутую резинку. Пока деформация остаётся в пределах упругости, тело после снятия силы возвращается к исходной форме, высвобождая запасённую энергию. Это поведение описывается законом Гука, который гласит, что возвращающая сила пропорциональна смещению: \(F = kx\).

Жёсткость пружины \(k\) характеризует её упругость: у жёсткой пружины она может составлять \(k = 10\,000\ \text{Н/м}\), а у мягкой — \(k = 50\ \text{Н/м}\). Чем больше жёсткость, тем большая сила нужна при том же смещении и тем больше энергии запасается. Обратите внимание, что энергия растёт с квадратом смещения — удвоение растяжения запасает в четыре раза больше энергии, поэтому перерастянутые пружины могут быть опасны.

Поскольку сила упругости меняется вместе со смещением, запасённая энергия равна работе против неё: средняя сила \(\frac{kx}{2}\), действующая на расстоянии \(x\), даёт \(PE = \frac{1}{2}kx^2\). Это аналог формул с квадратом переменной, таких как кинетическая энергия вращения и других энергетических формул в физике.

Результат показывает, сколько энергии доступно для высвобождения. Когда сжатая пружина толкает брусок, эта упругая энергия превращается в кинетическую; в дротикомете или подвеске автомобиля тот же принцип сглаживает удары. Сравнение запасённой энергии с другими энергиями в системе (например, в задачах о движении снаряда, где пружина запускает снаряд) — стандартный способ решения задач по механике.

Допущения и ограничения

Линейная упругость (закон Гука): формула справедлива, только пока сила и смещение остаются пропорциональными. За пределом упругости материал деформируется необратимо, и расчёт перестаёт действовать.
Идеальная пружина: собственная масса пружины, внутреннее трение и демпфирование не учитываются; реальные пружины теряют часть энергии в тепло при сжатии и распрямлении.
Смещение от положения равновесия: \(x\) нужно измерять от естественной (ненапряжённой) длины пружины, а не от произвольной точки. Для вертикально подвешенной пружины с грузом измеряйте дополнительное растяжение, а не полную длину.
Согласованность единиц: калькулятор автоматически переводит Н/см в Н/м и см/мм в м, но при использовании формулы вручную держите \(k\) в Н/м и \(x\) в метрах, чтобы \(PE\) получилась в джоулях.
Знак не важен: поскольку \(x\) возводится в квадрат, сжатие и растяжение на одно и то же расстояние запасают одинаковую энергию; можно вводить любое из них как положительное значение.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать потенциальную энергию упругой деформации вручную?

Умножьте жёсткость пружины на квадрат смещения и возьмите половину результата: \(PE = \frac{1}{2}kx^2\). Например, пружина с \(k = 200\ \text{Н/м}\), сжатая на \(0{,}05\ \text{м}\), запасает \(\frac{1}{2} \times 200 \times 0{,}0025 = 0{,}25\ \text{Дж}\). Только убедитесь, что \(k\) выражена в Н/м, а \(x\) — в метрах, тогда результат получится в джоулях.

Может ли потенциальная энергия упругой деформации быть отрицательной?

Нет. Поскольку смещение возводится в квадрат, результат всегда неотрицательный — сжатие пружины на 5 см запасает ровно столько же энергии, сколько растяжение на 5 см. Если при ручном расчёте у вас получилось отрицательное значение, вероятно, вы ввели сжатие со знаком минус; используйте модуль этого числа. Отрицательный результат мог бы появиться только при вычитании энергий разных пружин в более сложной задаче.

Каково типичное значение жёсткости пружины?

Это зависит от упругости. Мягкие пружины, например в ручках или игрушках, имеют жёсткость около 20–100 Н/м. Пружины автомобильной подвески — примерно 20 000–50 000 Н/м, а тяжёлые промышленные пружины могут превышать 100 000 Н/м. Если \(k\) неизвестна, её можно измерить: подвесьте груз известной массы и разделите его вес на дополнительное растяжение, \(k = F/x\), поскольку закон Гука связывает силу, жёсткость и смещение.

Как переводить единицы при использовании формулы вручную?

Перед подстановкой переведите всё в единицы СИ. Поскольку \(1\ \text{Н/см} = 100\ \text{Н/м}\), умножьте значения в Н/см на 100. Разделите сантиметры на 100 и миллиметры на 1000, чтобы получить метры. Смешение единиц — самая частая причина ошибок: пружина с жёсткостью 5 Н/см, растянутая на 10 см, — это \(k = 500\ \text{Н/м}\) и \(x = 0{,}1\ \text{м}\), что даёт \(PE = 2{,}5\ \text{Дж}\).

Почему в формуле есть ½, а не просто kx²?

Сила, необходимая для растяжения пружины, не постоянна — она растёт от 0 до \(kx\). Совершённая работа равна средней силе, умноженной на путь, а среднее между 0 и \(kx\) равно \(\frac{kx}{2}\). Умножение на \(x\) даёт \(\frac{1}{2}kx^2\). Геометрически это площадь треугольника под графиком «сила — смещение».

Работает ли формула для резинок и других упругих тел?

Лишь приближённо и только при малых деформациях. Формула предполагает идеальную линейную упругость, где сила точно пропорциональна растяжению. Резинки ведут себя нелинейно: их жёсткость меняется по мере растяжения, поэтому \(\frac{1}{2}kx^2\) при больших удлинениях становится всё менее точной. Металлические пружины следуют закону Гука гораздо точнее, но и они отклоняются от него при приближении к пределу упругости.

Как потенциальная энергия упругой деформации связана с кинетической энергией?

Когда сжатая или растянутая пружина освобождается, запасённая в ней энергия переходит в кинетическую энергию движущегося тела: в идеальном случае без трения \(\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2\). Это позволяет предсказать скорость запуска — пружина, запасающая 4 Дж и отдающая энергию бруску массой 0,5 кг, сообщает ему скорость \(\sqrt{2 \times 4 / 0{,}5} = 4\ \text{м/с}\). В реальных системах часть энергии теряется на трение и нагрев.