Калькулятор второй космической скорости
Рассчитайте вторую космическую скорость для Земли, Луны, Марса, Солнца или любого другого тела по его массе и радиусу по формуле vₑ = √(2GM/R). Результат в км/с, м/с, mph и других единицах, а также ускорение свободного падения на поверхности.
Найдите вторую космическую скорость планеты, спутника или звезды
Формула второй космической скорости
Где:
- \(v_e\) — вторая космическая скорость (м/с)
- \(G\) — гравитационная постоянная, \(6.67430 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M\) — масса небесного тела (кг)
- \(R\) — средний радиус тела, то есть расстояние от его центра до поверхности (м)
- \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности (м/с²)
Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, которую должно иметь тело, чтобы навсегда преодолеть гравитацию небесного тела без учёта сопротивления воздуха. Она зависит только от массы и радиуса самого тела — но не от массы улетающего объекта и не от направления запуска.
Вторая космическая скорость — пример расчёта
Пример: найдём вторую космическую скорость у поверхности Земли, масса которой составляет \(5.9722 \times 10^{24}\) кг, а средний радиус — \(6.371 \times 10^{6}\) м.
\[ v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67430 \times 10^{-11} \times 5.9722 \times 10^{24}}{6.371 \times 10^{6}}} \]
\[ v_e = \sqrt{1.2515 \times 10^{8}} \approx 11\,186\ \mathrm{m/s} \]
Результат: вторая космическая скорость Земли составляет примерно 11,186 км/с (около 40 270 км/ч или 25 020 mph). Иными словами, каждому килограмму космического аппарата нужно сообщить около 62,6 МДж кинетической энергии, чтобы навсегда покинуть Землю.
Как пользоваться калькулятором
- Откройте выпадающий список Небесное тело и выберите один из presets — Земля, Луна, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн, Плутон или Солнце. Их известные масса и радиус подставятся автоматически.
- Чтобы проанализировать другое тело (экзопланету, астероид, нейтронную звезду…), выберите вариант Другое тело. Появятся поля Масса (M) и Радиус (R).
- Для произвольного тела введите массу и выберите единицу измерения — массы Земли (M⊕), килограммы, фунты или массы Солнца (M☉).
- Введите средний радиус и выберите единицу измерения — км, м, мили или радиусы Земли (R⊕).
- Прочитайте таблицу Вторая космическая скорость (vₑ), в которой результат показан в км/с, м/с, км/ч, mi/s, mph и ft/s.
- Обратите внимание на второй блок результатов: в нём приведены ускорение свободного падения на поверхности тела в м/с² и g, вторая космическая скорость в долях от земной (11,186 км/с) и кинетическая энергия, необходимая на килограмм полезной нагрузки.
Что такое вторая космическая скорость?
Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, которая нужна объекту на заданном расстоянии от небесного тела, чтобы он мог удалиться на сколь угодно большое расстояние и никогда не вернуться — без двигателей и последующих подталкиваний. Ниже этой скорости гравитация в конце концов всегда побеждает, и объект возвращается (либо выходит на орбиту); при этой скорости и выше кинетической энергии объекта достаточно, чтобы полностью преодолеть гравитационное притяжение тела.
Формула напрямую следует из закона сохранения энергии: если приравнять кинетическую энергию объекта \(\tfrac{1}{2}mv_e^2\) к глубине гравитационной потенциальной ямы \(\tfrac{GMm}{R}\), масса \(m\) улетающего объекта сокращается. Именно поэтому пылинке и тысячетонному космическому кораблю нужна совершенно одинаковая скорость отрыва от одного и того же тела — пёрышко покинуло бы Землю на скорости 11,186 км/с точно так же, как ракета.
Стоит отметить, что реальные ракеты не обязаны достигать второй космической скорости у поверхности Земли. Космический аппарат, поднимающийся от Земли, поначалу может лететь медленно, потому что вторая космическая скорость уменьшается с расстоянием: на высоте \(h\) требуемая скорость равна \(\sqrt{2GM/(R+h)}\). К моменту, когда зонд покидает окрестности Земли высоко над поверхностью, остаточная скорость отрыва составляет всего несколько км/с — поэтому миссии к другим планетам обычно стремятся получить несколько км/с избыточной скорости, а не 11,186 км/с сразу со стартового стола.
Вторая космическая скорость задаёт масштаб и для орбит, а не только для отлёта: круговая орбита непосредственно над поверхностью требует скорости \(\sqrt{GM/R}\), то есть ровно в \(1/\sqrt{2}\) раза меньше второй космической скорости. Земная околонизкая орбитальная скорость около 7,9 км/с по сравнению с 11,186 км/с отрыва отражает именно эту связь. Для родственных задач движения см. калькуляторы Центростремительная сила и Кинематические уравнения.
Вторые космические скорости предустановленных тел
| Тело | Масса (кг) | Средний радиус (км) | Вторая космическая скорость (км/с) |
|---|---|---|---|
| Земля | 5,9722 × 10²⁴ | 6371 | 11,186 |
| Луна | 7,342 × 10²² | 1737,4 | 2,375 |
| Меркурий | 3,3011 × 10²³ | 2439,7 | 4,250 |
| Венера | 4,8675 × 10²⁴ | 6051,8 | 10,362 |
| Марс | 6,4171 × 10²³ | 3389,5 | 5,028 |
| Юпитер | 1,8982 × 10²⁷ | 69 911 | 60,2 |
| Сатурн | 5,423 × 10²⁶ | 58 232 | 35,3 |
| Плутон | 1,303 × 10²² | 1188,3 | 1,21 |
| Солнце | 1,9885 × 10³⁰ | 695 700 | 617,6 |
Обратите внимание: вторая космическая скорость тела растёт с плотностью не меньше, чем с размером: Солнце более чем в 300 000 раз тяжелее Земли, но лишь в 109 раз шире, и его вторая космическая скорость в 55 раз выше. Луна, будучи одновременно маленькой и лёгкой, имеет столь низкую скорость отрыва (2,375 км/с), что быстрая винтовочная пуля почти смогла бы покинуть её — одна из причин, почему лунная пыль и выхлопные газы создают совсем иные инженерные проблемы, чем на Земле.
Допущения и ограничения
- Без атмосферы. Результат не учитывает сопротивление воздуха. Реальный старт с Земли тратит значительную часть топлива на борьбу с сопротивлением, и фактический «запас по скорости» превышает 11,186 км/с.
- Невращающееся сферическое тело. Тело считается идеальным шаром постоянного радиуса. Запуск на восток с экватора вращающегося тела (например, вращение Земли даёт около 0,465 км/с) даёт небольшой «бесплатный» прирост скорости, который здесь не учитывается.
- Отсчёт от поверхности. Калькулятор использует средний радиус, поэтому ответ относится к поверхности. Выше неё подставьте \(R + h\) вместо \(R\); вторая космическая скорость убывает пропорционально квадратному корню из расстояния.
- Приближение двух тел. Учитывается только гравитация выбранного тела. Рядом с массивным соседом (Луна возле Земли, планета возле Солнца) реальная требуемая скорость отрыва несколько отличается.
- Это скорость, а не вектор скорости. Для энергетического баланса направление не имеет значения — строго вертикальный запуск просто наиболее экономичен по топливу на практике, поскольку горизонтальный запуск означает долгую борьбу с сопротивлением воздуха и рельефом.
- Для неправильных по форме тел, таких как астероиды, средний радиус даёт лишь приближение; вторая космическая скорость может заметно различаться у длинной и короткой сторон фигуры.
Часто задаваемые вопросы
Почему вторая космическая скорость не зависит от массы улетающего объекта?
Вторая космическая скорость получается приравниванием кинетической энергии \(\tfrac{1}{2}mv_e^2\) к гравитационной потенциальной энергии \(\tfrac{GMm}{R}\). Собственная масса объекта \(m\) присутствует в обеих частях уравнения и сокращается, поэтому камешку и тяжёлой ракете для отрыва от данной планеты нужна совершенно одинаковая скорость. Имеют значение только масса и радиус тела, от которого происходит отлёт.
Как рассчитать вторую космическую скорость вручную?
Возьмите массу тела \(M\) в килограммах и радиус \(R\) в метрах, затем вычислите \(v_e = \sqrt{2GM/R}\) при \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\). Для Земли: \(2 \times 6.67430 \times 10^{-11} \times 5.9722 \times 10^{24} / 6.371 \times 10^{6} \approx 1.25 \times 10^{8}\), а квадратный корень даёт примерно 11 186 м/с, то есть 11,19 км/с. Всегда сначала переводите данные в единицы СИ, чтобы избежать ошибок на порядки.
Какой бывает вторая космическая скорость у планет и звёзд?
У каменистых планет она составляет несколько км/с: Луна — 2,38, Марс — 5,03, Земля — 11,19 км/с. У газовых гигантов она гораздо выше — у Юпитера около 60 км/с, — а у Солнца достигает примерно 618 км/с. Экстремальные объекты вроде нейтронных звёзд и чёрных дыр превышают скорость света — поэтому сам свет не может покинуть чёрную дыру. Если для вашего произвольного тела результат превышает 299 792 км/с, формула перестаёт быть физически корректной и требуется теория относительности.
Это ли скорость, которую ракеты должны развивать при старте?
Нет. Ракеты не выстреливаются, как пули; они непрерывно сжигают топливо и могут подниматься медленно. Вторая космическая скорость уменьшается с расстоянием как \(\sqrt{2GM/(R+h)}\), поэтому космическому аппарату достаточно превысить местную (гораздо более низкую) скорость отрыва, когда он уже высоко над поверхностью. На практике миссии стремятся получить несколько км/с избыточной скорости сверх околоземной орбитальной скорости около 7,9 км/с, а не 11,19 км/с сразу со старта.
Зависит ли вторая космическая скорость от направления запуска?
Нет — для энергетического баланса направление не имеет значения. Любой объект, движущийся со скоростью, равной второй космической или выше, вырвется на свободу — независимо от того, летит ли он строго вверх или под углом, — при условии, что он не врежется в землю или атмосферу. Строго вертикальный запуск — просто самый экономичный по топливу практический выбор, потому что пологая траектория дольше борется с сопротивлением воздуха и рельефом. Поэтому корректнее говорить о скорости отрыва, хотя термин «вторая космическая скорость» является общепринятым.
Как перевести вторую космическую скорость между км/с, mph и м/с?
Умножьте км/с на 1000, чтобы получить м/с, на 3600, чтобы получить км/ч, и примерно на 2236,94, чтобы получить mph. Земные 11,186 км/с равны 11 186 м/с, 40 270 км/ч или примерно 25 020 mph. В обратную сторону разделите mph на 2236,94, чтобы получить км/с. Таблица результатов калькулятора сразу показывает все распространённые единицы, что помогает избежать ошибок при переводе и сравнении тел.
Какие ошибки чаще всего допускают при расчёте второй космической скорости?
Самая большая ошибка — смешение единиц: использование километров для радиуса без перевода в метры или фунтов вместо килограммов отбрасывает результат на порядки. Другая ошибка — путаница среднего радиуса с диаметром (ошибка в R в два раза меняет ответ примерно на 41%). Также помните, что формула игнорирует сопротивление воздуха и предполагает сферическое невращающееся тело, поэтому реальный старт с Земли получает небольшой бесплатный прирост от вращения планеты — около 0,465 км/с на экваторе, — который здесь не учитывается.