Калькулятор интерференции на двух щелях
Рассчитайте ширину интерференционной полосы и положение светлых полос в опыте Юнга с двумя щелями. Введите длину волны, расстояние между щелями, расстояние до экрана и порядок полосы.
Расстояние между светлыми полосами и их положение
Интерференция на двух щелях
Обозначения:
- \(\Delta y\) — ширина интерференционной полосы, то есть расстояние между двумя соседними светлыми полосами на экране (м)
- \(y_m\) — положение светлой полосы порядка \(m\), отсчитываемое от центра картины (м)
- \(\lambda\) — длина волны света (м)
- \(L\) — расстояние от щелей до экрана (м)
- \(d\) — расстояние между центрами двух щелей (м)
- \(m\) — порядок полосы: \(m = 0\) — центральный максимум, \(m = 1, 2, 3, \ldots\) — боковые полосы
Первая формула даёт шаг интерференционной картины, вторая — расстояние от центра до светлой полосы номера \(m\). Обе выведены в приближении малых углов (\(\lambda \ll d\)), которое выполняется практически в любой лабораторной и учебной установке.
Интерференция на двух щелях — пример расчёта
Пример: красный лазер (\(\lambda = 650\) нм) освещает две щели на расстоянии \(d = 0,25\) мм друг от друга, картина наблюдается на экране в \(L = 1\) м от щелей. Где окажется третья светлая полоса (\(m = 3\))?
\[ \Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{650 \times 10^{-9}\ \text{м} \times 1\ \text{м}}{0.25 \times 10^{-3}\ \text{м}} = 2.6 \times 10^{-3}\ \text{м} = 2.6\ \text{мм} \]
\[ y_3 = m \, \Delta y = 3 \times 2.6\ \text{мм} = 7.8\ \text{мм} \]
Результат: светлые полосы идут с шагом 2,6 мм, а полоса третьего порядка лежит в 7,8 мм от центра картины — по обе стороны от него. Это те же значения, что стоят в калькуляторе по умолчанию, поэтому результат выше можно воспроизвести мгновенно.
Как пользоваться калькулятором
- Введите длину волны (λ) света и выберите единицу (нм, мкм или мм). Красная лазерная указка — примерно 650 нм, зелёная — 532 нм.
- Введите расстояние между щелями (d) — расстояние между центрами двух щелей — и выберите мкм, мм или см.
- Введите расстояние до экрана (L) — от щелей до места наблюдения картины, в см, м или футах.
- При желании укажите порядок полосы (m) (0, 1, 2, 3 …). Если оставить поле пустым, калькулятор выдаст только ширину полосы.
- Ознакомьтесь с результатами: ширина полосы \(\Delta y\) в нескольких единицах, а если введён порядок — ещё и положение \(y_m\) этой светлой полосы относительно центра картины.
Что такое интерференция на двух щелях?
В 1801 году Томас Юнг пропустил свет через две узкие близко расположенные щели и увидел то, чего поток частиц дать никак не мог: чередование светлых и тёмных полос на экране. Волны, приходящие на экран от двух щелей, проходят slightly different... проходят до экрана разные пути. Там, где разность хода равна целому числу длин волн — \(d \sin\theta = m\lambda\), — волны приходят в фазе и усиливают друг друга, образуя светлую полосу. Там, где разность хода равна нечётному числу полуволн, они гасят друг друга — получается тёмная полоса.
Такая картина — прямая «отпечатка»... Картина прямо «отпечатывает» длину волны света, и именно поэтому опыт так полезен. Измерив линейкой шаг полос на экране, длину волны находят из \(\lambda = \Delta y \, d / L\); это до сих пор один из самых распространённых способов определить длину волны лазера в учебных лабораториях. И наоборот, при известной длине волны та же геометрия позволяет измерять крошечные расстояния — например, шаг дорожек или тонких структур, — гораздо меньшие, чем способна различить линейка.
Ширина полосы \(\Delta y\) показывает, насколько «растянута» картина: она растёт линейно с длиной волны и расстоянием до экрана и уменьшается, когда щели раздвигают. Результат \(y_m\) симметричен: полоса порядка \(m\) появляется на расстоянии \(+y_m\) по одну сторону от центра и \(-y_m\) — по другую, поскольку условию максимума удовлетворяют оба порядка, \(+m\) и \(-m\). Центральный максимум (\(m = 0\)) лежит на оси и вдвое шире боковых полос.
Интерференция свойственна не только свету. Тот же принцип лежит в основе наушников с шумоподавлением, радужных переливов мыльной плёнки, дифракции волн на воде и звуковых волн — волновую природу звука можно изучить подробнее с нашим калькулятором уровня интенсивности звука. Больше калькуляторов по физике — в разделах «Математический маятник» и «Закон Фарадея».
Допущения, ограничения и практические советы
- Приближение малых углов: в формулах принято \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\), что отлично работает при \(\lambda \ll d\), пока полосы остаются близко к оси. Для высоких порядков вблизи максимально возможного калькулятор сравнивает приближённое положение с точной геометрией и предупреждает, если расхождение превышает 1%.
- Максимальный порядок: поскольку \(m\lambda \le d\), существуют только порядки вплоть до \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Если задать больший порядок, калькулятор сообщит наивысший возможный.
- Когерентный свет: обе щели должны освещаться одним когерентным источником (лазером либо узкой щелью перед лампой). Два независимых источника света устойчивой картины не дадут.
- Точечные щели без дифракционной огибающей: модель считает каждую щель бесконечно узкой. Реальные щели конечной ширины добавляют дифракционную огибающую, которая модулирует яркость полос, — очень высокие порядки могут оказаться слишком тусклыми, хотя математически допустимы.
- Совет по точности: так как \(\Delta y\) пропорционально \(L\), важно тщательно измерять расстояние до экрана. Чем дальше отодвинут экран, тем шире растянута картина и тем проще измерить шаг полос с высокой точностью.
- Длина волны должна быть меньше расстояния между щелями: при \(\lambda \ge d\) первой светлой полосе потребовался бы угол 90° или больше, и отчётливая картина не возникнет; калькулятор пометит такие исходные данные как недопустимые.
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать положение тёмных полос?
Тёмные полосы лежат ровно посередине между соседними светлыми, поэтому их положения определяются выражением \(y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right) \frac{\lambda L}{d}\) при \(m = 0, 1, 2, \ldots\). Например, первая тёмная полоса находится на расстоянии \(\tfrac{1}{2} \Delta y\) от центра, а расстояние между соседними тёмными полосами такое же, как и между светлыми: \(\Delta y = \lambda L / d\).
Можно ли с помощью этого калькулятора найти длину волны неизвестного источника света?
Да — это классический лабораторный метод. Измерьте линейкой шаг полос \(\Delta y\) на экране и преобразуйте формулу: \(\lambda = \Delta y \, d / L\). Например, полосы с шагом 2,0 мм при щелях \(d = 0,25\) мм и \(L = 1\) м дают \(\lambda = 500\) нм. Точность повышается при большем \(L\) и усреднении по нескольким полосам.
Какие ошибки с единицами чаще всего встречаются в задачах с двумя щелями?
Смешение единиц — ошибка номер один: длину волны обычно задают в нанометрах, а расстояние между щелями — в миллиметрах, а это разница в миллион раз. Сначала переведите всё в метры: 1 нм = \(10^{-9}\) м, 1 мкм = \(10^{-6}\) м, 1 мм = \(10^{-3}\) м. Другая частая оплошность — ввод ширины щели вместо расстояния между ними.
Чем расстояние между щелями отличается от ширины щели?
Расстояние между щелями \(d\) — это расстояние между центрами двух щелей; именно оно задаёт шаг полос. Ширина щели \(a\) — размер каждого отдельного отверстия; она определяет дифракционную огибающую, то есть яркость полос под разными углами. Этому калькулятору нужно только \(d\); если требуется и огибающая интенсивности, понадобятся \(a\) и формула дифракции на одной щели \(a \sin\theta = n\lambda\).
Почему не видно полосу высокого порядка или почему калькулятор отклоняет мой порядок?
Для светлой полосы порядка \(m\) требуется \(m\lambda \le d\), поскольку разность хода не может превышать расстояния между щелями. Наивысший возможный порядок — \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Для света с длиной волны 650 нм и \(d = 0,25\) мм это порядок 384, но на практике реальные щели конечной ширины делают очень высокие порядки крайне тусклыми, так что обычно видны лишь первые десять-пятнадцать полос.
Работает ли опыт с двумя щелями с белым светом вместо лазера?
Да, но каждая длина волны строит собственную картину со своим шагом, поэтому цвета расходятся: видна белая центральная полоса, окружённая радужными, которые после нескольких порядков сливаются в размытое пятно. Свет одного яркого цвета (монохроматический — например, лазер или натриевая лампа с фильтром) даёт чёткие, равномерно расположенные тёмные и светлые полосы, которые и моделирует этот калькулятор.
Достаточно ли точно приближение малых углов для моей установки?
Для типичных учебных и лабораторных установок — да: погрешность обычно составляет доли процента. Приближение нарушается лишь для высоких порядков полос при больших углах. Калькулятор проверяет это автоматически: он сравнивает приближённое положение \(y_m = m\lambda L/d\) с точным значением \(L\tan(\arcsin(m\lambda/d))\) и предупреждает, когда расхождение превышает 1%.