Doppelspalt-Interferenz-Rechner
Berechnen Sie den Streifenabstand und die Lage heller Streifen im Doppelspaltversuch nach Young. Geben Sie Wellenlänge, Spaltabstand, Schirmabstand und Streifenordnung ein.
Abstand und Lage heller Interferenzstreifen berechnen
Doppelspalt-Interferenz
Dabei ist:
- \(\Delta y\) — Streifenabstand, also der Abstand zweier benachbarter heller Streifen auf dem Schirm (m)
- \(y_m\) — Position des hellen Streifens der Ordnung \(m\), gemessen von der Mitte des Interferenzbilds (m)
- \(\lambda\) — Wellenlänge des Lichts (m)
- \(L\) — Abstand zwischen den Spalten und dem Schirm (m)
- \(d\) — Abstand zwischen den beiden Spalten (m)
- \(m\) — Streifenordnung: \(m = 0\) bezeichnet das Zentralmaximum, \(m = 1, 2, 3, \ldots\) die seitlichen Streifen
Die erste Formel liefert den Abstand der Interferenzstreifen, die zweite sagt, wie weit der \(m\)-te helle Streifen von der Mitte entfernt liegt. Beide setzen die Kleinwinkelnäherung (\(\lambda \ll d\)) voraus, die in praktisch jedem Labor- und Schulaufbau erfüllt ist.
Doppelspalt-Interferenz – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein roter Laser (\(\lambda = 650\) nm) trifft auf zwei Spalte im Abstand von \(d = 0{,}25\) mm, das Muster wird auf einem Schirm in \(L = 1\) m Entfernung beobachtet. Wo liegt der dritte helle Streifen (\(m = 3\))?
\[ \Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{650 \times 10^{-9}\ \text{m} \times 1\ \text{m}}{0.25 \times 10^{-3}\ \text{m}} = 2.6 \times 10^{-3}\ \text{m} = 2.6\ \text{mm} \]
\[ y_3 = m \, \Delta y = 3 \times 2.6\ \text{mm} = 7.8\ \text{mm} \]
Ergebnis: Die hellen Streifen liegen 2,6 mm auseinander, und der helle Streifen dritter Ordnung erscheint beidseits der Mitte im Abstand von 7,8 mm. Dies sind genau die Voreinstellungen des Rechners — Sie können das Ergebnis oben also sofort selbst nachvollziehen.
So bedienen Sie den Rechner
- Geben Sie die Wellenlänge (λ) des Lichts ein und wählen Sie die Einheit (nm, µm oder mm). Ein roter Laserzeiger liegt bei etwa 650 nm, ein grüner bei 532 nm.
- Geben Sie den Spaltabstand (d) ein — den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Spalte — und wählen Sie µm, mm oder cm.
- Geben Sie den Schirmabstand (L) von den Spalten bis zum Beobachtungsschirm ein, in cm, m oder ft.
- Optional können Sie eine Streifenordnung (m) angeben (0, 1, 2, 3 …). Bleibt das Feld leer, berechnet der Rechner nur den Streifenabstand.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: den Streifenabstand \(\Delta y\) in verschiedenen Einheiten und — sofern Sie eine Ordnung eingegeben haben — die Position \(y_m\) dieses hellen Streifens, gemessen von der Mitte des Musters.
Was ist Interferenz am Doppelspalt?
1801 schickte Thomas Young Licht durch zwei schmale, dicht beieinanderliegende Spalte und beobachtete etwas, das ein Strom von Teilchen niemals hervorbringen könnte: abwechselnd helle und dunkle Bänder auf einem Schirm. Wellen, die von den beiden Spalten zum Schirm gelangen, legen leicht unterschiedliche Wege zurück. Überall dort, wo der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt — \(d \sin\theta = m\lambda\) — treffen die Wellen gleichphasig ein und verstärken sich zu einem hellen Streifen. Beträgt der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge, löschen sie sich aus, und es entsteht ein dunkler Streifen.
Das Muster ist ein unmittelbarer Fingerabdruck der Wellenlänge des Lichts — genau das macht den Versuch so nützlich. Misst man den Streifenabstand auf einem Schirm mit einem Lineal, folgt \(\lambda\) aus \(\lambda = \Delta y \, d / L\); bis heute ist dies eine der gängigsten Methoden, in Praktikumsversuchen die Wellenlänge eines Lasers zu bestimmen. Umgekehrt lässt sich mit bekannter Wellenlänge dieselbe Geometrie nutzen, um winzige Abstände — etwa die Teilung von Spuren oder dünnen Strukturen — zu vermessen, die weit unter der Auflösungsgrenze eines Lineals liegen.
Der Streifenabstand \(\Delta y\) zeigt, wie „gestreckt“ das Muster ist: Er wächst linear mit der Wellenlänge und mit dem Schirmabstand und wird kleiner, je weiter man die Spalte auseinanderzieht. Die Position \(y_m\) ist symmetrisch — ein Streifen der Ordnung \(m\) erscheint bei \(+y_m\) auf der einen und bei \(-y_m\) auf der anderen Seite der Mitte, denn sowohl \(+m\) als auch \(-m\) erfüllen die Bedingung für einen hellen Streifen. Das Zentralmaximum (\(m = 0\)) liegt auf der Achse und ist doppelt so breit wie die seitlichen Streifen.
Interferenz beschränkt sich nicht auf Licht. Dasselbe Prinzip steckt hinter aktiver Geräuschunterdrückung in Kopfhörern, den Farben auf einer Seifenblase und der Beugung von Wasser- und Schallwellen — die Wellennatur von Schall können Sie zusätzlich mit unserem Rechner für den Schallintensitätspegel erkunden. Weitere Rechner finden Sie beim mathematischen Pendel und beim Faradayschen Gesetz.
Voraussetzungen, Grenzen und praktische Hinweise
- Kleinwinkelnäherung: Die Formeln verwenden \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\), was bei \(\lambda \ll d\) und Streifen nahe der Achse hervorragend stimmt. Bei hohen Ordnungen nahe der maximal zulässigen Ordnung vergleicht der Rechner die genäherte Position mit der exakten Geometrie und weist auf die Abweichung hin, sobald sie 1 % übersteigt.
- Maximale Ordnung: Da \(m\lambda \le d\) gelten muss, existieren nur Ordnungen bis \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Fordern Sie eine höhere Ordnung an, nennt Ihnen der Rechner die höchstmögliche.
- Kohärentes Licht: Beide Spalte müssen von derselben kohärenten Quelle beleuchtet werden (ein Laser oder ein einzelner Spalt vor einer Lampe). Zwei unabhängige Lichtquellen erzeugen kein stabiles Muster.
- Punktförmige Spalte, keine Beugungshülle: Das Modell behandelt jeden Spalt als unendlich schmal. Reale Spalte endlicher Breite erzeugen eine Beugungshülle, die die Helligkeit der Streifen moduliert — sehr hohe Ordnungen können daher trotz zulässiger Rechnung zu schwach sein, um gesehen zu werden.
- Genauigkeitstipp: Da \(\Delta y\) proportional zu \(L\) ist, lohnt sich eine sorgfältige Messung des Schirmabstands. Ein weiter entfernter Schirm spreizt das Muster auseinander und macht den Streifenabstand leichter präzise zu messen.
- Die Wellenlänge muss kleiner sein als der Spaltabstand: Bei \(\lambda \ge d\) bräuchte der erste helle Streifen einen Winkel von 90° oder mehr, und es entsteht kein klares Muster; der Rechner meldet eine solche Eingabe als ungültig.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Position dunkler Streifen?
Dunkle Streifen liegen genau auf halbem Weg zwischen benachbarten hellen Streifen, ihre Positionen sind \(y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right) \frac{\lambda L}{d}\) mit \(m = 0, 1, 2, \ldots\). Der erste dunkle Streifen liegt beispielsweise bei \(\tfrac{1}{2} \Delta y\) von der Mitte entfernt, und der Abstand aufeinanderfolgender dunkler Streifen ist derselbe \(\Delta y = \lambda L / d\) wie bei den hellen.
Kann ich mit diesem Rechner die Wellenlänge einer unbekannten Lichtquelle bestimmen?
Ja — das ist die klassische Praktikumsmethode. Messen Sie den Streifenabstand \(\Delta y\) mit einem Lineal auf einem Schirm und stellen Sie die Formel nach \(\lambda = \Delta y \, d / L\) um. Liegen die Streifen beispielsweise 2,0 mm auseinander, mit \(d = 0{,}25\) mm und \(L = 1\) m, so ergibt sich \(\lambda = 500\) nm. Die Genauigkeit steigt mit größerem \(L\) und wenn man über viele Streifen mittelt.
Welche Einheitenfehler kommen bei Doppelspaltrechnungen am häufigsten vor?
Der häufigste Fehler ist die Vermischung von Einheiten: Die Wellenlänge wird meist in Nanometern angegeben, der Spaltabstand in Millimetern — das ist ein Faktor von einer Million. Rechnen Sie daher zuerst alles in Meter um: 1 nm = \(10^{-9}\) m, 1 µm = \(10^{-6}\) m, 1 mm = \(10^{-3}\) m. Ein weiterer klassischer Fehler ist, statt des Spaltabstands die Spaltbreite einzugeben.
Was ist der Unterschied zwischen Spaltabstand und Spaltbreite?
Der Spaltabstand \(d\) ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Spalte und bestimmt den Streifenabstand. Die Spaltbreite \(a\) ist die Größe jeder einzelnen Öffnung und bestimmt die Beugungshülle — also wie hell die Streifen bei verschiedenen Winkeln sind. Dieser Rechner benötigt nur \(d\); wer zusätzlich die Intensitätshülle möchte, braucht \(a\) und die Formel für die Einfachspaltbeugung \(a \sin\theta = n\lambda\).
Warum sehe ich Streifen hoher Ordnung nicht bzw. warum lehnt der Rechner meine Ordnung ab?
Ein heller Streifen der Ordnung \(m\) erfordert \(m\lambda \le d\), denn der Gangunterschied kann den Spaltabstand nicht überschreiten. Die höchstmögliche Ordnung ist \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Bei Licht mit 650 nm und \(d = 0{,}25\) mm ist das die Ordnung 384 — in der Praxis macht aber die endliche Breite echter Spalte sehr hohe Ordnungen extrem schwach, sodass meist nur die ersten Dutzend sichtbar sind.
Funktioniert der Doppelspaltversuch auch mit weißem Licht statt mit einem Laser?
Ja, aber jede Wellenlänge erzeugt ihr eigenes Streifenmuster mit eigenem Abstand, sodass sich die Farben auffächern: Man sieht einen weißen zentralen Streifen, flankiert von Farbsäumen, die nach wenigen Ordnungen ineinander verschwimmen. Eine einzige kräftige Farbe (monochromatisches Licht, z. B. ein Laser oder eine Natriumdampflampe mit Filter) liefert die klaren, in gleichen Abständen aufeinanderfolgenden dunklen und hellen Bänder, die dieser Rechner modelliert.
Ist die Kleinwinkelnäherung für meinen Aufbau genau genug?
Bei typischen Schul- und Praktikumsaufbauten: ja — die Abweichung liegt meist im Bereich von Bruchteilen eines Prozents. Sie wird erst bei hohen Streifenordnungen und großen Winkeln merkbar. Der Rechner prüft dies automatisch: Er vergleicht die genäherte Position \(y_m = m\lambda L/d\) mit dem exakten Wert \(L\tan(\arcsin(m\lambda/d))\) und warnt Sie, sobald die Abweichung 1 % übersteigt.