Калькулятор інтерференції на двох щілинах
Обчисліть відстань між смугами та положення світлих смуг у досліді Юнга з двома щілинами. Введіть довжину хвилі, відстань між щілинами, відстань до екрана та порядок смуги.
Знайдіть крок і положення світлих смуг
Інтерференція на двох щілинах
Де:
- \(\Delta y\) — відстань між смугами, тобто відстань між двома сусідніми світлими смугами на екрані (м)
- \(y_m\) — положення світлої смуги порядку \(m\), відлічене від центру картини (м)
- \(\lambda\) — довжина хвилі світла (м)
- \(L\) — відстань від щілин до екрана (м)
- \(d\) — відстань між двома щілинами (м)
- \(m\) — порядок смуги: \(m = 0\) — центральний максимум, \(m = 1, 2, 3, \ldots\) — бічні смуги
Перша формула дає період інтерференційної картини, а друга — відстань від центру до світлої смуги порядку \(m\). Обидві виведені в наближенні малих кутів (\(\lambda \ll d\)), яке виконується практично в будь-якій лабораторній чи навчальній установці.
Інтерференція на двох щілинах — приклад розрахунку
Приклад: червоний лазер (\(\lambda = 650\) нм) висвітлює дві щілини, розділені відстанню \(d = 0,25\) мм, а картину спостерігають на екрані на відстані \(L = 1\) м. Де виникає третя світла смуга (\(m = 3\))?
\[ \Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{650 \times 10^{-9}\ \text{м} \times 1\ \text{м}}{0.25 \times 10^{-3}\ \text{м}} = 2.6 \times 10^{-3}\ \text{м} = 2.6\ \text{мм} \]
\[ y_3 = m \, \Delta y = 3 \times 2.6\ \text{мм} = 7.8\ \text{мм} \]
Результат: світлі смуги розташовані через 2,6 мм, а смуга третього порядку лежить на відстані 7,8 мм від центру картини з обох боків. Це типові значення калькулятора, тож наведений результат можна відтворити за мить.
Як користуватися калькулятором
- Введіть довжину хвилі (λ) світла та виберіть одиницю (нм, мкм чи мм). Червоний лазерний покажчик має довжину хвилі близько 650 нм, зелений — 532 нм.
- Введіть відстань між щілинами (d) — відстань між центрами двох щілин — і виберіть мкм, мм або см.
- Введіть відстань до екрана (L) від щілин до місця, де спостерігають картину, у см, м або футах.
- За бажанням введіть порядок смуги (m) (0, 1, 2, 3 …). Якщо залишити поле порожнім, калькулятор обчислить лише відстань між смугами.
- Зчитайте результат: відстань між смугами \(\Delta y\) у кількох одиницях і — якщо ви вказали порядок — положення \(y_m\) відповідної світлої смуги, відлічене від центру картини.
Що таке інтерференція на двох щілинах?
У 1801 році Томас Юнг пропустив світло крізь дві вузькі близько розташовані щілини й побачив те, чого потік частинок ніколи б не дав: на екрані почергові світлі й темні смуги. Хвилі, що приходять на екран від двох щілин, проходять дещо різні шляхи. Там, де різниця ходу дорівнює цілому числу довжин хвиль — \(d \sin\theta = m\lambda\) — хвилі приходять у фазі й підсилюють одна одну, утворюючи світлу смугу. Там, де різниця ходу дорівнює непарному числу півхвиль, вони гасять одна одну й утворюють темну смугу.
Картина — це прямий «відбиток пальця» довжини хвилі світла, і саме тому дослід такий корисний. Вимірявши лінійкою відстань між смугами на екрані, знаходять \(\lambda\) за формулою \(\lambda = \Delta y \, d / L\); і донині це один із найпоширеніших способів визначити довжину хвилі лазера в навчальних лабораторіях. І навпаки, за відомої довжини хвилі ту саму геометрію використовують для вимірювання мікроскопічних відстаней — наприклад, кроку доріжок чи тонких структур, — значно менших, ніж те, що здатен розрізнити лінійка.
Відстань між смугами \(\Delta y\) показує, наскільки «розтягнута» картина: вона лінійно зростає із довжиною хвилі та відстанню до екрана і зменшується, коли щілини розсовують. Результат \(y_m\) симетричний: смуга порядку \(m\) з’являється на відстані \(+y_m\) з одного боку від центру і на відстані \(-y_m\) з іншого, бо умову світлої смуги задовольняють обидва порядки \(+m\) і \(-m\). Центральний максимум (\(m = 0\)) лежить на осі і удвічі ширший за бічні смуги.
Інтерференція не обмежена світлом. Цей самий принцип лежить в основі навушників із активним шумозаглушенням, кольорів на мильній плівці та дифракції водяних і звукових хвиль — хвильову природу звуку можна дослідити детальніше у нашому калькуляторі рівня інтенсивності звуку. Зі більшої добірки див. також калькулятор математичного маятника і калькулятор закону Фарадея.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Наближення малих кутів: формули використовують \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\), що дає чудову точність, коли \(\lambda \ll d\) і смуги лишаються близько до осі. Для високих порядків, близьких до максимального можливого, калькулятор порівнює наближене положення з точною геометрією і повідомляє про різницю, коли вона перевищує 1 %.
- Максимальний порядок: оскільки \(m\lambda \le d\), існують лише порядки до \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Якщо ви вкажете вищий порядок, калькулятор підкаже найвищий можливий.
- Когерентне світло: обидві щілини мають освітлюватися одним когерентним джерелом (лазером або вузькою щілиною перед лампою). Два незалежні джерела світла стабільної картини не дадуть.
- Точкові щілини без дифракційної обгортки: модель вважає кожну щілину нескінченно вузькою. Реальні щілини скінченної ширини додають дифракційну обгортку, яка модулює яскравість смуг — дуже високі порядки можуть бути надто тьмяними для спостереження, хоча математично вони можливі.
- Порада щодо точності: оскільки \(\Delta y\) пропорційна \(L\), важливо ретельно виміряти відстань до екрана. Якщо відсунути екран далі, картина розтягнеться і відстань між смугами стане легше точно виміряти.
- Довжина хвилі має бути меншою за відстань між щілинами: якщо \(\lambda \ge d\), для першої світлої смуги знадобився б кут 90° чи більше, і чітка картина не виникає; калькулятор позначає такі вхідні дані як некоректні.
Часті запитання
Як обчислити положення темних смуг?
Темні смуги лежать точно посередині між сусідніми світлими, тому їхні положення — \(y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right) \frac{\lambda L}{d}\) для \(m = 0, 1, 2, \ldots\). Наприклад, перша темна смуга лежить на відстані \(\tfrac{1}{2} \Delta y\) від центру, а відстань між сусідніми темними смугами така сама, як і між світлими: \(\Delta y = \lambda L / d\).
Чи можна цим калькулятором визначити довжину хвилі невідомого джерела світла?
Так — це класичний лабораторний метод. Виміряйте лінійкою відстань між смугами \(\Delta y\) на екрані, а потім перетворіть формулу на \(\lambda = \Delta y \, d / L\). Наприклад, смуги через 2,0 мм за \(d = 0,25\) мм та \(L = 1\) м дають \(\lambda = 500\) нм. Точність зростає з більшою \(L\) та при усередненні за багатьма смугами.
Які найпоширеніші помилки з одиницями в розрахунках на двох щілинах?
Першою помилкою є змішування одиниць: довжину хвилі зазвичай подають у нанометрах, а відстань між щілинами — у міліметрах, а це різниця в мільйон разів. Завжди спочатку переведіть усе в метри: 1 нм = \(10^{-9}\) м, 1 мкм = \(10^{-6}\) м, 1 мм = \(10^{-3}\) м. Ще одна часта помилка — вводити ширину щілини замість відстані між щілинами.
Чим відрізняється відстань між щілинами від ширини щілини?
Відстань між щілинами \(d\) — це відстань між центрами двох щілин, і саме вона визначає відстань між смугами. Ширина щілини \(a\) — це розмір кожної щілини окремо, і вона визначає дифракційну обгортку, тобто яскравість смуг під різними кутами. Цьому калькулятору потрібна лише \(d\); якщо ви хочете ще й розподіл інтенсивності, знадобляться \(a\) і формула дифракції на одній щілині \(a \sin\theta = n\lambda\).
Чому не видно смугу високого порядку або чому калькулятор відхиляє мій порядок?
Для світлої смуги порядку \(m\) потрібно, щоб \(m\lambda \le d\), бо різниця ходу не може перевищувати відстань між щілинами. Найвищий можливий порядок — \(m = \lfloor d/\lambda \rfloor\). Для світла з довжиною хвилі 650 нм і \(d = 0,25\) мм це порядок 384, але на практиці реальні щілини скінченної ширини роблять дуже високі порядки надто тьмяними, тож зазвичай видно лише приблизно перший десяток смуг.
Чи працює дослід із двома щілинами з білим світлом замість лазера?
Так, але кожна довжина хвилі утворює власну картину з власною відстанню між смугами, тому кольори розтікаються: видно білу центральну смугу, обрамлену веселковими кольорами, які після кількох порядків зливаються. Один яскравий колір (монохроматичне світло, наприклад лазер або натрієва лампа з фільтром) дає чіткі, рівномірно розташовані темні й світлі смуги, які й моделює цей калькулятор.
Чи наближення малих кутів достатньо точне для моєї установки?
Для типових навчальних і лабораторних установок — так: похибка зазвичай становить частки відсотка. Наближення втрачає точність лише для високих порядків смуг під великими кутами. Калькулятор перевіряє це автоматично: він порівнює наближене положення \(y_m = m\lambda L/d\) із точним значенням \(L\tan(\arcsin(m\lambda/d))\) і попереджає, коли різниця перевищує 1 %.