Калькулятор закона Малюса
Вычислите, сколько линейно поляризованного света проходит через поляризатор, по закону Малюса. Введите интенсивность падающего света и угол между направлением поляризации и осью анализатора.
Определите, какая часть поляризованного света проходит через анализатор
Формула закона Малюса
Где:
- \(I_0\) — интенсивность линейно поляризованного света, падающего на анализатор (Вт/м²)
- \(I\) — интенсивность света, прошедшего через анализатор (Вт/м²)
- \(\theta\) — угол между направлением поляризации света и осью пропускания анализатора
Согласно закону, поляризатор пропускает лишь составляющую электрического поля, параллельную его оси пропускания, поэтому прошедшая интенсивность пропорциональна квадрату косинуса угла между этими двумя направлениями.
Закон Малюса — пример расчёта
Пример: линейно поляризованный свет интенсивностью 100 Вт/м² проходит через анализатор, ось пропускания которого повёрнута на 30° относительно направления поляризации света.
\[ I = I_0 \cos^2\theta = 100 \times \cos^2(30^\circ) \]
\[ \cos(30^\circ) \approx 0.8660, \quad \cos^2(30^\circ) = 0.75 \]
\[ I = 100 \times 0.75 = 75 \; \text{Вт/м}^2 \]
Результат: анализатор пропускает 75 Вт/м², то есть 75 % падающего света; остальные 25 Вт/м² поглощаются или задерживаются.
Как пользоваться калькулятором
- Введите интенсивность падающего света (I₀) — интенсивность линейно поляризованного света перед анализатором — и выберите единицу измерения: Вт/м², мВт/см² или Вт/см².
- Введите угол между осями (θ) — угол между направлением поляризации света и осью пропускания анализатора — в градусах или радианах. Можно вводить отрицательные значения и углы больше 360°: важен только косинус.
- Посмотрите интенсивность прошедшего света — она выводится во всех трёх единицах, а также долю прошедшего света и подробности, включая cos θ, cos²θ и задержанную интенсивность.
Что такое закон Малюса?
Закон Малюса, опубликованный Этьеном-Луи Малюсом в 1809 году, описывает, какая доля линейно поляризованного света проходит через поляризационный фильтр (его часто называют анализатором, когда он используется для исследования поляризованного света). Свет — это электромагнитная волна, и её электрическое поле колеблется в направлении, перпендикулярном распространению. У линейно поляризованного света эти колебания происходят в одной фиксированной плоскости.
Поляризатор пропускает только ту составляющую электрического поля, которая лежит вдоль его оси пропускания. Если направление поляризации света образует с этой осью угол θ, то «выживает» составляющая поля, равная \(E_0 \cos\theta\). Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды поля, прошедшая интенсивность становится равной \(I_0 \cos^2\theta\) — это и есть закон Малюса.
Зависимость от угла имеет несколько важных частных случаев. При θ = 0° оси совпадают, и свет проходит полностью. При θ = 90° поляризаторы скрещены, и в идеале свет не проходит вовсе — на этом принципе основаны регулируемые солнцезащитные очки и ЖК-затворы. При θ = 45° проходит ровно половина интенсивности. Из-за квадрата косинуса пропускание периодично с периодом 180°, поэтому углы 30° и 150° дают одинаковый результат.
Закон Малюса — одна из основ поляризационной оптики; в курсах физики он изучается наряду с другими волновыми явлениями, такими как интерференция на двух щелях и дифракционная решётка. Если вы работаете с интенсивностью в логарифмическом масштабе, родственный калькулятор уровня интенсивности звука переводит отношения в децибелы и обратно.
Допущения, ограничения и практические советы
- Идеальный поляризатор: закон предполагает идеальный анализатор, который пропускает 100 % света, поляризованного вдоль его оси, и полностью задерживает перпендикулярную составляющую. Реальные поляризаторы поглощают 10–20 % «правильной» составляющей, поэтому измеренные значения несколько ниже идеального результата.
- Полностью поляризованный свет на входе: падающий свет должен быть линейно поляризованным. Если на поляризатор падает неполяризованный свет интенсивностью \(I_0\), в среднем проходит ровно половина (\(I = I_0/2\)) независимо от угла — а уже к свету, прошедшему первый поляризатор, можно применять закон Малюса.
- Сохранение энергии: задержанная составляющая не исчезает — она поглощается в виде тепла (как в плёнке Polaroid) или отводится в сторону (как в поляризационных светоделителях). Калькулятор показывает эту задержанную интенсивность как \(I_0 - I\).
- Периодичность по углу: поскольку у \(\cos^2\theta\) период 180°, любой угол можно привести по модулю 180° без изменения результата. Углы больше 90° дают такое же пропускание, как их дополнение до 180° (например, 120° ведёт себя как 60°).
- Частичная поляризация: для частично поляризованного света считайте вход суммой поляризованной части (подчиняющейся закону Малюса) и неполяризованной части (которая всегда даёт половину своей интенсивности).
Справочная таблица: пропускание в зависимости от угла
| Угол θ (градусы) | cos²θ | Доля прошедшего света |
|---|---|---|
| 0° | 1.000 | 100 % |
| 15° | 0.933 | 93.3 % |
| 30° | 0.750 | 75 % |
| 45° | 0.500 | 50 % |
| 60° | 0.250 | 25 % |
| 75° | 0.067 | 6.7 % |
| 90° | 0.000 | 0 % |
Пользуйтесь таблицей для проверки вводимых данных: доля прошедшего света должна плавно убывать от 100 % до 0 % при росте θ от 0° до 90°.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить закон Малюса вручную, без калькулятора?
Сначала при необходимости переведите угол в градусы, затем возьмите косинус, возведите его в квадрат и умножьте на интенсивность падающего света: \(I = I_0 \cos^2\theta\). Для типовых углов тригонометрия вообще не нужна: \(\cos^2(0°)=1\), \(\cos^2(30°)=3/4\), \(\cos^2(45°)=1/2\), \(\cos^2(60°)=1/4\), \(\cos^2(90°)=0\). Так, 100 Вт/м² при 60° дают \(100 \times 0.25 = 25\) Вт/м².
Почему результат неверный, если ввести угол в радианах?
Самая частая ошибка — путаница в единицах угла. Если калькулятор или программа работает в радианах, а вы вводите 30 (имея в виду градусы), вы вычисляете \(\cos^2(30 \text{ рад})\) вместо \(\cos^2(30°)\) и получаете около 0,75 % вместо 75 %. Всегда проверяйте выбранную единицу: \(30° = \pi/6 \approx 0.5236\) радиан, а \(90° = \pi/2 \approx 1.5708\) радиан.
Что будет, если неполяризованный свет проходит через два поляризатора?
Неполяризованный свет интенсивностью \(I_0\) первый поляризатор всегда пропускает ровно наполовину: \(I_1 = I_0/2\) независимо от его ориентации. Затем к уже поляризованному свету применяем закон Малюса для второго поляризатора: \(I_2 = (I_0/2)\cos^2\theta\). Например, неполяризованные 100 Вт/м² через два поляризатора под углом 45° друг к другу дают \(50 \times 0.5 = 25\) Вт/м².
Может ли свет пройти через три поляризатора, если первый и последний скрещены?
Да — это классическая задача по физике. Если первый и третий поляризаторы находятся под углом 90°, то вставка среднего поляризатора под углом 45° к первому даёт \(I = I_0 \cos^2(45°)\cos^2(45°) = I_0/4\), хотя два скрещенных поляризатора по отдельности задерживают свет полностью. Причина в том, что каждый поляризатор проецирует поле на свою ось, переориентируя поляризацию. Это показывает, что поляризация — не просто фильтр, отсекающий лучи.
Почему закон Малюса неприменим к свету с круговой или эллиптической поляризацией?
Закон Малюса предполагает, что падающий свет линейно поляризован, то есть его электрическое поле колеблется вдоль одного фиксированного направления. При круговой или эллиптической поляризации поле вращается, поэтому интенсивность, прошедшая через линейный анализатор, остаётся постоянной (или почти постоянной) при его повороте. Свет с круговой поляризацией интенсивностью \(I_0\) всегда пропускает \(I_0/2\) через линейный поляризатор — как и неполяризованный свет.
Как переводить между Вт/м², мВт/см² и Вт/см²?
Поскольку 1 м² = 10 000 см², для перехода от мВт/см² к Вт/м² нужно умножить на 10: 1 мВт/см² = 10 Вт/м². Аналогично 1 Вт/см² = 10 000 Вт/м² (1 × 10⁴). В обратную сторону делите на те же коэффициенты: 1 Вт/м² = 0,1 мВт/см² = 0,0001 Вт/см². Этот калькулятор выполняет перевод автоматически и выводит результат сразу во всех трёх единицах, так что вы можете сверить значения.
Применим ли закон Малюса к реальным поляризаторам, например к фильтрам Polaroid?
Лишь приближённо. У реальных поляризаторов есть несовершенства: они поглощают 10–20 % «правильной» составляющей (то есть даже при θ = 0° проходит меньше 100 %) и немного «протекают» при θ = 90°, пропуская свет там, где идеальный поляризатор задержал бы всё. Поляризационные светоделители работают лучше, так как они не поглощают заблокированную составляющую, а отводят её в сторону. Для точных расчётов умножайте идеальный результат на измеренные коэффициенты пропускания поляризатора для параллельной и перпендикулярной составляющих.