Калькулятор закону Малюса
Обчисліть за законом Малюса, скільки лінійно поляризованого світла проходить крізь поляризатор. Введіть інтенсивність падаючого світла та кут між напрямком поляризації й віссю аналізатора.
Визначте, скільки поляризованого світла проходить через аналізатор
Формула закону Малюса
Де:
- \(I_0\) — інтенсивність лінійно поляризованого світла, що падає на аналізатор (W/m²)
- \(I\) — інтенсивність світла після аналізатора (W/m²)
- \(\theta\) — кут між напрямком поляризації світла та віссю пропускання аналізатора
Закон стверджує, що поляризатор пропускає лише складову електричного поля, паралельну до його осі пропускання, тому інтенсивність світла, що пройшло, змінюється пропорційно квадрату косинуса кута між цими двома напрямками.
Закон Малюса — приклад обчислення
Приклад: лінійно поляризоване світло з інтенсивністю 100 W/m² проходить крізь аналізатор, вісь пропускання якого повернута на 30° щодо напрямку поляризації світла.
\[ I = I_0 \cos^2\theta = 100 \times \cos^2(30^\circ) \]
\[ \cos(30^\circ) \approx 0.8660, \quad \cos^2(30^\circ) = 0.75 \]
\[ I = 100 \times 0.75 = 75 \; \text{W/m}^2 \]
Результат: аналізатор пропускає 75 W/m², тобто 75 % падаючого світла; решта — 25 W/m² — поглинається або блокується.
Як користуватися калькулятором
- Введіть Інтенсивність падаючого світла (I₀) — інтенсивність лінійно поляризованого світла перед аналізатором — і виберіть одиницю вимірювання: W/m², mW/cm² або W/cm².
- Введіть Кут між осями (θ) — кут між напрямком поляризації світла й віссю пропускання аналізатора — у градусах або радіанах. Можна вводити від’ємні значення або кути, більші за 360°; значення має лише косинус.
- Зчитайте Інтенсивність світла, що пройшло — вона показана в усіх трьох одиницях інтенсивності, — а також Частку пропускання й деталі, зокрема cos θ, cos²θ та заблоковану інтенсивність.
Що таке закон Малюса?
Закон Малюса, опублікований Етьєном-Луї Малюсом у 1809 році, описує, скільки лінійно поляризованого світла проходить крізь поляризаційний фільтр (який часто називають аналізатором, коли ним досліджують поляризоване світло). Світло — це електромагнітна хвиля, і його електричне поле коливається в напрямку, перпендикулярному до напрямку поширення. У лінійно поляризованому світлі ці коливання відбуваються в одній фіксованій площині.
Поляризатор пропускає лише ту складову електричного поля, яка лежить уздовж його осі пропускання. Якщо напрямок поляризації світла утворює з цією віссю кут θ, то крізь фільтр проходить складова поля \(E_0 \cos\theta\). Оскільки інтенсивність пропорційна квадрату амплітуди поля, інтенсивність світла, що пройшло, стає \(I_0 \cos^2\theta\) — це і є закон Малюса.
Залежність від кута має кілька важливих окремих випадків. За θ = 0° осі збігаються, і все світло проходить крізь фільтр. За θ = 90° поляризатори схрещені, і в ідеалі світло не проходить узагалі — на цьому принципі працюють сонцезахисні окуляри з регульованим затемненням і затвори LCD-дисплеїв. За θ = 45° проходить рівно половина інтенсивності. Через квадрат косинуса пропускання є періодичним із періодом 180°, тому кути 30° і 150° дають однаковий результат.
Закон Малюса — основа поляризаційної оптики; його вивчають у курсах фізики разом з іншими хвильовими явищами, як-от інтерференція на двох щілинах та дифракційні ґратки. Якщо ви працюєте з інтенсивністю в логарифмічному масштабі, пов’язаний калькулятор рівня інтенсивності звуку перетворює відношення в децибели й навпаки.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Ідеальний поляризатор: закон передбачає ідеальний аналізатор, який пропускає 100 % світла, поляризованого вздовж його осі, і повністю блокує перпендикулярну складову. Реальні поляризатори поглинають 10–20 % складової, що збігається з віссю, тому виміряні значення дещо нижчі за ідеальний результат.
- Повністю поляризоване падаюче світло: падаюче світло має бути лінійно поляризованим. Якщо на поляризатор падає неполяризоване світло з інтенсивністю \(I_0\), у середньому проходить рівно половина (\(I = I_0/2\)) незалежно від кута — і вже до результату першого поляризатора можна далі застосовувати закон Малюса.
- Збереження енергії: заблокована складова не зникає; вона поглинається у вигляді тепла (як у плівці Polaroid) або відхиляється (як у поляризаційних дільниках променя). Калькулятор показує цю заблоковану інтенсивність як \(I_0 - I\).
- Періодичність кута: оскільки \(\cos^2\theta\) має період 180°, будь-який кут можна звести за модулем 180°, і результат не зміниться. Кути, більші за 90°, дають таке саме пропускання, як відповідний суміжний кут (наприклад, 120° поводиться як 60°).
- Часткова поляризація: для частково поляризованого світла розглядайте падаюче світло як суму поляризованої частини (яка підкоряється закону Малюса) та неполяризованої (яка завжди дає половину своєї інтенсивності).
Довідкова таблиця: пропускання залежно від кута
| Кут θ (градуси) | cos²θ | Пропущена частка |
|---|---|---|
| 0° | 1,000 | 100 % |
| 15° | 0,933 | 93.3 % |
| 30° | 0,750 | 75 % |
| 45° | 0,500 | 50 % |
| 60° | 0,250 | 25 % |
| 75° | 0,067 | 6.7 % |
| 90° | 0,000 | 0 % |
Скористайтеся цією таблицею, щоб перевірити введені дані: пропущена частка має плавно зменшуватися від 100 % до 0 %, коли θ зростає від 0° до 90°.
Часті запитання
Як обчислити закон Малюса вручну, без калькулятора?
Спочатку за потреби переведіть кут у градуси, потім візьміть косинус, піднесіть його до квадрата і помножте на інтенсивність падаючого світла: \(I = I_0 \cos^2\theta\). Для поширених кутів тригонометрія взагалі не потрібна: \(\cos^2(0°)=1\), \(\cos^2(30°)=3/4\), \(\cos^2(45°)=1/2\), \(\cos^2(60°)=1/4\), \(\cos^2(90°)=0\). Отже, 100 W/m² за кута 60° дають \(100 \times 0.25 = 25\) W/m².
Чому результат хибний, коли я вводжу кут у радіанах?
Найпоширеніша помилка — плутанина одиниць кута. Якщо калькулятор або програма працює в режимі радіанів, а ви вводите 30 (маючи на увазі градуси), то обчислюєте \(\cos^2(30 \text{ rad})\) замість \(\cos^2(30°)\) і отримуєте приблизно 0,75 % замість 75 %. Завжди перевіряйте, яку одиницю вибрано: \(30° = \pi/6 \approx 0.5236\) радіана, а \(90° = \pi/2 \approx 1.5708\) радіана.
Що станеться, якщо неполяризоване світло проходить крізь два поляризатори?
Неполяризоване світло з інтенсивністю \(I_0\) перший поляризатор завжди пропускає рівно наполовину: \(I_1 = I_0/2\), незалежно від його орієнтації. Далі до поляризованого світла застосуйте закон Малюса з другим поляризатором: \(I_2 = (I_0/2)\cos^2\theta\). Наприклад, неполяризоване світло 100 W/m² крізь два поляризатори, розташовані під кутом 45° один до одного, дає \(50 \times 0.5 = 25\) W/m².
Чи може світло пройти крізь три поляризатори, навіть якщо перший і останній схрещені?
Так — це класична фізична головоломка. Якщо перший і третій поляризатори розташовані під кутом 90°, то вставлення середнього поляризатора під кутом 45° до першого пропускає \(I = I_0 \cos^2(45°)\cos^2(45°) = I_0/4\), хоча два схрещені поляризатори самі по собі блокують усе. Це відбувається тому, що кожен поляризатор проєктує поле на власну вісь, змінюючи напрямок поляризації. Це доводить, що поляризація — не просто фільтр, який вилучає промені.
Чому закон Малюса не застосовується до циркулярно або еліптично поляризованого світла?
Закон Малюса передбачає, що падаюче світло лінійно поляризоване, тобто його електричне поле коливається в одному фіксованому напрямку. При циркулярній або еліптичній поляризації поле обертається, тому інтенсивність світла, що проходить крізь лінійний аналізатор, залишається сталою (або майже сталою) під час обертання аналізатора. Циркулярно поляризоване світло з інтенсивністю \(I_0\) завжди передає \(I_0/2\) крізь лінійний поляризатор — так само, як неполяризоване.
Як перейти між W/m², mW/cm² і W/cm²?
Оскільки 1 м² = 10 000 см², для переходу від mW/cm² до W/m² множте на 10: 1 mW/cm² = 10 W/m². Так само 1 W/cm² = 10 000 W/m² (1 × 10⁴). У зворотний бік діліть на ті самі числа: 1 W/m² = 0,1 mW/cm² = 0,0001 W/cm². Цей калькулятор конвертує автоматично й показує результат в усіх трьох одиницях, тож значення можна звірити.
Чи застосовується закон Малюса до реальних поляризаторів, як-от фільтрів Polaroid?
Лише приблизно. Реальні поляризатори мають недосконалості: вони поглинають 10–20 % складової, паралельної до осі (тому навіть за θ = 0° проходить менше ніж 100 %), і трохи пропускають світло за θ = 90° замість повного блокування. Поляризаційні дільники променя працюють краще, бо відхиляють, а не поглинають заблоковану складову. Для точних розрахунків помножте ідеальний результат на виміряні коефіцієнти пропускання поляризатора для паралельної та перпендикулярної складових.