Rechner für das Gesetz von Malus
Berechnen Sie mit dem Gesetz von Malus, wie viel linear polarisiertes Licht einen Polarisator passiert. Geben Sie die einfallende Intensität und den Winkel zwischen Polarisationsrichtung und Analysatorachse ein.
Berechnen Sie, wie viel polarisiertes Licht den Analysator durchläuft
Formel des Gesetzes von Malus
Dabei gilt:
- \(I_0\) — Intensität des linear polarisierten Lichts, das auf den Analysator trifft (W/m²)
- \(I\) — Intensität des Lichts hinter dem Analysator (W/m²)
- \(\theta\) — Winkel zwischen der Polarisationsrichtung des Lichts und der Durchlassachse des Analysators
Das Gesetz besagt, dass ein Polarisator nur die Komponente des elektrischen Feldes durchlässt, die parallel zu seiner Durchlassachse liegt. Die durchgelassene Intensität nimmt daher mit dem Quadrat des Kosinus des Winkels zwischen den beiden Richtungen ab.
Gesetz von Malus – Rechenbeispiel
Beispiel: Linear polarisiertes Licht mit einer Intensität von 100 W/m² durchläuft einen Analysator, dessen Durchlassachse um 30° gegenüber der Polarisationsrichtung des Lichts gedreht ist.
\[ I = I_0 \cos^2\theta = 100 \times \cos^2(30^\circ) \]
\[ \cos(30^\circ) \approx 0{,}8660, \quad \cos^2(30^\circ) = 0{,}75 \]
\[ I = 100 \times 0{,}75 = 75 \; \text{W/m}^2 \]
Ergebnis: Der Analysator lässt 75 W/m² durch — das entspricht 75 % des einfallenden Lichts. Die übrigen 25 W/m² werden absorbiert oder blockiert.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Einfallende Intensität (I₀) ein — die Intensität des linear polarisierten Lichts vor dem Analysator — und wählen Sie die Einheit: W/m², mW/cm² oder W/cm².
- Geben Sie den Winkel zwischen den Achsen (θ) ein — den Winkel zwischen der Polarisationsrichtung des Lichts und der Durchlassachse des Analysators — in Grad oder Radiant. Auch negative Werte oder Winkel über 360° sind zulässig; es kommt nur auf den Kosinus an.
- Lesen Sie die Intensität des durchgelassenen Lichts ab, die in allen drei Intensitätseinheiten angezeigt wird, sowie den Transmissionsanteil mit Details, einschließlich cos θ, cos²θ und der blockierten Intensität.
Was ist das Gesetz von Malus?
Das Gesetz von Malus, das Étienne-Louis Malus 1809 veröffentlichte, beschreibt, wie viel linear polarisiertes Licht einen Polarisationsfilter passiert. Ein solcher Filter wird oft als Analysator bezeichnet, wenn er zur Untersuchung polarisierten Lichts dient. Licht ist eine elektromagnetische Welle, deren elektrisches Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingt. Bei linear polarisiertem Licht erfolgt diese Schwingung in einer festen Ebene.
Ein Polarisator lässt nur diejenige Komponente des elektrischen Feldes durch, die entlang seiner Durchlassachse liegt. Bildet die Polarisationsrichtung des Lichts mit dieser Achse den Winkel θ, bleibt die Feldkomponente \(E_0 \cos\theta\) übrig. Da die Intensität proportional zum Quadrat der Feldamplitude ist, ergibt sich die durchgelassene Intensität zu \(I_0 \cos^2\theta\) — das Gesetz von Malus.
Die Winkelabhängigkeit hat einige wichtige Sonderfälle. Bei θ = 0° sind die Achsen parallel ausgerichtet, und das gesamte Licht wird durchgelassen. Bei θ = 90° stehen die Polarisatoren gekreuzt — im Idealfall wird gar kein Licht durchgelassen. Darauf beruhen verstellbare Sonnenbrillen und LCD-Verschlüsse. Bei θ = 45° wird genau die Hälfte der Intensität durchgelassen. Wegen des quadratischen Kosinus ist die Transmission zudem mit einer Periode von 180° periodisch: 30° und 150° liefern dasselbe Ergebnis.
Das Gesetz von Malus ist ein zentraler Bestandteil der Polarisationsoptik und begegnet in Physikvorlesungen zusammen mit anderen Wellenphänomenen wie Doppelspaltinterferenz und Beugungsgittern. Wer mit Intensitäten auf einer logarithmischen Skala arbeitet, kann mit dem verwandten Rechner für den Schallintensitätspegel zwischen Verhältnissen und Dezibel umrechnen.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Idealer Polarisator: Das Gesetz setzt einen idealen Analysator voraus, der 100 % des entlang seiner Achse polarisierten Lichts durchlässt und 100 % des senkrecht dazu polarisierten Lichts blockiert. Reale Polarisatoren absorbieren 10–20 % der ausgerichteten Komponente, sodass gemessene Werte etwas unter dem Idealergebnis liegen.
- Vollständig polarisiertes einfallendes Licht: Das einfallende Licht muss linear polarisiert sein. Fällt unpolarisiertes Licht der Intensität \(I_0\) auf einen Polarisator, wird im Mittel genau die Hälfte durchgelassen (\(I = I_0/2\)) — unabhängig vom Winkel. Auf den Ausgang dieses ersten Polarisators lässt sich dann das Gesetz von Malus anwenden.
- Energieerhaltung: Die blockierte Komponente geht nicht verloren; sie wird als Wärme absorbiert (wie bei Polarisationsfolien) oder abgelenkt (wie bei polarisierenden Strahlteilern). Der Rechner gibt diese blockierte Intensität als \(I_0 - I\) aus.
- Periodizität des Winkels: Da \(\cos^2\theta\) eine Periode von 180° besitzt, lässt sich jeder Winkel modulo 180° reduzieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Winkel über 90° liefern dieselbe Transmission wie ihr Ergänzungswinkel (120° verhält sich z. B. wie 60°).
- Teilpolarisation: Bei teilweise polarisiertem Licht behandelt man das einfallende Licht als Summe aus einem polarisierten Anteil (der dem Gesetz von Malus folgt) und einem unpolarisierten Anteil (der stets die Hälfte seiner Intensität beiträgt).
Referenztabelle: Transmission in Abhängigkeit vom Winkel
| Winkel θ (Grad) | cos²θ | Durchgelassener Anteil |
|---|---|---|
| 0° | 1,000 | 100 % |
| 15° | 0,933 | 93,3 % |
| 30° | 0,750 | 75 % |
| 45° | 0,500 | 50 % |
| 60° | 0,250 | 25 % |
| 75° | 0,067 | 6,7 % |
| 90° | 0,000 | 0 % |
Nutzen Sie diese Tabelle, um Ihre Eingaben im Rechner zu überprüfen: Der durchgelassene Anteil sollte von 100 % auf 0 % stetig abfallen, während θ von 0° auf 90° anwächst.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich das Gesetz von Malus von Hand ohne Rechner?
Wandeln Sie den Winkel bei Bedarf zunächst in Grad um, dann nehmen Sie den Kosinus, quadrieren ihn und multiplizieren mit der einfallenden Intensität: \(I = I_0 \cos^2\theta\). Bei gebräuchlichen Winkeln können Sie die Trigonometrie ganz weglassen: \(\cos^2(0°)=1\), \(\cos^2(30°)=3/4\), \(\cos^2(45°)=1/2\), \(\cos^2(60°)=1/4\) und \(\cos^2(90°)=0\). Somit ergeben 100 W/m² bei 60°: \(100 \times 0{,}25 = 25\) W/m².
Warum kommt ein falsches Ergebnis heraus, wenn ich den Winkel in Radiant eingebe?
Der häufigste Fehler ist die Vermischung der Winkeleinheiten. Befindet sich Ihr Rechner oder Ihre Software im Radiantenmodus, Sie geben aber 30 ein (und meinen Grad), berechnen Sie \(\cos^2(30 \text{ rad})\) statt \(\cos^2(30°)\) — das ergibt rund 0,75 % statt 75 %. Prüfen Sie daher immer die gewählte Einheit: \(30° = \pi/6 \approx 0{,}5236\) Radiant und \(90° = \pi/2 \approx 1{,}5708\) Radiant.
Was geschieht, wenn unpolarisiertes Licht durch zwei Polarisatoren fällt?
Bei unpolarisiertem Licht der Intensität \(I_0\) lässt der erste Polarisator unabhängig von seiner Ausrichtung stets genau die Hälfte durch: \(I_1 = I_0/2\). Anschließend wenden Sie auf das nun polarisierte Licht das Gesetz von Malus mit dem zweiten Polarisator an: \(I_2 = (I_0/2)\cos^2\theta\). Unpolarisiertes Licht mit 100 W/m² durch zwei um 45° gegeneinander gedrehte Polarisatoren ergibt also \(50 \times 0{,}5 = 25\) W/m².
Kann Licht drei Polarisatoren durchqueren, selbst wenn der erste und der letzte gekreuzt sind?
Ja — ein klassisches Physikrätsel. Stehen der erste und der dritte Polarisator um 90° gekreuzt, so überträgt ein in der Mitte eingefügter Polarisator, der um 45° zum ersten gedreht ist, \(I = I_0 \cos^2(45°)\cos^2(45°) = I_0/4\) — obwohl zwei gekreuzte Polarisatoren allein alles blockieren. Das funktioniert, weil jeder Polarisator das Feld auf seine eigene Achse projiziert und die Polarisation dadurch neu ausrichtet. Es zeigt, dass ein Polarisator nicht einfach ein Filter ist, der Lichtstrahlen entfernt.
Warum gilt das Gesetz von Malus nicht für zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht?
Das Gesetz von Malus setzt voraus, dass das einfallende Licht linear polarisiert ist, das elektrische Feld also entlang einer festen Richtung schwingt. Bei zirkularer oder elliptischer Polarisation rotiert das Feld, sodass die durch einen linearen Analysator gelassene Intensität beim Drehen des Analysators konstant (oder nahezu konstant) bleibt. Zirkular polarisiertes Licht der Intensität \(I_0\) lässt durch einen linearen Polarisator stets \(I_0/2\) durch — genau wie unpolarisiertes Licht.
Wie rechne ich zwischen W/m², mW/cm² und W/cm² um?
Da 1 m² = 10.000 cm² entspricht, multiplizieren Sie mit 10, um von mW/cm² auf W/m² umzurechnen: 1 mW/cm² = 10 W/m². Entsprechend gilt 1 W/cm² = 10.000 W/m² (1 × 10⁴). In umgekehrter Richtung dividieren Sie durch dieselben Faktoren: 1 W/m² = 0,1 mW/cm² = 0,0001 W/cm². Dieser Rechner rechnet automatisch um und zeigt das Ergebnis in allen drei Einheiten an, sodass Sie es abgleichen können.
Gilt das Gesetz von Malus auch für reale Polarisatoren wie Polarisationsfolien?
Nur näherungsweise. Reale Polarisatoren haben Unvollkommenheiten: Sie absorbieren 10–20 % der ausgerichteten Komponente (sodass selbst bei θ = 0° weniger als 100 % durchkommen) und lassen bei θ = 90° einen kleinen Rest durch, statt nichts zu übertragen. Polarisierende Strahlteiler schneiden besser ab, weil sie die blockierte Komponente umlenken statt sie zu absorbieren. Für Präzisionsmessungen multiplizieren Sie das Idealergebnis mit den gemessenen Transmissionskoeffizienten des Polarisators für die parallele und die senkrechte Komponente.