Калькулятор умножения матрицы на число

Обновлено: 15 октября, 2026

Умножьте матрицу 2 × 2 или 3 × 3 на число (скаляр). Введите коэффициент k и элементы матрицы A — итоговая матрица kA появится мгновенно.

Умножение матрицы на число (константу)

Формула умножения матрицы на число

Формула

\[ kA = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k\,a_{11} & k\,a_{12} & \cdots & k\,a_{1n} \\ k\,a_{21} & k\,a_{22} & \cdots & k\,a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k\,a_{n1} & k\,a_{n2} & \cdots & k\,a_{nn} \end{bmatrix} \]

Обозначения:

\(k\) — скаляр (любое действительное число);
\(A\) — исходная матрица размера \(n \times n\);
\(a_{ij}\) — элемент матрицы \(A\) в строке \(i\) и столбце \(j\);
\(kA\) — итоговая матрица, в которой каждый элемент равен соответствующему элементу \(A\), умноженному на \(k\).

Умножение на число просто масштабирует все элементы матрицы на одну и ту же константу. Размер и форма матрицы при этом не меняются — изменяются только значения.

Пример вычисления: умножение матрицы на число

Пример: умножим приведённую ниже матрицу \(A\) размера 3 × 3 на число \(k = 3\).

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

Каждый элемент умножаем на 3:

\[ 3A = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 6 \\ 3 \cdot 7 & 3 \cdot 8 & 3 \cdot 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix} \]

Итог: результирующая матрица равна \(\begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix}\).

Как пользоваться калькулятором

В выпадающем списке выберите размер матрицы — 2 × 2 или 3 × 3. При выборе 2 × 2 поля третьей строки и третьего столбца скрываются автоматически.
Введите число в поле Скаляр (k). Оно может быть положительным, отрицательным, нулём или дробным.
Заполните все видимые элементы матрицы A (a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁ и так далее). Индекс подсказывает положение элемента: первая цифра — номер строки, вторая — номер столбца.
Посмотрите на итоговую матрицу (kA) в разделе «Ваши результаты». В каждой ячейке показан соответствующий элемент матрицы \(A\), умноженный на \(k\), с округлением до двух знаков после запятой.

Что такое умножение матрицы на число?

В линейной алгебре скаляром называют отдельное число — в отличие от матрицы, которая представляет собой прямоугольную таблицу чисел. Умножить матрицу на скаляр — значит умножить каждый её элемент на одно и то же число. В результате получается новая матрица точно такого же размера — умножение на число никогда не меняет размерность матрицы.

Эта операция отличается от умножения матриц, при котором две матрицы перемножаются через попарные произведения строк на столбцы. Умножение на число гораздо проще: это обычное арифметическое умножение, применённое к каждому элементу по отдельности. Например, если \(k = 2\) и один из элементов \(A\) равен 5, то соответствующий элемент матрицы \(kA\) равен \(2 \times 5 = 10\).

Геометрически, если матрица задаёт преобразование пространства, то умножение её на скаляр \(k\) растягивает (или сжимает) это преобразование в \(k\) раз по всем направлениям. При \(k > 1\) результат увеличивается, при \(0 < k < 1\) — сжимается, а при отрицательном \(k\) происходит отражение относительно начала координат: все элементы меняют знак.

Умножение на число постоянно встречается в прикладных задачах: масштабирование матриц коэффициентов в системах уравнений (это связано с методом исключения), нормализация таблиц данных, корректировка весов и построение линейных комбинаций матриц. Отметим, что умножение на число хорошо сочетается со сложением матриц: \(k(A + B) = kA + kB\).

Основные свойства

Размер результата: \(kA\) всегда имеет ту же размерность, что и \(A\).
Перестановочность со скаляром: \(kA = Ak\) — число можно записывать с любой стороны.
Ассоциативность: \(c(kA) = (ck)A\) — последовательное умножение на два числа равно однократному умножению на их произведение.
Распределительность по числам: \((c + k)A = cA + kA\).
Распределительность по матрицам: \(k(A + B) = kA + kB\).
Умножение на 1: \(1 \cdot A = A\) — единица не меняет матрицу.
Умножение на 0: \(0 \cdot A\) — нулевая матрица, все элементы которой равны 0.
Отрицательные скаляры: \((-1)A\) меняет знак каждого элемента — это в точности матрица \(-A\).

Ограничения и практические советы

Калькулятор работает только с квадратными матрицами (2 × 2 или 3 × 3). Прямоугольные матрицы легко умножить на число вручную по тому же правилу: умножьте каждый элемент на \(k\).
Результаты выводятся с округлением до двух знаков после запятой, поэтому элементы с длинной дробной частью могут отображаться слегка округлёнными. Если нужен точный ответ, вводите целые числа или простые дроби.
Очень большие числа или элементы могут давать огромные результаты: калькулятор использует числа с плавающей запятой, поэтому при экстремальных значениях возможна потеря точности.
Не путайте \(kA\) (умножение матрицы на число) и \(k \cdot I\) (число, умноженное на единичную матрицу). Это разные вещи: в матрице \(kI\) на диагонали стоят \(k\), а все остальные элементы — нули.
Если вы масштабируете матрицу в ходе решения системы линейных уравнений, каждое преобразование строки нужно применять ко всей расширенной матрице — этот порядок работы описан в калькуляторе метода исключения, а закономерности в квадратных таблицах можно исследовать с помощью генератора магических квадратов.

Часто задаваемые вопросы

Как умножить матрицу на число вручную?

Умножьте каждый элемент матрицы на это число и запишите произведения на тех же местах. Например, если k = 4 и первая строка матрицы равна \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}\), то первая строка матрицы \(kA\) будет \(\begin{bmatrix} 8 & -4 \end{bmatrix}\). Повторите это для всех элементов — никакой комбинации «строка на столбец», как при умножении матриц, здесь нет, только обычная арифметика поэлементно.

Чем умножение на число отличается от умножения матриц?

Умножение на число — это умножение матрицы на одно число, при котором каждый элемент масштабируется на одну и ту же константу. Умножение матриц — это перемножение двух матриц через попарные произведения строк на столбцы, и оно определено только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Правила у этих операций разные: например, \(kA\) всегда имеет ту же размерность, что и \(A\), а размер \(AB\) может быть иным.

Определитель тоже умножается на это число?

Не на само число: для матрицы размера \(n \times n\) выполняется \(\det(kA) = k^n \det(A)\). Так, если удвоить все элементы матрицы 2 × 2, её определитель увеличится в \(2^2 = 4\) раза, а не в 2. Это очень частая ошибка на экзаменах. А вот след масштабируется просто: \(\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}(A)\).

Может ли число быть отрицательным, нулём или дробным?

Да, скаляром может быть любое действительное число. Отрицательное число меняет знак каждого элемента: например, \(-2A\) удваивает все элементы и меняет их знак. При \(k = 0\) все элементы становятся нулями — получается нулевая матрица. Дробное значение вроде \(k = 0,5\) уменьшает каждый элемент вдвое, что часто используется для усреднения или нормализации матриц.

Перестановочно ли умножение на число — равны ли kA и Ak?

Если k — это число (обычное число), то да: \(kA = Ak\), и оба произведения равны матрице, все элементы которой умножены на \(k\). Но если \(k\) — сама матрица, то \(kA\) и \(Ak\) уже являются произведениями матриц, а умножение матриц в общем случае не перестановочно: чаще всего \(AB \neq BA\). Из контекста всегда понятно, число это или матрица.

Как умножение на число сочетается со сложением матриц?

Через распределительное свойство: \(k(A + B) = kA + kB\). Можно сначала сложить матрицы, а затем умножить результат на число, а можно сначала умножить каждую на число, а потом сложить — итог будет одинаковым. Это верно поэлементно, поскольку \(k(a_{ij} + b_{ij}) = k\,a_{ij} + k\,b_{ij}\) — обычная распределительность чисел. На этом правиле строятся линейные комбинации вида \(2A + 3B\).

Почему в результате только два знака после запятой?

Для удобства чтения каждое значение отображается с округлением до двух знаков. Если умножаются элементы с длинной дробной частью, показанные числа могут быть слегка округлены: например, 3 × 0,123456 = 0,370368 отобразится как 0,37. Когда нужен точный результат, вводите целые числа или конечные десятичные дроби и быстро проверяйте ответ вручную — само вычисление не округляется, округляется только вывод на экран.