Калькулятор определителя матрицы (2×2 до 6×6)

Вычисление определителя квадратной матрицы

Размер матрицы

Заполнить таблицу

Строка 1

a₁₁Целые числа, десятичные дроби (например, 1,5) или обыкновенные дроби (например, 3/4). Пустые ячейки считаются нулём.

a₁₂

a₁₃

Строка 2

a₂₁

a₂₂

a₂₃

Строка 3

a₃₁

a₃₂

a₃₃

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Результаты

Определитель (точное значение)det A

Определитель (десятичное значение)

Вырожденная ли матрица?

Ход решения

Формула определителя

Формула

\[ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc \\ \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\ \det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j} \]

Обозначения:

\(a_{ij}\) — элемент квадратной матрицы \(A\), стоящий в строке \(i\) и столбце \(j\);
\(M_{1j}\) — минор: определитель подматрицы, которая остаётся после вычёркивания первой строки и столбца \(j\);
\((-1)^{1+j}M_{1j}\) — алгебраическое дополнение элемента \(a_{1j}\).

В первой строке записано «правило диагонали» для матриц 2×2, во второй — разложение по алгебраическим дополнениям (разложение Лапласа) по первой строке для матриц 3×3, а последняя строка — это общее разложение, которое подходит для любой матрицы \(n \times n\).

Определитель — пример вычисления

Пример: найдём определитель матрицы 3×3

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]

\[ M_{11} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = -2, \quad M_{12} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = -5, \quad M_{13} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1 \]

\[ \det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \]

Результат: \(\det A = 4\). Определитель отличен от нуля, значит, матрица обратима. Этот результат легко воспроизвести: нажмите кнопку расчёта со значениями, заданными в калькуляторе по умолчанию.

Как пользоваться калькулятором определителя

Откройте выпадающий список «Размер матрицы» и выберите 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 или 6 × 6. Используются только поля выбранного размера.
В списке «Заполнить таблицу» выберите способ задания матрицы: «Использовать введённые ниже значения», «Случайная целочисленная матрица» (при каждом переключении генерируется новая), «Единичная матрица» или «Очистить (все нули)».
Введите элементы в поля a₁₁, a₁₂, … Подойдут целые числа, десятичные дроби вроде 1,5 и обыкновенные дроби вроде 3/4. Пустые ячейки считаются нулями.
Ознакомьтесь с результатами: «Определитель (точное значение)» даёт ответ в виде точной дроби или целого числа, «Определитель (десятичное значение)» — в виде десятичной дроби, «Вырожденная ли матрица?» показывает, существует ли обратная матрица, а в блоке «Шаги решения» приведён весь ход вычислений.

Что такое определитель матрицы?

Определитель — это одно число, которое характеризует важное геометрическое и алгебраическое свойство квадратной матрицы. С геометрической точки зрения модуль определителя матрицы \(n \times n\) показывает, во сколько раз линейное преобразование, заданное этой матрицей, меняет объёмы: \(|\det A|\) говорит, во сколько раз преобразование растягивает длины (2×2), площади (2×2 и 3×3 в двумерных и трёхмерных задачах) или объёмы в общем случае. Определитель, равный 3, означает, что преобразование увеличивает объём втрое; определитель, равный 0, — что преобразование схлопывает пространство в меньшую размерность и теряет информацию.

С алгебраической точки зрения определитель — это быстрая проверка на обратимость. Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда \(\det A \neq 0\). Если же \(\det A = 0\), матрица называется вырожденной: её строки (и столбцы) линейно зависимы, системы \(Ax = b\) не имеют единственного решения, а матрицы \(A^{-1}\) не существует. Именно поэтому определитель встречается повсюду — от решения систем линейных уравнений (правило Крамера) до поиска собственных значений и вычисления векторного произведения.

Как трактовать само число, зависит от задачи. Точное значение важно для ручных проверок и для теории, десятичное удобно для прикидок. Знак тоже несёт смысл: отрицательный определитель означает, что преобразование меняет ориентацию — как отражение в зеркале. Обратите внимание: определитель определён только для квадратных матриц — у неквадратной матрицы определителя просто нет.

Как калькулятор производит вычисления: два метода

Для матриц 2×2 и 3×3 калькулятор выполняет разложение по алгебраическим дополнениям по первой строке и показывает все миноры и произведения, а для матриц 3×3 дополнительно делает проверку по правилу Саррюса. Для матриц от 4×4 до 6×6 включается метод Гаусса с точной рациональной арифметикой: прибавление к строке кратного другой строки не меняет определителя, а каждая перестановка строк меняет его знак. Определитель равен произведению ведущих элементов полученной верхнетреугольной матрицы, умноженному на \((-1)\) по числу выполненных перестановок. Если в каком-либо столбце невозможно найти ведущий элемент, матрица вырождена и её определитель в точности равен 0.

Поскольку все вычисления ведутся с целыми числами и дробями (а не с десятичными дробями с плавающей точкой), результат точен — погрешности округления нет даже для «неудобных» дробей. Десятичные дроби с количеством знаков до 12 внутри калькулятора преобразуются в точные дроби, поэтому 0,1 трактуется ровно как 1/10, а не как приближённое двоичное значение.

Полезные свойства и ограничения

\(\det(AB) = \det A \cdot \det B\), а для обратимой матрицы \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\).
Перестановка двух строк (или столбцов) умножает определитель на −1; умножение строки на число \(k\) умножает определитель на \(k\). Если в матрице есть две одинаковые строки или нулевая строка, определитель равен 0.
\(\det A = \det A^{T}\), поэтому рассуждения о строках и столбцах равнозначны. Саму транспонированную матрицу можно построить в калькуляторе транспонированных матриц.
Калькулятор принимает размеры от 2×2 до 6×6 и числа с количеством десятичных знаков до 12. Для более крупных матриц используйте метод исключений с разложением по алгебраическим дополнениям либо программы, созданные для больших линейных систем.
Полезно помнить быстрое правило: \(\det(kA) = k^{n} \det A\) для матрицы \(n \times n\), так как каждая строка умножается на \(k\). Построить такие матрицы напрямую можно в калькуляторе умножения матрицы на число.
Поскольку ненулевой определитель гарантирует единственное решение линейной системы, возможно, вам захочется сразу решить систему с помощью калькулятора метода исключения или сравнить родственные инварианты, например сумму диагональных элементов, в калькуляторе следа матрицы.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить определитель матрицы 4×4 вручную?

Либо разложите по строке или столбцу с большим числом нулей (разложение Лапласа сводит 4×4 к четырём определителям 3×3), либо приведите матрицу к верхнетреугольному виду с помощью элементарных преобразований строк: определитель равен произведению диагональных элементов, умноженному на −1 за каждую выполненную перестановку строк. Прибавление к одной строке кратного другой определителя не меняет. В пошаговом решении калькулятора показан именно этот процесс исключения.

Может ли определитель быть отрицательным или дробным?

И то и другое возможно. Отрицательный определитель означает, что преобразование меняет ориентацию (как отражение в зеркале), поэтому для коэффициента растяжения объёма достаточно взять модуль числа. Дробные элементы матрицы, а также деление при исключении переменных естественно дают дробный определитель — например, определитель матрицы 2×2 \(\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}\) равен 1/6. Калькулятор сохраняет результат в виде точной дроби, а рядом приводит округлённое десятичное значение.

Что означают записи det A и |A|?

Это одно и то же: \(\det A\), \(|A|\) и \(\det(A)\) — всё это обозначения определителя матрицы \(A\). Запись с вертикальными чертами часто встречается в кратких формулах вроде правила Крамера, но не путайте её с модулем числа — определитель, записанный как \(|A|\), вполне может быть отрицательным. Чтобы избежать путаницы, этот калькулятор всегда подписывает результат как det A.

Есть ли упрощённое правило для диагональных и треугольных матриц?

Да. Для любой диагональной или треугольной матрицы (верхней или нижней) определитель равен просто произведению диагональных элементов: \(\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}\). Именно поэтому калькулятор приводит большие матрицы к треугольному виду — громоздкое разложение превращается в одно произведение. Единичная матрица — это частный случай, когда произведение равно 1, поэтому det \(I\) = 1 при любом размере.

Я проделал преобразования строк вручную и получил другой ответ. Где ошибка?

Самая частая ошибка — забыть, что умножение строки на число \(k\) умножает весь определитель на \(k\), а каждая перестановка строк или столбцов меняет знак. Определитель не меняет только операция «прибавить к одной строке кратное другой». Также убедитесь, что при разложении по алгебраическим дополнениям вы вели разложение по одной строке или столбцу и правильно расставили знаковые чередования.

Почему нельзя найти определитель матрицы 3×4 или другой неквадратной?

Определитель существует только для квадратных матриц, поскольку он измеряет, во сколько раз преобразование растягивает \(n\)-мерное пространство в само себя — неквадратная матрица меняет размерность, и единого коэффициента растяжения просто нет. Для неквадратных матриц вместо определителя используют другие инварианты: например, ранг \(A\) или определитель квадратной матрицы \(A^T A\), который применяется в формулах метода наименьших квадратов.

Как вводить смешанные числа вроде 1 1/2?

Записывайте смешанное число в виде неправильной дроби: 1 1/2 превращается в 3/2, а −2¾ — в −11/4. Поля принимают только целые числа, десятичные дроби (до 12 знаков) и обыкновенные дроби вида p/q; пустая ячейка считается нулём. Десятичные дроби внутри калькулятора преобразуются в точные, поэтому 0,1 вычисляется ровно как 1/10, и никакая погрешность плавающей точки не испортит ваш определитель.