Rechner für die Skalarmultiplikation von Matrizen

Q: Wie multipliziere ich eine Matrix von Hand mit einem Skalar?

Multiplizieren Sie jeden einzelnen Eintrag der Matrix mit dem Skalar und notieren Sie die Produkte an denselben Positionen. Ist beispielsweise k = 4 und die erste Zeile der Matrix beginbmatrix 2 & -1 endbmatrix, dann lautet die erste Zeile von kA: beginbmatrix 8 & -4 endbmatrix. Wiederholen Sie das für alle Einträge — es gibt keine Zeile-mit-Spalte-Kombination wie bei der Matrixmultiplikation, sondern nur einfaches elementweises Rechnen.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Skalarmultiplikation und Matrixmultiplikation?

Bei der Skalarmultiplikation wird eine Matrix mit einer einzigen Zahl multipliziert, sodass jeder Eintrag mit derselben Konstanten skaliert wird. Bei der Matrixmultiplikation werden zwei Matrizen miteinander über Zeile-mit-Spalte-Skalarprodukte multipliziert; sie ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten ist. Die beiden Operationen folgen unterschiedlichen Regeln — so hat kA immer dieselben Dimensionen wie A, während AB andere Dimensionen haben kann.

Q: Wird die Determinante ebenfalls mit dem Skalar multipliziert?

Nicht mit dem Skalar selbst — für eine n × n-Matrix gilt det(kA) = k^n det(A). Verdoppelt man also jeden Eintrag einer 2 × 2-Matrix, wird ihre Determinante mit 2^2 = 4 multipliziert, nicht mit 2. Das ist ein sehr häufiger Fehler in Prüfungen. Die Spur skaliert dagegen einfach: tr(kA) = k tr(A).

Q: Darf der Skalar negativ, null oder ein Bruch sein?

Ja, der Skalar darf jede reelle Zahl sein. Ein negativer Skalar kehrt das Vorzeichen jedes Eintrags um: -2A verdoppelt jeden Eintrag und kehrt sein Vorzeichen um. Bei k = 0 wird jeder Eintrag zu 0, das Ergebnis ist die Nullmatrix. Ein Bruch wie k = 0,5 halbiert jeden Eintrag — das wird oft genutzt, um Matrizen zu mitteln oder zu normalisieren.

Q: Ist die Skalarmultiplikation kommutativ — gilt kA = Ak?

Solange k ein Skalar (eine gewöhnliche Zahl) ist, gilt: kA = Ak, und beide bezeichnen die Matrix, in der jeder Eintrag mit k multipliziert ist. Ist k jedoch selbst eine Matrix, sind kA und Ak Matrixprodukte, und die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ — meist gilt AB ≠ BA. Aus dem Kontext ergibt sich, ob k eine Zahl oder eine Matrix ist.

Q: Wie hängt die Skalarmultiplikation mit der Matrixaddition zusammen?

Beide verbindet das Distributivgesetz: k(A + B) = kA + kB. Sie können die Matrizen entweder erst addieren und dann skalieren oder jede einzeln skalieren und dann addieren — das Ergebnis ist identisch. Das gilt eintragweise, weil k(a_ij + b_ij) = k a_ij + k b_ij schlicht die gewöhnliche Distributivität von Zahlen ist. Auf dieser Regel beruhen Linearkombinationen wie 2A + 3B.

Q: Warum hat das Ergebnis nur zwei Nachkommastellen?

Die Anzeige rundet jeden Eintrag zur besseren Lesbarkeit auf zwei Dezimalstellen. Multiplizieren Sie Einträge mit vielen Dezimalstellen, können die angezeigten Werte leicht gerundet sein — so erscheint beispielsweise 3 × 0,123456 = 0,370368 als 0,37. Wenn Sie ein exaktes Ergebnis benötigen, geben Sie ganze Zahlen oder abbrechende Dezimalzahlen ein und prüfen Sie kurz von Hand nach — die eigentliche Berechnung wird nämlich nicht gerundet, nur die Darstellung.

Aktualisiert: 14 Oktober 2026

Multiplizieren Sie eine 2 × 2- oder 3 × 3-Matrix mit einem Skalar (einer Konstanten). Geben Sie den Skalar k und die Einträge der Matrix A ein und erhalten Sie die Ergebnismatrix kA sofort.

Matrix mit einem Skalar (Konstante) multiplizieren

Formel der Skalarmultiplikation

Formel

\[ kA = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k\,a_{11} & k\,a_{12} & \cdots & k\,a_{1n} \\ k\,a_{21} & k\,a_{22} & \cdots & k\,a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k\,a_{n1} & k\,a_{n2} & \cdots & k\,a_{nn} \end{bmatrix} \]

Dabei gilt:

\(k\) — der Skalar (eine beliebige reelle Konstante)
\(A\) — die ursprüngliche \(n \times n\)-Matrix
\(a_{ij}\) — der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) von \(A\)
\(kA\) — die Ergebnismatrix, bei der jeder Eintrag das \(k\)-Fache des entsprechenden Eintrags von \(A\) ist

Bei der Skalarmultiplikation wird jeder Eintrag der Matrix mit derselben Konstanten skaliert. Größe und Form der Matrix bleiben dabei immer erhalten — nur die Werte ändern sich.

Skalarmultiplikation – Rechenbeispiel

Beispiel: Wir multiplizieren die folgende 3 × 3-Matrix \(A\) mit dem Skalar \(k = 3\).

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

Jeder Eintrag wird mit 3 multipliziert:

\[ 3A = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 6 \\ 3 \cdot 7 & 3 \cdot 8 & 3 \cdot 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix} \]

Ergebnis: Die Ergebnismatrix lautet \(\begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix}\).

So verwenden Sie den Rechner

Wählen Sie im Dropdown-Menü die Matrixgröße — entweder 2 × 2 oder 3 × 3. Bei 2 × 2 werden die Felder für die dritte Zeile und Spalte automatisch ausgeblendet.
Geben Sie die Konstante in das Feld Skalar (k) ein. Sie darf positiv, negativ, null oder eine Dezimalzahl sein.
Füllen Sie jedes sichtbare Feld der Matrix A aus (a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁ usw.). Der Index zeigt Ihnen die Position: Die erste Zahl ist die Zeile, die zweite die Spalte.
Lesen Sie die Ergebnismatrix (kA) unter „Ihre Ergebnisse“ ab. Jede Zelle zeigt den entsprechenden Eintrag von \(A\), multipliziert mit \(k\), auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Was ist die Skalarmultiplikation einer Matrix?

In der linearen Algebra ist ein Skalar eine einzelne Zahl — im Gegensatz zu einer Matrix, die ein rechteckiges Zahlenschema ist. Eine Matrix mit einem Skalar zu multiplizieren bedeutet, jeden einzelnen Eintrag dieser Matrix mit derselben Zahl zu multiplizieren. Das Ergebnis ist eine neue Matrix mit exakt denselben Dimensionen — die Skalarmultiplikation ändert niemals die Größe einer Matrix.

Diese Operation ist etwas anderes als die Matrixmultiplikation, bei der zwei Matrizen über Zeile-mit-Spalte-Skalarprodukte miteinander multipliziert werden. Die Skalarmultiplikation ist deutlich einfacher: Sie besteht einfach aus gewöhnlicher Multiplikation, Eintrag für Eintrag. Ist beispielsweise \(k = 2\) und ein Eintrag von \(A\) gleich 5, dann ist der zugehörige Eintrag von \(kA\) gleich \(2 \times 5 = 10\).

Geometrisch betrachtet: Stellt eine Matrix eine Abbildung des Raums dar, so wird diese Abbildung durch die Multiplikation mit einem Skalar \(k\) in jede Richtung um den Faktor \(k\) gestreckt (oder gestaucht). Bei \(k > 1\) wird das Ergebnis vergrößert, bei \(0 < k < 1\) verkleinert, und bei einem negativen \(k\) wird das Ergebnis am Ursprung gespiegelt: Jeder Eintrag wechselt sein Vorzeichen.

Die Skalarmultiplikation begegnet einem in der Praxis ständig: beim Skalieren von Koeffizientenmatrizen in Gleichungssystemen (siehe dazu das Eliminationsverfahren), beim Normalisieren von Datentabellen, beim Anpassen von Gewichten und beim Bilden von Linearkombinationen von Matrizen. Die Skalarmultiplikation harmoniert zudem mit der Matrixaddition: \(k(A + B) = kA + kB\).

Wichtige Rechenregeln

Dimension des Ergebnets: \(kA\) hat immer dieselben Dimensionen wie \(A\).
Kommutativität mit dem Skalar: \(kA = Ak\) — der Skalar darf auf beiden Seiten stehen.
Assoziativität: \(c(kA) = (ck)A\) — zwei aufeinanderfolgende Multiplikationen mit Skalaren entsprechen einer einzigen Multiplikation mit dem Produkt.
Distributivität über Skalare: \((c + k)A = cA + kA\).
Distributivität über Matrizen: \(k(A + B) = kA + kB\).
Multiplikation mit 1: \(1 \cdot A = A\) — der Skalar 1 lässt die Matrix unverändert.
Multiplikation mit 0: \(0 \cdot A\) ist die Nullmatrix — jeder Eintrag wird zu 0.
Negative Skalare: \((-1)A\) kehrt das Vorzeichen jedes Eintrags um; das Ergebnis ist genau die Matrix \(-A\).

Grenzen und praktische Hinweise

Dieser Rechner unterstützt nur quadratische Matrizen (2 × 2 oder 3 × 3). Rechteckige Matrizen können Sie mit derselben Regel von Hand bearbeiten: Multiplizieren Sie jeden Eintrag mit \(k\).
Die Ergebnisse werden zur Anzeige auf zwei Nachkommastellen gerundet; Einträge mit vielen Dezimalstellen können daher leicht gerundet erscheinen. Wenn Sie ein exaktes Ergebnis benötigen, verwenden Sie exakte Eingaben (ganze Zahlen oder einfache Brüche).
Sehr große Skalare oder Einträge können sehr große Ergebnisse liefern; der Rechner arbeitet mit Gleitkommazahlen, sodass bei extremen Werten Genauigkeit verloren gehen kann.
Achten Sie auf den Unterschied zwischen \(kA\) (Skalarmultiplikation) und \(k \cdot I\) (eine Zahl mal die Einheitsmatrix). Das ist nicht dasselbe: \(kI\) hat \(k\) auf der Diagonalen und sonst überall Nullen.
Wenn Sie eine Matrix im Rahmen der Lösung eines linearen Gleichungssystems skalieren, muss jede Zeilenoperation auf die gesamte erweiterte Matrix angewendet werden — der Rechner zum Eliminationsverfahren zeigt diesen Ablauf, und mit dem Magisches-Quadrat-Generator können Sie Muster in quadratischen Rastern erkunden.

Häufig gestellte Fragen

Wie multipliziere ich eine Matrix von Hand mit einem Skalar?

Multiplizieren Sie jeden einzelnen Eintrag der Matrix mit dem Skalar und notieren Sie die Produkte an denselben Positionen. Ist beispielsweise k = 4 und die erste Zeile der Matrix \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}\), dann lautet die erste Zeile von \(kA\): \(\begin{bmatrix} 8 & -4 \end{bmatrix}\). Wiederholen Sie das für alle Einträge — es gibt keine Zeile-mit-Spalte-Kombination wie bei der Matrixmultiplikation, sondern nur einfaches elementweises Rechnen.

Was ist der Unterschied zwischen Skalarmultiplikation und Matrixmultiplikation?

Bei der Skalarmultiplikation wird eine Matrix mit einer einzigen Zahl multipliziert, sodass jeder Eintrag mit derselben Konstanten skaliert wird. Bei der Matrixmultiplikation werden zwei Matrizen miteinander über Zeile-mit-Spalte-Skalarprodukte multipliziert; sie ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten ist. Die beiden Operationen folgen unterschiedlichen Regeln — so hat \(kA\) immer dieselben Dimensionen wie \(A\), während \(AB\) andere Dimensionen haben kann.

Wird die Determinante ebenfalls mit dem Skalar multipliziert?

Nicht mit dem Skalar selbst — für eine \(n \times n\)-Matrix gilt \(\det(kA) = k^n \det(A)\). Verdoppelt man also jeden Eintrag einer 2 × 2-Matrix, wird ihre Determinante mit \(2^2 = 4\) multipliziert, nicht mit 2. Das ist ein sehr häufiger Fehler in Prüfungen. Die Spur skaliert dagegen einfach: \(\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}(A)\).

Darf der Skalar negativ, null oder ein Bruch sein?

Ja, der Skalar darf jede reelle Zahl sein. Ein negativer Skalar kehrt das Vorzeichen jedes Eintrags um: \(-2A\) verdoppelt jeden Eintrag und kehrt sein Vorzeichen um. Bei \(k = 0\) wird jeder Eintrag zu 0, das Ergebnis ist die Nullmatrix. Ein Bruch wie \(k = 0{,}5\) halbiert jeden Eintrag — das wird oft genutzt, um Matrizen zu mitteln oder zu normalisieren.

Ist die Skalarmultiplikation kommutativ — gilt kA = Ak?

Solange k ein Skalar (eine gewöhnliche Zahl) ist, gilt: \(kA = Ak\), und beide bezeichnen die Matrix, in der jeder Eintrag mit \(k\) multipliziert ist. Ist \(k\) jedoch selbst eine Matrix, sind \(kA\) und \(Ak\) Matrixprodukte, und die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ — meist gilt \(AB \neq BA\). Aus dem Kontext ergibt sich, ob \(k\) eine Zahl oder eine Matrix ist.

Wie hängt die Skalarmultiplikation mit der Matrixaddition zusammen?

Beide verbindet das Distributivgesetz: \(k(A + B) = kA + kB\). Sie können die Matrizen entweder erst addieren und dann skalieren oder jede einzeln skalieren und dann addieren — das Ergebnis ist identisch. Das gilt eintragweise, weil \(k(a_{ij} + b_{ij}) = k\,a_{ij} + k\,b_{ij}\) schlicht die gewöhnliche Distributivität von Zahlen ist. Auf dieser Regel beruhen Linearkombinationen wie \(2A + 3B\).

Warum hat das Ergebnis nur zwei Nachkommastellen?