Калькулятор внутренних углов многоугольника

Обновлено: 15 октября, 2026

Укажите число сторон, чтобы найти сумму внутренних углов любого многоугольника. Для правильного многоугольника калькулятор также покажет каждый внутренний и внешний угол — с пошаговым решением.

Сумма внутренних углов многоугольника

Формула внутренних углов многоугольника

Формула

\[ \Sigma\alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ \qquad \alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \qquad \beta = \frac{360^\circ}{n} \]

Где:

\(n\) — число сторон многоугольника (\(n \ge 3\));
\(\Sigma\alpha\) — сумма всех внутренних углов (в градусах);
\(\alpha\) — каждый внутренний угол правильного многоугольника (в градусах);
\(\beta\) — каждый внешний угол правильного многоугольника (в градусах).

Первая формула даёт сумму всех внутренних углов любого многоугольника — правильного или неправильного — и зависит только от числа сторон. Две другие относятся к правильным многоугольникам, где все углы равны, поэтому общая сумма просто делится поровну между \(n\) углами.

Внутренние углы многоугольника — пример расчёта

Пример: правильный шестиугольник (значение по умолчанию в калькуляторе) — у него \(n = 6\) равных сторон и равные углы.

\[ \Sigma\alpha = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]

\[ \alpha = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \]

\[ \beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]

Результат: внутренние углы шестиугольника в сумме дают 720°; каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, а каждый внешний — 60°. Обратите внимание: \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\) — так же, как и у любой другой пары «внутренний — внешний угол».

Как пользоваться калькулятором

Введите число сторон (n) — любое целое число от 3 и больше, например 6 для шестиугольника.
Оставьте галочку «Правильный многоугольник», если все стороны и все углы равны; снимите её для неправильного многоугольника.
Посмотрите сумму внутренних углов в градусах — она верна для любого многоугольника с таким числом сторон.
Когда пункт «Правильный многоугольник» отмечен, вы также увидите каждый внутренний угол и каждый внешний угол.
Загляните в шаги вычисления: там расписана вся арифметика, а для многоугольников с числом сторон до 12 — и его название.

Что такое внутренние углы многоугольника?

Внутренний угол — это угол, который образуется внутри многоугольника при вершине между двумя сходящимися в ней сторонами. У всякого многоугольника с \(n\) сторонами ровно \(n\) внутренних углов: у треугольника их 3, у шестиугольника — 6 и так далее.

Главное здесь то, что сумма этих углов зависит только от числа сторон, а не от формы многоугольника. Углы треугольника всегда дают в сумме 180° — будь он вытянутой «щепкой» или идеально равносторонним. Каждая новая сторона добавляет к сумме ещё 180°: 180° у треугольника, 360° у четырёхугольника, 540° у пятиугольника, 720° у шестиугольника. Именно это и выражает формула \((n - 2) \cdot 180^\circ\): многоугольник можно разбить на \(n - 2\) треугольников, каждый из которых «приносит» в сумму свои 180°.

У неправильного многоугольника фиксирована только сумма; отдельные углы могут быть любыми, лишь бы в сумме давать её. У правильного многоугольника — с равными сторонами и равными углами — каждый угол равен сумме, делённой на \(n\), а каждый внешний угол равен \(360^\circ / n\), потому что внешние углы вместе должны составить полный оборот вокруг многоугольника.

Этот результат пригождается в геометрических задачах, при раскладке плитки и узоров, в строительстве. Например, из того, что внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, сразу понятно, почему три шестиугольника идеально сходятся в одной точке (3 × 120° = 360°) — на этом и строится сотовый узор.

Допущения, ограничения и полезные советы

Выпуклые многоугольники: формулы рассчитаны на простой многоугольник. Для вогнутых (невыпуклых) формула суммы остаётся верной, но один или несколько внутренних углов превышают 180°.
Самопересекающиеся многоугольники (например, пентаграмма, начерченная одной непрерывной линией) этим формулам не подчиняются.
Только целые числа: у многоугольника не может быть дробного числа сторон, поэтому калькулятор принимает целое число, не меньшее 3.
Внешние углы: показанный внешний угол относится к правильному многоугольнику. У любого выпуклого многоугольника внешние углы по-прежнему дают в сумме 360°, но по отдельности они различаются, если многоугольник неправильный.
Большие значения: с ростом \(n\) каждый внутренний угол правильного многоугольника приближается к 180°, а каждый внешний — к 0°: правильный многоугольник со множеством сторон почти неотличим от окружности.

Полезный смежный факт: число диагоналей \(n\)-угольника равно \(\frac{n(n-3)}{2}\) — по сути это выбор 2 вершин из \(n\); подобные подсчёты можно освоить с нашим калькулятором биномиальных коэффициентов. А если вам нравятся инструменты с числовыми закономерностями, попробуйте ещё и генератор магических квадратов.

Часто задаваемые вопросы

Как посчитать сумму внутренних углов без калькулятора?

Возьмите число сторон, вычтите 2 и умножьте на 180°. Для восьмиугольника: \((8 - 2) \cdot 180° = 1080°\). Приём работает потому, что любой многоугольник с \(n\) сторонами можно разрезать на \(n - 2\) треугольника, проведя отрезки из одной вершины, а каждый треугольник добавляет 180°. Для правильного многоугольника разделите сумму на \(n\), чтобы получить каждый угол: \(1080° / 8 = 135°\).

Чему равен каждый угол правильного многоугольника в радианах?

Формулы переводятся легко: замените 180° на \(\pi\), а 360° — на \(2\pi\). Сумма станет \((n - 2)\pi\) радиан, каждый внутренний угол правильного многоугольника — \(\frac{(n-2)\pi}{n}\), а каждый внешний — \(\frac{2\pi}{n}\). Чтобы перевести любой результат вручную, умножьте градусы на \(\pi / 180\). Например, 120° — это \(2\pi/3 \approx 2.094\) радиан.

Как найти неизвестный внутренний угол неправильного многоугольника?

Сначала вычислите фиксированную сумму по числу сторон: \((n - 2) \cdot 180°\). Затем вычтите из неё все известные углы — остаток и будет искомым углом. Например, если у четырёхугольника углы равны 90°, 85° и 100°, четвёртый угол равен \(360° - 275° = 85°\). Это работает и для выпуклых, и для вогнутых многоугольников — в последних неизвестный угол может превышать 180°, то есть быть рефлексным.

Может ли внутренний угол быть больше 180°?

Да, в вогнутом многоугольнике. В вершине «вмятины» внутренний угол рефлексный — больше 180°, но меньше 360°. Важно, что формула суммы при этом остаётся верной: углы вогнутого четырёхугольника по-прежнему дают в сумме 360°, просто не все они меньше 180°. Формула не работает лишь для самопересекающихся фигур, например пентаграммы, начерченной одной непрерывной линией, — там действуют другие правила.

Почему внешние углы любого многоугольника дают в сумме 360°?

Обойдите многоугольник один раз по периметру — и вы снова окажетесь лицом в исходном направлении, а значит, суммарно повернулись на 360°. Каждый поворот равен внешнему углу в соответствующей вершине, поэтому внешние углы — равные или нет — обязаны в сумме давать 360° для любого выпуклого многоугольника. У правильного многоугольника все повороты одинаковы, поэтому каждый внешний угол просто равен \(360° / n\), и со своим внутренним углом он всегда составляет пару в 180°.

Какая ошибка чаще всего встречается в задачах про внутренние углы?

Самые частые ошибки: использовать \(n - 1\) или \(n\) вместо \(n - 2\) в формуле суммы; делить сумму не на то число при поиске отдельного угла; применять формулу правильного многоугольника \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) к неправильному, у которого углы различаются. И ещё: у многоугольника не может быть меньше 3 сторон — двусторонних многоугольников не существует.

Сколько сторон у многоугольника, если известен только внутренний угол?

Для правильного многоугольника приравняйте внутренний угол к \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) и решите уравнение: \(n = \frac{180°}{180° - \alpha}\). Например, внутренний угол 150° даёт \(n = 180/30 = 12\) — это двенадцатиугольник. Быстрая проверка на здравый смысл: внутренний угол правильного многоугольника обязан быть строго между 60° (треугольник) и 180°, а \(n\) должно получиться целым числом.