Калькулятор прямоугольного треугольника
Решите прямоугольный треугольник по двум известным величинам, одна из которых — обязательно сторона. Введите длины сторон, острый угол, площадь или периметр, чтобы найти остальные элементы.
Решение прямоугольного треугольника по двум значениям
Формулы прямоугольного треугольника
Обозначения:
- \(a\) и \(b\) — катеты, лежащие соответственно против углов \(\alpha\) и \(\beta\)
- \(c\) — гипотенуза, сторона напротив прямого угла
- \(A\) — площадь; \(P\) — периметр
- \(h\) — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе
- \(r\) — радиус вписанной окружности; \(R\) — радиус описанной окружности
Стороны и острые углы находятся по теореме Пифагора и с помощью тригонометрии. Когда треугольник решён, по его сторонам легко определить также площадь, периметр, высоту и радиусы окружностей.
Прямоугольный треугольник — пример расчёта
Пример: значения по умолчанию — катет a = 3 и катет b = 4. Найдём остальные величины.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Итак: стороны равны 3, 4 и 5 единиц; острые углы — примерно 36,8699° и 53,1301°. Площадь равна 6 квадратным единицам, периметр — 12 единицам.
Как пользоваться калькулятором
- Введите две известные величины, среди которых хотя бы одна сторона. Поля для сторон: Катет a, Катет b и Гипотенуза c. Катет a лежит против угла α, катет b — против угла β.
- Для расчёта по стороне и углу введите сторону и укажите Угол α или Угол β в градусах. Также можно сочетать сторону с Площадью или Периметром. Все длины вводите в одних и тех же единицах, а площадь — в соответствующих квадратных единицах.
- Если значения по умолчанию в полях Катет a и Катет b не входят в ваши исходные данные, очистите их. Поля, которые не нужны, оставьте пустыми.
- Результаты смотрите в блоке Решённый треугольник: стороны, углы в градусах и радианах, площадь, периметр, высота к гипотенузе, радиусы вписанной и описанной окружностей. Блок Использованные данные показывает, какие именно величины определили результат.
Что показывает решённый треугольник
У прямоугольного треугольника один угол равен 90°. В этой вершине сходятся два катета, а напротив лежит гипотенуза. Острые углы α и β в сумме дают 90°. Двух подходящих величин, из которых хотя бы одна — сторона, обычно достаточно, чтобы определить и форму, и размеры треугольника. Двух углов хватает лишь на форму: длины сторон они не задают.
Если известны оба катета, гипотенуза находится из соотношения \(a^2+b^2=c^2\). Если известен катет и острый угол, другие стороны определяются через тригонометрические соотношения: например, \(\tan\alpha=a/b\) и \(\sin\alpha=a/c\). Отдельные расчёты по этим связям можно выполнить в калькуляторе теоремы Пифагора или калькуляторе тригонометрии.
Площадь равна половине произведения катетов, так как они перпендикулярны друг другу и играют роль основания и высоты. Показанная в результате Высота к гипотенузе — другая высота: она проведена из вершины прямого угла к гипотенузе. Радиус вписанной окружности — это радиус окружности, касающейся всех трёх сторон; радиус описанной окружности — окружности, проходящей через все три вершины. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности всегда равен половине гипотенузы. Если площадь треугольника нужно найти по другому набору данных, воспользуйтесь калькулятором площади треугольника.
Правила ввода и практические ограничения
Вводите положительные конечные величины. Каждый острый угол должен быть больше 0° и меньше 90°, а гипотенуза — длиннее любого из известных катетов. Сторона, заданная вместе с площадью или периметром, должна соответствовать реально существующему прямоугольному треугольнику; если это не так, калькулятор сообщит об ошибке.
Калькулятор использует только два введённых значения. Стороны он берёт в порядке: Катет a, Катет b, Гипотенуза c. Если введена лишь одна сторона, она сочетается с первой доступной величиной в таком порядке: Угол α, Угол β, Площадь, Периметр. Остальные поля игнорируются, а не проверяются на согласованность, поэтому очищайте ненужные поля и сверяйтесь с блоком Использованные данные.
Гипотенуза в паре с площадью или периметром может допускать две разметки одной и той же фигуры: если поменять местами катеты a и b, поменяются местами и углы α и β. В результатах и на чертеже показан вариант, где \(a\leq b\); примечание под блоком Использованные данные указывает, когда возможен и переставленный вариант. Чертёж строится в масштабе, чтобы показать пропорции, а не служит измеримым изображением в размере экрана.
Часто задаваемые вопросы
Как найти неизвестный катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеките квадратный корень. Например, при гипотенузе 13 и катете 5 неизвестный катет равен \(\sqrt{13^2-5^2}=12\). Если известный катет не короче гипотенузы, такой прямоугольный треугольник существовать не может.
Как решить прямоугольный треугольник вручную по стороне и углу?
Выберите тригонометрическое соотношение в зависимости от того, где известная сторона расположена относительно угла. Например, если гипотенуза равна 10, а острый угол — 30°, противолежащий катет равен \(10\sin 30^\circ=5\), а прилежащий — \(10\cos 30^\circ\approx8.66\). Если угол задан в градусах, не забудьте переключить калькулятор в градусный режим.
Как проверить, образуют ли три измеренные стороны прямоугольный треугольник?
Найдите самую длинную сторону и сравните её квадрат с суммой квадратов двух других. Длины 6, 8 и 10 подходят, поскольку \(6^2+8^2=10^2\). Реальные измерения могут немного отличаться из-за округления или погрешности, поэтому приближённое совпадение не гарантирует точный прямой угол.
Что особенного в прямоугольном треугольнике с углами 45-45-90?
Его катеты равны, поэтому каждый острый угол равен 45°, а гипотенуза длиннее катета в \(\sqrt{2}\) раз. При катетах длиной 7 гипотенуза равна \(7\sqrt{2}\approx9.90\). Это ещё и прямоугольный треугольник с максимально возможной площадью при заданной гипотенузе; если один катет сделать длиннее другого, площадь уменьшится.
Можно ли одну сторону указать в сантиметрах, а другую — в метрах?
Перед расчётом приведите все длины к одной единице. Например, 50 см и 1 м нужно ввести как 50 см и 100 см либо как 0,5 м и 1 м. Площадь выражается в квадрате той же единицы: \(10{,}000\text{ см}^2=1\text{ м}^2\). Углы вводятся в градусах; чтобы перевести радианы в градусы, умножьте их на \(180/\pi\).
Почему треугольник с очень малым углом может дать неожиданный результат?
Очень малый острый угол даёт тонкий, вытянутый треугольник, и один катет оказывается крошечным по сравнению с другим. Тогда даже небольшие округления угла или стороны заметно меняют этот малый катет. Используйте максимально точные данные и не округляйте промежуточные вычисления. Угол ровно 0° или 90° не задаёт невырожденный прямоугольный треугольник.
Ограничена ли площадь, если известна только гипотенуза?
Да. При гипотенузе длиной \(c\) площадь не может превышать \(c^2/4\); равенство достигается, когда катеты равны. Например, при гипотенузе 10 площадь составляет не более 25 квадратных единиц. Любая меньшая положительная площадь определяет длины катетов, хотя буквой \(a\) можно обозначить любой из них.