Калькулятор внутрішніх кутів многокутника

Q: Чому дорівнює кожен кут правильного многокутника в радіанах?

Формули переводяться легко: замініть 180° на π, а 360° — на 2π. Сума стає (n - 2)π радіанів, кожен внутрішній кут правильного многокутника дорівнює ((n-2)π)/n, а кожен зовнішній — 2π/n. Щоб перевести будь-який результат вручну, помножте градуси на π / 180. Наприклад, 120° дорівнює 2π/3 ≈ 2,094 радіана.

Q: Як знайти невідомий внутрішній кут неправильного многокутника?

Спочатку обчисліть фіксовану суму за кількістю сторін: (n - 2) · 180°. Потім відніміть від неї всі відомі кути — решта і буде шуканим кутом. Наприклад, якщо у чотирикутника кути 90°, 85° і 100°, то четвертий кут дорівнює 360° - 275° = 85°. Це працює для опуклих многокутників і для неопуклих, де невідомий кут може перевищувати 180° (опуклий angle, reflex angle — рефлексний кут).

Q: Яка найпоширеніша помилка в задачах на внутрішні кути?

Найчастіші помилки: використання n - 1 або n замість n - 2 у формулі суми; ділення суми на неправильне число при пошуку окремого кута; і застосування формули правильного многокутника ((n-2) · 180°)/n до неправильного, де окремі кути різні. Також пам’ятайте, що многокутник має щонайменше 3 сторони — двосторонніх многокутників не існує.

Q: Скільки сторін у многокутника, якщо відомий лише внутрішній кут?

Для правильного многокутника прирівняйте внутрішній кут до ((n-2) · 180°)/n і розв’яжіть рівняння: n = (180°)/(180° - α). Наприклад, внутрішній кут 150° дає n = 180/30 = 12 — дванадцятикутник. Швидка перевірка на коректність: внутрішній кут правильного многокутника мусить бути строго між 60° (трикутник) і 180°, а n має вийти цілим числом.

Оновлено: 15.10.2026

Вкажіть кількість сторін, щоб знайти суму внутрішніх кутів будь-якого многокутника. Для правильного многокутника ви також отримаєте кожен внутрішній і кожен зовнішній кут — з покроковим розв’язанням.

Обчисліть суму внутрішніх кутів многокутника

Формула внутрішніх кутів многокутника

Формула

\[ \Sigma\alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ \qquad \alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \qquad \beta = \frac{360^\circ}{n} \]

Де:

\(n\) — кількість сторін многокутника (\(n \ge 3\))
\(\Sigma\alpha\) — сума всіх внутрішніх кутів (у градусах)
\(\alpha\) — кожен внутрішній кут правильного многокутника (у градусах)
\(\beta\) — кожен зовнішній кут правильного многокутника (у градусах)

Перша формула дає суму всіх внутрішніх кутів для будь-якого многокутника — правильного чи неправильного — і залежить лише від кількості сторін. Дві інші стосуються правильних многокутників, у яких усі кути рівні, тому суму просто порівну ділять між \(n\) кутами.

Внутрішні кути многокутника — приклад обчислення

Приклад: правильний шестикутник (стандартне значення в калькуляторі) — у нього \(n = 6\) рівних сторін і рівні кути.

\[ \Sigma\alpha = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]

\[ \alpha = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \]

\[ \beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]

Результат: внутрішні кути шестикутника в сумі дають 720°; кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120°, а кожен зовнішній — 60°. Зверніть увагу: \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\), як і завжди для пари «внутрішній–зовнішній кут».

Як користуватися калькулятором

Введіть кількість сторін (n) — будь-яке ціле число від 3 і більше, наприклад 6 для шестикутника.
Залиште позначеною опцію Правильний многокутник, якщо всі сторони й усі кути рівні; зніміть позначку для неправильного многокутника.
Зчитайте суму внутрішніх кутів у градусах — вона однакова для кожного многокутника з такою кількістю сторін.
Коли позначено «Правильний многокутник», ви також отримаєте кожен внутрішній кут і кожен зовнішній кут.
Перегляньте кроки обчислення: у них розписано всю арифметику, а для многокутників з 12 сторонами чи менше вказано ще й назву фігури.

Що таке внутрішні кути многокутника?

Внутрішній кут — це кут, утворений усередині многокутника в його вершині між двома сторонами, що в ній сходяться. У кожного многокутника з \(n\) сторонами рівно \(n\) внутрішніх кутів: у трикутника їх 3, у шестикутника — 6 і так далі.

Головний факт у тому, що сума цих кутів залежить лише від кількості сторін, а не від форми многокутника. Кути трикутника завжди дають у сумі 180° — чи це витягнута «скалка», чи ідеальний рівносторонній трикутник. Кожна додаткова сторона додає до суми ще 180°: 180° у трикутника, 360° у чотирикутника, 540° у п’ятикутника, 720° у шестикутника. Саме це й зашифровано у формулі \((n - 2) \cdot 180^\circ\): многокутник можна розрізати на \(n - 2\) трикутники, кожен з яких додає 180°.

У неправильного многокутника фіксованою є лише сума; окремі кути можуть бути якими завгодно, аби разом давали цю суму. У правильного многокутника — з рівними сторонами й рівними кутами — кожен кут дорівнює сумі, поділеній на \(n\), а кожен зовнішній кут дорівнює \(360^\circ / n\), адже зовнішні кути разом мусять скласти повний оберт навколо многокутника.

Цей результат застосовують у геометричних домашніх завданнях, у кладці плитки, дизайні та будівництві. Наприклад, знаючи, що кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120°, легко зрозуміти, чому три шестикутники ідеально сходяться навколо однієї точки (3 × 120° = 360°) — на цьому ґрунтується медові стільники в природі.

Припущення, обмеження та поради

Опуклі многокутники: формули передбачають простий многокутник. Для неопуклих (увігнутих) формула суми залишається чинною, але один чи кілька внутрішніх кутів перевищують 180°.
Самоперетинні многокутники (як п’ятикутна зірка, обведена однією лінією) цим формулам не підпорядковані.
Лише цілі числа: многокутник не може мати дробову кількість сторін, тому калькулятор вимагає ціле число не менше 3.
Зовнішні кути: показаний зовнішній кут стосується правильного многокутника. У будь-якого опуклого многокутника зовнішні кути в сумі також дають 360°, але окремі кути різні, якщо многокутник неправильний.
Великі значення: зі зростанням \(n\) кожен внутрішній кут правильного многокутника наближається до 180°, а кожен зовнішній — до 0°: правильний многокутник з багатьма сторонами майже не відрізняється від кола.

Корисний пов’язаний факт: кількість діагоналей \(n\)-кутника дорівнює \(\frac{n(n-3)}{2}\) — це число способів обрати 2 вершини з \(n\). Такі комбінаторні підрахунки можна досліджувати за допомогою нашого калькулятора біноміальних коефіцієнтів. А якщо вам подобаються інструменти з числовими патернами, спробуйте й генератор магічних квадратів.

Часті запитання

Як обчислити суму внутрішніх кутів без калькулятора?

Візьміть кількість сторін, відніміть 2 і помножте на 180°. Для восьмикутника: \((8 - 2) \cdot 180° = 1080°\). Цей прийом працює, бо будь-який многокутник з \(n\) сторонами можна розрізати на \(n - 2\) трикутники, провівши відрізки з однієї вершини, а кожен трикутник додає 180°. Для правильного многокутника поділіть суму на \(n\), щоб отримати кожен окремий кут: \(1080° / 8 = 135°\).

Чому дорівнює кожен кут правильного многокутника в радіанах?

Формули переводяться легко: замініть 180° на \(\pi\), а 360° — на \(2\pi\). Сума стає \((n - 2)\pi\) радіанів, кожен внутрішній кут правильного многокутника дорівнює \(\frac{(n-2)\pi}{n}\), а кожен зовнішній — \(\frac{2\pi}{n}\). Щоб перевести будь-який результат вручну, помножте градуси на \(\pi / 180\). Наприклад, 120° дорівнює \(2\pi/3 \approx 2,094\) радіана.

Як знайти невідомий внутрішній кут неправильного многокутника?

Спочатку обчисліть фіксовану суму за кількістю сторін: \((n - 2) \cdot 180°\). Потім відніміть від неї всі відомі кути — решта і буде шуканим кутом. Наприклад, якщо у чотирикутника кути 90°, 85° і 100°, то четвертий кут дорівнює \(360° - 275° = 85°\). Це працює для опуклих многокутників і для неопуклих, де невідомий кут може перевищувати 180° (опуклий angle, reflex angle — рефлексний кут).

Чи може внутрішній кут бути більшим за 180°?

Так, у неопуклому многокутнику. У вершині «вм’ятини» внутрішній кут є рефлексним — більшим за 180° і меншим за 360°. Важливо, що формула суми при цьому залишається чинною: кути неопуклого чотирикутника все одно дають у сумі 360°, просто не всі вони менші за 180°. Формула не працює лише для самоперетинних фігур, як-от п’ятикутної зірки, обведеної однією лінією, — для них діють інші правила.

Чому зовнішні кути будь-якого многокутника в сумі дають 360°?

Обійдіть многокутник один раз по периметру — і ви знову дивитиметеся в початковому напрямку, тобто загалом повернулися на повні 360°. Кожен поворот дорівнює зовнішньому куту в цій вершині, тому зовнішні кути — рівні чи ні — мусять давати в сумі 360° для будь-якого опуклого многокутника. У правильного многокутника кожен поворот однаковий, тож кожен зовнішній кут просто дорівнює \(360° / n\) і завжди доповнює свій внутрішній кут до 180°.

Яка найпоширеніша помилка в задачах на внутрішні кути?

Найчастіші помилки: використання \(n - 1\) або \(n\) замість \(n - 2\) у формулі суми; ділення суми на неправильне число при пошуку окремого кута; і застосування формули правильного многокутника \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) до неправильного, де окремі кути різні. Також пам’ятайте, що многокутник має щонайменше 3 сторони — двосторонніх многокутників не існує.

Скільки сторін у многокутника, якщо відомий лише внутрішній кут?

Для правильного многокутника прирівняйте внутрішній кут до \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) і розв’яжіть рівняння: \(n = \frac{180°}{180° - \alpha}\). Наприклад, внутрішній кут 150° дає \(n = 180/30 = 12\) — дванадцятикутник. Швидка перевірка на коректність: внутрішній кут правильного многокутника мусить бути строго між 60° (трикутник) і 180°, а \(n\) має вийти цілим числом.