LC-Resonanzfrequenz
Berechnen Sie die Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises aus Induktivität und Kapazität mit der Thomson-Formel. Geben Sie L und C mit der passenden Einheit ein und Sie erhalten Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz.
Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises berechnen
Formel für die LC-Resonanzfrequenz
Dabei bedeuten:
- \(f_0\) — Resonanzfrequenz (Hz)
- \(L\) — Induktivität der Spule (Henry, H)
- \(C\) — Kapazität des Kondensators (Farad, F)
- \(T\) — Periodendauer einer Schwingung (Sekunden)
- \(\omega_0\) — Kreisfrequenz (rad/s)
Dies ist die Thomson-Formel, auch als Schwingkreisformel bekannt. Sie liefert die Eigenfrequenz, mit der ein idealer LC-Schwingkreis schwingt — dabei pendelt die im Kondensator gespeicherte Energie mit der in der Spule gespeicherten Energie hin und her, und die resultierende Blindwirkung beträgt null.
LC-Resonanz – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit 100 µH und einem Kondensator mit 100 pF — die Vorgabewerte des Rechners.
\[ L = 100\,\mu\text{H} = 1\times10^{-4}\ \text{H}, \qquad C = 100\,\text{pF} = 1\times10^{-10}\ \text{F} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(1\times10^{-4})(1\times10^{-10})}} = \frac{1}{2\pi\times10^{-7}} \approx 1.592\times10^{6}\ \text{Hz} \]
\[ T = \frac{1}{f_0} \approx 6.283\times10^{-7}\ \text{s}, \qquad \omega_0 = 2\pi f_0 = 10^{7}\ \text{rad/s} \]
Ergebnis: Der Kreis resoniert bei etwa 1,592 MHz, mit einer Periodendauer von 628,3 ns und einer Kreisfrequenz von 10.000.000 rad/s.
So verwenden Sie den LC-Resonanzrechner
- Geben Sie die Induktivität der Spule im Feld Induktivität (L) ein und wählen Sie im Dropdown die passende Einheit (µH, mH oder H) aus.
- Tragen Sie den Kondensatorwert im Feld Kapazität (C) ein und wählen Sie dessen Einheit (pF, nF, µF oder F).
- Lesen Sie das Ergebnis Resonanzfrequenz ab — es wird automatisch mit dem passenden SI-Präfix angezeigt (Hz, kHz, MHz oder GHz).
- Prüfen Sie bei Bedarf die Ergebnisse Periodendauer und Kreisfrequenz, wenn Sie die Schwingungsdauer oder den Wert von \(\omega_0\) in rad/s benötigen.
Was ist LC-Resonanz?
Ein LC-Kreis besteht aus einer Spule und einem Kondensator, die zusammengeschaltet sind — in Reihe oder parallel. Ist der Kondensator geladen und man überlässt den Kreis sich selbst, fließt der Strom zwischen Spule und Kondensator hin und her: Der Kondensator entlädt sich über die Spule, das Magnetfeld der Spule baut sich auf, bricht anschließend zusammen und lädt den Kondensator mit umgekehrter Polarität wieder auf. Dieser Austausch wiederholt sich mit einer festen Eigenfrequenz — der Resonanzfrequenz —, die ausschließlich von den Werten von L und C abhängt.
In der Resonanz sind der induktive Blindwiderstand \(X_L = 2\pi f L\) und der kapazitive Blindwiderstand \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) betragsmäßig gleich und heben sich gegenseitig auf. Der Scheinwiderstand eines idealen Parallelschwingkreises ist dann rein ohmsch und maximal, bei einem Reihenkreis minimal. Genau deshalb kann ein Schwingkreis eine Frequenz aus vielen auswählen: Bei \(f_0\) reagiert er stark, ansonsten kaum.
Dieses Verhalten ist die Grundlage von Radioabstimmkreisen, Filtern, Oszillatoren und Anpassnetzwerken. Der klassische Tuner eines AM-Radios verwendet beispielsweise genau deshalb einen Drehkondensator, damit man \(f_0\) über das gesamte Rundfunkband schieben und einen Sender herausfiltern kann. In einem Oszillator legt der Schwingkreis die Frequenz des erzeugten Signals fest; in einem Filter bestimmt er die Mitten- oder Eckfrequenz des Durchlassbereichs.
Die Ergebnisse sind leicht zu deuten: \(f_0\) verrät, worauf der Kreis abgestimmt ist, \(T\) zeigt, wie lange ein vollständiger Schwingungsvorgang dauert, und \(\omega_0\) ist die Form, die in der Wechselstromanalyse und bei Differentialgleichungen am häufigsten verwendet wird. Größere Werte von L oder C drücken die Frequenz nach unten; halbiert man einen der beiden Werte, steigt \(f_0\) um den Faktor \(\sqrt{2}\).
Voraussetzungen, Grenzen und praktische Hinweise
- Ideale Bauteile: Die Thomson-Formel vernachlässigt Widerstände und Verluste. Reale Spulen haben Wicklungswiderstand, reale Kondensatoren einen äquivalenten Serienwiderstand (ESR) — beides verschiebt die tatsächliche Resonanz leicht und dämpft die Schwingung.
- Parasitäre Blindwirkungen: Parasitäre Kapazitäten der Spule, Zuleitungsinduktivitäten und Leiterbahneffekte auf der Platine addieren sich zu den Nennwerten von L und C. Das spielt vor allem bei hohen Frequenzen eine Rolle — ein 100-pF-Kondensator mit 2 pF parasitärer Kapazität resoniert etwa 1 % niedriger als berechnet. Die Induktivität eines geraden Leiters können Sie mit dem Rechner Induktivität eines geraden Drahtes abschätzen.
- Selbstresonanz: Jede reale Spule hat zusätzlich eine Eigenresonanzfrequenz, die durch ihre eigene parasitäre Kapazität entsteht. Oberhalb davon verhält sich das Bauteil nicht mehr wie eine Induktivität — halten Sie \(f_0\) also deutlich unter der angegebenen Selbstresonanzfrequenz der Spule.
- Einheiten sind entscheidend: Die häufigste Fehlerquelle ist ein Einheiten-Missverständnis. Prüfen Sie vor der Eingabe immer, ob der Wert in µH oder mH sowie in pF oder nF vorliegt.
- Abstimmung in der Praxis: Reale Schwingkreise arbeiten selten für sich allein. Um einen Resonanzkreis an eine Quelle oder Last anzupassen, wird meist eine T-Anpassschaltung oder eine Pi-Filter-Anpassschaltung um die hier berechneten LC-Werte herum dimensioniert.
- Zusammenschalten von Bauteilen: Werden mehrere Spulen verwendet, hängt die wirksame Induktivität von der Schaltungsart ab — Reiheninduktivitäten addieren sich direkt, bei parallelen Induktivitäten gilt die Kehrwertregel. Geben Sie in diesen Rechner die insgesamt wirksame Induktivität L ein.
Schnellübersicht: Häufige LC-Kombinationen
| Induktivität | Kapazität | Resonanzfrequenz |
|---|---|---|
| 1 µH | 1 pF | 159,2 MHz |
| 10 µH | 100 pF | 5,03 MHz |
| 100 µH | 100 pF | 1,59 MHz |
| 1 mH | 1 µF | 5,03 kHz |
| 10 mH | 100 µF | 159,2 Hz |
Die Tabelle eignet sich zur Plausibilitätsprüfung: Im Hochfrequenzbereich (kHz–GHz) arbeitet man mit kleinen L- und C-Werten, in Audio- und Netzanwendungen mit deutlich größeren.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die LC-Resonanzfrequenz von Hand?
Wandeln Sie zunächst beide Werte in die Grundeinheiten Henry und Farad um. Multiplizieren Sie dann beide Werte, ziehen Sie aus dem Produkt die Quadratwurzel, multiplizieren Sie mit \(2\pi\) und teilen Sie 1 durch das Ergebnis. Beispiel: Mit \(L = 220\ \mu\text{H} = 2.2\times10^{-4}\ \text{H}\) und \(C = 10\ \text{nF} = 10^{-8}\ \text{F}\) ergibt sich \(\sqrt{LC} = 4.69\times10^{-6}\), also \(f_0 \approx 33.9\ \text{kHz}\). Der Rechner führt genau diese Schritte automatisch aus.
Kann ich die benötigte Induktivität oder Kapazität für eine Zielfrequenz berechnen?
Ja. Durch Umstellen der Thomson-Formel erhält man \(LC = \frac{1}{(2\pi f_0)^2}\). Wählen Sie einen praktischen Wert für das eine Bauteil und berechnen Sie das andere. Soll der Kreis beispielsweise bei 7 MHz mit einem 100-pF-Kondensator resonieren, ergibt sich \(L = \frac{1}{(2\pi\cdot 7\times10^6)^2 \cdot 10^{-10}} \approx 5.2\ \mu\text{H}\). Wählen Sie in der Praxis L- und C-Werte, die eine realistische Spulengröße ergeben und als tatsächlich erhältliches Bauteil verfügbar sind.
Spielt es eine Rolle, ob Spule und Kondensator in Reihe oder parallel geschaltet sind?
Im idealen Fall nein — beide Schaltungen resonieren mit denselben Werten für L und C bei derselben Frequenz \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\). Der Unterschied liegt im Verhalten in der Resonanz: Ein Reihenschwingkreis hat minimalen Scheinwiderstand (praktisch ein Kurzschluss bei \(f_0\)), ein Parallelschwingkreis maximalen (praktisch eine Unterbrechung). Reale Bauteile mit parasitären Widerständen verschieben die Reihen- und Parallelresonanz geringfügig auseinander, bei geringen Verlusten ist der Unterschied aber winzig.
Warum weicht meine gemessene Resonanz vom berechneten Wert ab?
Die Thomson-Formel geht von idealen, verlustfreien Bauteilen aus. Reale Spulen haben Wicklungswiderstand und Eigenkapazität, Kondensatoren einen ESR, und die Verdrahtung fügt parasitäre Induktivitäten und Kapazitäten hinzu — all das verschiebt die tatsächliche Resonanz leicht nach oben oder unten. Die Dämpfung durch Widerstände senkt die Frequenz zusätzlich etwa um den Faktor \(\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}\). Wenn es auf Genauigkeit ankommt, messen Sie mit einem Dipmeter, VNA oder Grid-Dip-Oszillator und gleichen Sie Feinabstimmungen mit einer Trimmkapazität aus.
Mit welchen Resonanzfrequenzen arbeiten typische Schaltungen?
Einige Anhaltspunkte: Der AM-Rundfunkbereich umfasst 530–1700 kHz; die klassische AM-Zwischenfrequenz liegt bei 455 kHz; die FM-Zwischenfrequenz bei 10,7 MHz; der 27-MHz-CB-Band und 13,56-MHz-RFID bewegen sich in diesem Bereich; WLAN und ähnliche Funkanwendungen arbeiten um 2,4 GHz. Liegt Ihr Ergebnis für ein Funkprojekt weit außerhalb des MHz-Bereichs, prüfen Sie die Einheiten — eine Verwechslung von µH/mH oder pF/nF verschiebt das Ergebnis um den Faktor 1000.
Beeinflussen Versorgungsspannung oder Ladung die Resonanzfrequenz?
Nein — in einem idealen LC-Kreis hängt die Frequenz nur von L und C ab, nicht von der gespeicherten Energie. Eine höhere anfängliche Kondensatorspannung erzeugt eine größere Schwingungsamplitude, aber dieselbe \(f_0\). Genau diese Unabhängigkeit macht LC-Schwingkreise zu stabilen Oszillatoren und Abstimmkreisen. Die wichtigste reale Ausnahme sind Bauteile, deren Wert sich mit Spannung oder Strom ändert, etwa Kapazitätsdioden (die gezielt zur elektronischen Abstimmung eingesetzt werden) oder Spulen mit sättigbaren Kernen.
Was ist der häufigste Fehler bei der Nutzung dieses Rechners?
Mit Abstand Einheitenverwechslungen. Der Klassiker: Man gibt Mikrohenry ein, während im Dropdown mH steht, oder Picofarad, während dort nF steht — in beiden Fällen weicht das Ergebnis um den Faktor 1000 ab. Achten Sie zudem darauf, die gesamte wirksame Induktivität und Kapazität einzugeben: Reihenspulen addieren sich, parallele Kondensatoren ebenfalls, und die parasitäre Platinenkapazität (oft 2–10 pF) sollten Sie bei Hochfrequenzanwendungen mit kleinen Kondensatorwerten mitberücksichtigen.