Fréquence de résonance d'un circuit LC
Calculez la fréquence de résonance d'un circuit LC (circuit bouchon) à partir de son inductance et de sa capacité grâce à la formule de Thomson. Saisissez L et C avec leurs unités pour obtenir la fréquence, la période et la pulsation.
Calculer la fréquence de résonance d'un circuit LC
Formule de la fréquence de résonance LC
Où :
- \(f_0\) — fréquence de résonance (Hz)
- \(L\) — inductance de la bobine (henrys, H)
- \(C\) — capacité du condensateur (farads, F)
- \(T\) — période d'une oscillation (secondes)
- \(\omega_0\) — pulsation (rad/s)
C'est la formule de Thomson, aussi appelée formule du circuit bouchon. Elle donne la fréquence propre à laquelle oscille un circuit LC idéal, celle où l'énergie stockée dans le condensateur et celle stockée dans la bobine s'échangent en permanence, avec une réactance résultante nulle.
Résonance LC – Exemple de calcul
Exemple : un circuit bouchon utilise une bobine de 100 µH et un condensateur de 100 pF, les valeurs par défaut du calculateur.
\[ L = 100\,\mu\text{H} = 1\times10^{-4}\ \text{H}, \qquad C = 100\,\text{pF} = 1\times10^{-10}\ \text{F} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(1\times10^{-4})(1\times10^{-10})}} = \frac{1}{2\pi\times10^{-7}} \approx 1.592\times10^{6}\ \text{Hz} \]
\[ T = \frac{1}{f_0} \approx 6.283\times10^{-7}\ \text{s}, \qquad \omega_0 = 2\pi f_0 = 10^{7}\ \text{rad/s} \]
Résultat : le circuit résonne à environ 1,592 MHz, avec une période de 628,3 ns et une pulsation de 10 000 000 rad/s.
Comment utiliser le calculateur de résonance LC
- Saisissez l'inductance de la bobine dans le champ Inductance (L) et choisissez l'unité correspondante (µH, mH ou H) dans la liste déroulante.
- Saisissez la valeur du condensateur dans le champ Capacité (C) et choisissez son unité (pF, nF, µF ou F).
- Lisez le résultat Fréquence de résonance, affiché avec un préfixe SI sélectionné automatiquement (Hz, kHz, MHz ou GHz).
- Consultez les résultats Période et Pulsation si vous avez besoin de la durée d'une oscillation ou de la valeur de \(\omega_0\) en rad/s.
Qu'est-ce que la résonance LC ?
Un circuit LC associe une bobine et un condensateur reliés l'un à l'autre, en série ou en parallèle. Lorsque le condensateur est chargé et qu'on laisse le circuit à lui-même, le courant fait des allers-retours entre la bobine et le condensateur : le condensateur se décharge dans la bobine, le champ magnétique de celle-ci se constitue, puis s'effondre et recharge le condensateur avec une polarité inverse. Cet échange se répète à une fréquence propre fixe — la fréquence de résonance — qui ne dépend que des valeurs de L et de C.
À la résonance, la réactance inductive \(X_L = 2\pi f L\) et la réactance capacitive \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) sont égales en module et se compensent. L'impédance d'un circuit bouchon parallèle idéal devient alors purement résistive et maximale, tandis que dans un circuit série elle est minimale. C'est ce qui permet à un circuit accordé de sélectionner une fréquence parmi beaucoup d'autres : il répond fortement à \(f_0\) et presque pas ailleurs.
Ce comportement est le principe de fonctionnement des accordeurs radio, des filtres, des oscillateurs et des réseaux d'adaptation d'impédance. L'accordeur AM classique utilise par exemple un condensateur variable justement pour balayer \(f_0\) sur toute la bande de diffusion et isoler une station. Dans un oscillateur, le circuit bouchon fixe la fréquence du signal généré ; dans un filtre, il marque la fréquence centrale ou de coupure de la bande passante.
L'interprétation des résultats est simple : \(f_0\) indique la fréquence à laquelle le circuit s'accorde, \(T\) la durée d'un cycle d'oscillation complet, et \(\omega_0\) la forme la plus courante en analyse des circuits à courant alternatif et en équations différentielles. Augmenter L ou C abaisse la fréquence, et diviser l'un des deux par deux multiplie \(f_0\) par \(\sqrt{2}\).
Hypothèses, limites et conseils pratiques
- Composants idéaux : la formule de Thomson néglige les résistances et les pertes. Les bobines réelles ont une résistance de bobinage et les condensateurs réels une résistance équivalente série, ce qui décale légèrement la résonance réelle et amortit l'oscillation.
- Réactances parasites : la capacité parasite de la bobine, l'inductance des connexions et les effets des pistes du circuit imprimé s'ajoutent aux valeurs nominales de L et de C. C'est surtout sensible à haute fréquence — par exemple, un condensateur de 100 pF accompagné de 2 pF de capacité parasite résonne environ 1 % plus bas que le calcul. Pour estimer l'inductance apportée par un conducteur droit, consultez le calculateur d'inductance d'un fil droit.
- Auto-résonance : toute bobine réelle possède aussi une fréquence d'auto-résonance, fixée par sa propre capacité parasite. Au-delà, le composant cesse de se comporter comme une inductance : gardez \(f_0\) bien en dessous de l'auto-résonance annoncée de la bobine.
- Les unités comptent : la principale source d'erreur est une incohérence d'unités. Vérifiez toujours, avant de saisir une valeur, si elle est en µH ou en mH, en pF ou en nF.
- Accord en pratique : les circuits bouchons réels sont rarement utilisés isolément. Pour adapter un circuit résonant à une source ou à une charge, on construit généralement autour des valeurs L et C calculées ici un réseau en T ou un réseau en PI d'adaptation d'impédance.
- Association de composants : si plusieurs bobines sont utilisées, leur inductance équivalente dépend du montage — les inductances en série s'additionnent directement, tandis que les inductances en parallèle suivent la règle des inverses. Saisissez l'inductance équivalente totale dans ce calculateur.
Aide-mémoire : combinaisons LC courantes
| Inductance | Capacité | Fréquence de résonance |
|---|---|---|
| 1 µH | 1 pF | 159,2 MHz |
| 10 µH | 100 pF | 5,03 MHz |
| 100 µH | 100 pF | 1,59 MHz |
| 1 mH | 1 µF | 5,03 kHz |
| 10 mH | 100 µF | 159,2 Hz |
Utilisez ce tableau comme vérification rapide : les applications radiofréquence (kHz–GHz) font appel à de petites valeurs de L et de C, tandis que les applications audio et de puissance en exigent de bien plus grandes.
Questions fréquentes
Comment calculer la fréquence de résonance d'un circuit LC à la main ?
Convertissez d'abord les deux valeurs en unités de base : henrys et farads. Multipliez-les ensuite entre elles, prenez la racine carrée du produit, multipliez par \(2\pi\), puis divisez 1 par le résultat. Par exemple, avec \(L = 220\ \mu\text{H} = 2.2\times10^{-4}\ \text{H}\) et \(C = 10\ \text{nF} = 10^{-8}\ \text{F}\), on obtient \(\sqrt{LC} = 4.69\times10^{-6}\), donc \(f_0 \approx 33.9\ \text{kHz}\). Le calculateur automatise exactement ces étapes.
Peut-on trouver la valeur de L ou de C nécessaire pour une fréquence donnée ?
Oui. En réarrangeant la formule de Thomson, on obtient \(LC = \frac{1}{(2\pi f_0)^2}\). Choisissez une valeur pratique pour l'un des composants et déduisez l'autre. Par exemple, pour résonner à 7 MHz avec un condensateur de 100 pF : \(L = \frac{1}{(2\pi\cdot 7\times10^6)^2 \cdot 10^{-10}} \approx 5.2\ \mu\text{H}\). En pratique, choisissez des valeurs de L et de C qui donnent une taille de bobine réaliste et un composant que vous pouvez réellement acheter.
La bobine et le condensateur doivent-ils être montés en série ou en parallèle ?
Dans le cas idéal, peu importe : les deux montages résonnent à la même \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) avec les mêmes L et C. La différence se situe dans le comportement à la résonance : un circuit LC série présente une impédance minimale (un court-circuit à \(f_0\)), tandis qu'un circuit bouchon parallèle présente une impédance maximale (un circuit ouvert). Les composants réels et leurs résistances parasites écartent légèrement les résonances série et parallèle, mais la différence est infime quand les pertes sont faibles.
Pourquoi ma fréquence de résonance mesurée diffère-t-elle de la valeur calculée ?
La formule de Thomson suppose des composants idéaux et sans pertes. Les bobines réelles ont une résistance de bobinage et une capacité propre, les condensateurs une résistance équivalente série (ESR), et le câblage ajoute inductance et capacité parasites — autant de facteurs qui tirent la résonance réelle légèrement vers le bas ou le haut. L'amortissement dû à la résistance abaisse aussi la fréquence d'un facteur d'environ \(\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}\). Si la précision compte, mesurez avec un dip-mètre, un analyseur de réseau vectoriel ou un ondemètre à absorption, et ajoutez une capacité d'ajustement pour l'accord fin.
Quelles fréquences de résonance utilise-t-on couramment ?
Quelques repères typiques : l'accord de la bande AM couvre 530–1700 kHz ; la fréquence intermédiaire AM classique est de 455 kHz ; celle de la FM est de 10,7 MHz ; la bande CB de 27 MHz et le RFID à 13,56 MHz utilisent des valeurs dans cette plage ; le Wi-Fi et les liaisons radio similaires fonctionnent autour de 2,4 GHz. Si votre résultat sort largement de la plage des mégahertz pour un projet radio, vérifiez les unités : une confusion µH/mH ou pF/nF décale la réponse d'un facteur 1000.
La tension d'alimentation ou la charge influence-t-elle la fréquence de résonance ?
Non — dans un circuit LC idéal, la fréquence ne dépend que de L et de C, pas de la quantité d'énergie stockée. Une tension initiale du condensateur plus élevée produit une amplitude d'oscillation plus grande, mais la même \(f_0\). C'est précisément cette indépendance qui fait des circuits bouchons d'excellents oscillateurs et accordeurs stables. La principale exception dans le monde réel, ce sont les composants dont la valeur varie avec la tension ou le courant, comme les diodes varicap (utilisées à dessein pour l'accord électronique) ou les bobines à noyau saturable.
Quelle est l'erreur la plus fréquente avec ce calculateur ?
Les confusions d'unités, et de loin. L'erreur classique consiste à saisir des microhenrys alors que la liste déroulante affiche mH, ou des picofarads alors qu'elle affiche nF — dans les deux cas, le résultat est faux d'un facteur 1000. Veillez aussi à saisir les valeurs totales effectives de L et de C : les inductances en série s'additionnent, les capacités en parallèle aussi, et la capacité parasite du circuit imprimé (souvent 2 à 10 pF) doit être prise en compte lorsqu'on travaille à haute fréquence avec de petites capacités.