Rechner für partielle Korrelation
Berechnen Sie die partielle Korrelation zwischen zwei Variablen unter Kontrolle einer dritten. Geben Sie drei gepaarte Datenspalten oder drei paarweise Pearson-Korrelationen ein und erhalten Sie den partiellen Korrelationskoeffizienten inklusive Interpretation.
Zusammenhang zweier Variablen unter Kontrolle einer dritten Variable ermitteln
Formel der partiellen Korrelation
Dabei gilt:
- \(r_{XY \cdot Z}\) — partielle Korrelation von X und Y unter Kontrolle von Z
- \(r_{XY}\) — Pearson-Korrelation zwischen X und Y
- \(r_{XZ}\) — Pearson-Korrelation zwischen X und Z
- \(r_{YZ}\) — Pearson-Korrelation zwischen Y und Z
Die Formel entfernt denjenigen Anteil der Beziehung zwischen X und Y, der sich durch die jeweils eigenen linearen Zusammenhänge mit Z erklären lässt. Das Ergebnis liegt wie ein gewöhnlicher Korrelationskoeffizient zwischen −1 und 1.
Partielle Korrelation – Rechenbeispiel
Beispiel: acht Beobachtungen mit X = 1; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4, Y = 3; 3; 5; 9; 4; 8; 10; 10 und einer binären Kontrollvariablen Z = 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1 (die Standardwerte des Rechners).
Berechnen Sie zunächst die drei paarweisen Pearson-Korrelationen:
\[ r_{XY} = 0.7785, \qquad r_{XZ} = 0.0000, \qquad r_{YZ} = 0.5222 \]
Setzen Sie diese anschließend in die Formel für die partielle Korrelation ein:
\[ r_{XY \cdot Z} = \frac{0.7785 - (0)(0.5222)}{\sqrt{(1 - 0^{2})(1 - 0.5222^{2})}} = \frac{0.7785}{0.8528} \approx 0.9129 \]
Ergebnis: Die partielle Korrelation beträgt ungefähr 0,9129. Die Kontrolle von Z verstärkt den Zusammenhang zwischen X und Y von 0,78 auf 0,91, weil Z in diesem Datensatz mit Y zusammenhängt, nicht aber mit X.
So verwenden Sie den Rechner
- Wählen Sie die Eingabemethode: „Drei gepaarte Datenspalten“, wenn Sie Rohmessungen haben, oder „Drei paarweise Korrelationen“, wenn Ihnen die drei Pearson-Koeffizienten bereits vorliegen.
- Bei Rohdaten fügen Sie die Werte in Variable X, Variable Y und Kontrollvariable Z ein. Trennen Sie die Werte durch Leerzeichen, Semikolons oder Zeilenumbrüche; Dezimalkommas sind erlaubt. Halten Sie alle drei Spalten in derselben Reihenfolge der Beobachtungen und gleich lang (4 bis 2.000 Werte).
- Bei Koeffizienten geben Sie Korrelation von X und Y, Korrelation von X und Z und Korrelation von Y und Z ein, jeweils zwischen −1 und 1.
- Lesen Sie das Ergebnis ab: die partielle Korrelation von X und Y unter Kontrolle von Z, die drei paarweisen Korrelationen, die Anzahl der gepaarten Beobachtungen (im Datenmodus) sowie eine Interpretation in Klartext.
Was ist eine partielle Korrelation?
Eine partielle Korrelation misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen, nachdem der Einfluss einer oder mehrerer Kontrollvariablen entfernt wurde. Im hier behandelten Fall mit einer Kontrollvariablen beantwortet sie die Frage: Wie stark hängen X und Y zusammen, wenn man die Variation herausrechnet, die beide jeweils mit Z teilen?
Das ist wichtig, weil eine gewöhnliche Korrelation in die Irre führen kann. Zwei Variablen können allein deshalb korrelieren, weil beide von einer dritten Variablen angetrieben werden — ein klassischer Fall von Scheinkorrelation. So korrelieren etwa der Verkauf von Speiseeis und die Zahl der Ertrinkungsunfälle im Jahresverlauf, aber beide hängen mit der Temperatur zusammen. Die partielle Korrelation zeigt Ihnen, ob nach Berücksichtigung dieser gemeinsamen Ursache noch ein direkter Zusammenhang besteht.
Das Ergebnis wird wie jeder Korrelationskoeffizient interpretiert: Werte nahe +1 oder −1 deuten auf einen starken positiven bzw. negativen linearen Zusammenhang hin, Werte nahe 0 auf einen schwachen oder nicht vorhandenen Zusammenhang. Eine partielle Korrelation kann betragsmäßig größer oder kleiner als die rohe Korrelation ausfallen. Größer wird sie, wenn Z einen Teil des tatsächlichen Zusammenhangs verdeckt (wie im Beispiel oben), kleiner, wenn die rohe Korrelation im Wesentlichen ein Artefakt von Z war.
Beachten Sie, dass die partielle Korrelation wie jede Korrelation einen Zusammenhang misst, keine Kausalität. Das Entfernen des linearen Einflusses von Z reduziert eine mögliche Quelle scheinkorrelativer Zusammenhänge, kann aber weder die Richtung der Kausalität klären noch andere Störvariablen ausschließen. Wenn Sie mehrere Einflussgrößen gemeinsam modellieren möchten, ist der Rechner für multiple lineare Regression ein naheliegender nächster Schritt.
Voraussetzungen, Grenzen und Hinweise
- Linearität. Die Formel basiert auf der Pearson-Korrelation und erfasst daher nur lineare Zusammenhänge. Bei monotonen, aber gekrümmten Beziehungen sind Rangmaße wie die Spearman-Rangkorrelation die bessere Wahl.
- Eine Kontrollvariable. Dieser Rechner kontrolliert nur eine einzige Variable Z. Bei mehreren Kontrollvariablen lässt sich dasselbe Prinzip über die Präzisionsmatrix (inverse Korrelationsmatrix) verallgemeinern, die Rechnung wird dann aber matrixbasiert.
- Konsistente Koeffizienten. Im Koeffizientenmodus müssen die drei Korrelationen zueinander passen — der Rechner lehnt Kombinationen ab, die keine gültige Korrelationsmatrix bilden.
- Nicht definierte Fälle. Das Ergebnis ist nicht definiert, wenn X oder Y perfekt (oder nahezu perfekt) mit Z korreliert, weil der Nenner dann gegen null geht.
- Stichprobengröße. Kleine Stichproben liefern instabile Schätzungen. Bei wenigen Beobachtungen kann eine mittelgroße partielle Korrelation leicht zufällig entstehen; eine Prüfung der statistischen Power hilft Ihnen einzuschätzen, ob Ihre Stichprobe den erwarteten Effekt überhaupt aufdecken kann.
- Vollständige Paare. Jede Zeile muss einen Wert für X, Y und Z enthalten. Fehlende Werte in einer Spalte brechen die Paarung — bereinigen Sie Ihre Daten daher vorher.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine partielle Korrelation von Hand?
Berechnen Sie zunächst aus Ihren gepaarten Daten die drei Pearson-Korrelationen \(r_{XY}\), \(r_{XZ}\) und \(r_{YZ}\). Setzen Sie diese dann in \( r_{XY \cdot Z} = \frac{r_{XY} - r_{XZ} r_{YZ}}{\sqrt{(1 - r_{XZ}^2)(1 - r_{YZ}^2)}} \) ein. Multiplizieren Sie die beiden Korrelationen mit Z, ziehen Sie das Produkt von \(r_{XY}\) ab und dividieren Sie durch die Wurzel aus dem Produkt der beiden restlichen Terme. Der Rechner führt alle Schritte auf einmal aus und zeigt die paarweisen Koeffizienten an, die er verwendet hat.
Ist meine partielle Korrelation statistisch signifikant?
Der Rechner führt keinen Signifikanztest durch, aber Sie können einen selbst mit \( t = r_{XY \cdot Z}\sqrt{\frac{n-3}{1 - r_{XY \cdot Z}^2}} \) durchführen, wobei \(n\) die Anzahl vollständiger Beobachtungen ist. Vergleichen Sie \(t\) mit einer t-Verteilung mit \(n - 3\) Freiheitsgraden. Grob gilt: Bei \(n = 50\) ist eine partielle Korrelation ab etwa \(\pm 0.28\) auf dem 5-%-Niveau signifikant (zweiseitig).
Was gilt als starke oder gute partielle Korrelation?
Es gibt keinen universellen „guten“ Wert — das hängt von Ihrem Fachgebiet ab. Als grobe Faustregeln, wie sie in den Verhaltenswissenschaften verwendet werden, gelten Beträge um 0,1 als klein, um 0,3 als mittel und ab 0,5 als stark. In der Physik oder im Ingenieurwesen können auch deutlich schwächere Korrelationen bedeutsam sein. Bewerten Sie den Wert im Verhältnis zur Stichprobengröße: Ein kleiner Koeffizient aus einer großen Stichprobe kann aussagekräftig sein, während ein großer aus einer Handvoll Beobachtungen reiner Zufall sein kann.
Kann die partielle Korrelation größer als die gewöhnliche Korrelation sein oder sogar das Vorzeichen wechseln?
Beides ist möglich. Wenn Z einen Teil des tatsächlichen Zusammenhangs zwischen X und Y unterdrückt, fällt die partielle Korrelation betragsmäßig größer aus als \(r_{XY}\). Ein Vorzeichenwechsel (eine negative partielle Korrelation aus einer positiven rohen) ist ein Hinweis auf klassische Suppression — die Kontrollvariable deckt einen Zusammenhang auf, der dem der rohen Korrelation entgegengesetzt ist. Beides sind legitime Ergebnisse und keine Fehler, verdient aber meist eine sorgfältige Interpretation dessen, wie Z mit X und Y zusammenhängt.
Was ist der Unterschied zwischen partieller und semipartieller (Part-)Korrelation?
Die partielle Korrelation entfernt den Einfluss von Z aus beiden Variablen, X und Y, und korreliert dann die Reste. Die semipartielle Korrelation entfernt Z nur aus einer Variablen, etwa aus Y, und lässt X unverändert. Verwenden Sie die partielle Korrelation, wenn Sie fragen: „Hängt X über Z hinaus mit Y zusammen?“, und die semipartielle, wenn Sie fragen: „Erklärt X den Teil von Y, den Z nicht erklärt?“ Dieser Rechner berechnet die partielle Variante.
Warum hat der Rechner meine drei Korrelationskoeffizienten abgelehnt?
Im Koeffizientenmodus müssen die drei Werte zueinander konsistent sein: Sie müssen eine gültige Korrelationsmatrix bilden, das heißt, \( |r_{XY} - r_{XZ}\, r_{YZ}| \) darf \( \sqrt{(1 - r_{XZ}^2)(1 - r_{YZ}^2)} \) nicht überschreiten. Andernfalls könnte kein realer Datensatz diese Kombination hervorbringen. Häufige Ursachen sind vertauschte Koeffizienten (Sie wissen nicht mehr, welcher Wert zu welchem Paar gehört) oder Korrelationen aus verschiedenen Stichproben bzw. Studien, die nicht dieselben Beobachtungen umfassten.
Kann ich mehr als eine Variable kontrollieren?
Dieser Rechner unterstützt eine einzige Kontrollvariable Z. Bei mehreren Kontrollvariablen benötigen Sie den Ansatz über die Präzisionsmatrix: Invertieren Sie die vollständige Korrelationsmatrix aller Variablen, negieren Sie die Zellen außerhalb der Diagonalen und skalieren Sie sie zurück zu Korrelationen. In der Praxis führen die meisten Statistiker stattdessen eine multiple lineare Regression durch und betrachten die standardisierten Koeffizienten oder die partiellen \(R^2\)-Werte, die dasselbe Prinzip verallgemeinern und zusätzlich Konfidenzintervalle sowie p-Werte liefern.