Autokorrelationsrechner

Q: Worin unterscheidet sich die Autokorrelation von der partiellen Autokorrelation (PACF)?

Die Autokorrelation beim Lag k umfasst sowohl die direkte Beziehung zwischen x_t und x_t-k als auch alle indirekten Verbindungen über die dazwischenliegenden Lags. Die partielle Autokorrelation rechnet den Einfluss der dazwischenliegenden Lags heraus und isoliert den direkten Effekt. Deshalb liest man ACF und PACF gemeinsam bei der Identifikation von ARIMA-Modellen: eine langsam abklingende ACF mit einem einzigen signifikanten PACF-Peak deutet auf einen AR-Prozess hin, das umgekehrte Muster auf einen MA-Prozess.

Q: Wie viele Lags sollte ich berechnen, und wie lang muss meine Reihe sein?

Eine gängige Faustregel lautet, Lags bis etwa n/4 zu betrachten und jeden Lag jenseits von n/2 als unzuverlässig einzustufen, weil nur noch n-k überlappende Paare übrig bleiben. Für eine ernsthafte ACF-Analyse sollten idealerweise mindestens 50 Beobachtungen vorliegen; bei 10–20 Punkten liefern nur die ersten ein oder zwei Lags brauchbare Informationen. Bei saisonalen Daten sollten mindestens ein oder zwei volle Saisonszyklen einbezogen werden, bei Monatsdaten also z. B. Lags bis 24.

Q: Hat die Autokorrelation eine Einheit?

Nein. Wie jeder Korrelationskoeffizient ist r_k dimensionslos und liegt stets zwischen -1 und +1 — egal, ob Ihre Daten in Dollar, Grad Celsius oder Stückzahlen gemessen sind. Die Autokovarianz c_k trägt zwar die quadrierten Einheiten der Daten, doch durch die Division durch die Varianz c_0 heben sich diese auf. Das bedeutet auch: Eine Umskalierung Ihrer Reihe (z. B. von Celsius auf Fahrenheit) verändert keine einzige Autokorrelation.

Q: Kann ich das in Excel berechnen, indem ich die Reihe mit einer verschobenen Kopie korreliere?

Annähernd ja: Schreiben Sie die Reihe in Spalte A, eine um k Zeilen verschobene Kopie in Spalte B und wenden Sie KORREL auf den überlappenden Bereich an. Das Ergebnis weicht leicht vom Standard-ACF ab, weil Excel bei KORREL jedes abgeschnittene Segment um seinen eigenen Mittelwert zentriert, während die ACF beide Segmente am Mittelwert der gesamten Reihe zentriert. Bei langen Reihen ist die Abweichung gering, bei kurzen deutlich — wenn Sie mit Statistiksoftware übereinstimmen müssen, nutzen Sie die Methode dieses Rechners.

Q: Was bedeutet eine negative Autokorrelation beim Lag 1?

Ein negatives r_1 zeigt Alternation an: Auf Werte über dem Mittelwert folgen tendenziell Werte darunter und umgekehrt. Das sieht man häufig nach einer Überdifferenzierung einer glatten Reihe, bei oszillierenden oder zum Mittelwert zurückkehrenden Prozessen oder wenn aufeinanderfolgende Korrekturen sich bewusst gegenseitig ausgleichen. Eine stark negative Residuen-Autokorrelation kann darauf hindeuten, dass ein Modell von Periode zu Periode überkorrigiert. Werte nahe -1 beim Lag 1 sind in echten Daten selten und können darauf hindeuten, dass die Reihe künstlich konstruiert wurde.

Aktualisiert: 14 Oktober 2026

Berechnen Sie Stichproben-Autokorrelationskoeffizienten r_k für beliebige Zeitreihen bei einem oder mehreren Lags. Fügen Sie Ihre geordneten Beobachtungen ein, wählen Sie die Lags und den Schätzer aus und erhalten Sie r_k mit einem Signifikanzband für weißes Rauschen.

Prüfen, ob eine Zeitreihe mit ihrer eigenen Vergangenheit korreliert

Formel der Autokorrelation

Formel

\[ r_k = \frac{c_k}{c_0}, \qquad c_k = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-k} (x_t - \bar{x})(x_{t+k} - \bar{x}), \qquad c_0 = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} (x_t - \bar{x})^2 \]

Dabei gilt:

\(r_k\) — Stichproben-Autokorrelation beim Lag \(k\) (die Korrelation der Reihe mit einer um \(k\) Schritte zurückversetzten Kopie ihrer selbst)
\(x_t\) — Beobachtung zum Zeitpunkt \(t\); \(\bar{x}\) — Mittelwert der Reihe
\(n\) — Anzahl der Beobachtungen
\(c_k\) — Stichproben-Autokovarianz beim Lag \(k\); \(c_0\) — Stichprobenvarianz

Der Koeffizient vergleicht jede Beobachtung mit derjenigen \(k\) Schritte davor, nachdem beide um den Mittelwert zentriert wurden. Durch die Division durch \(c_0\) liegt jedes \(r_k\) zwangsläufig im Bereich \([-1, 1]\). Beim „erwartungstreuen“ Schätzer wird die Summe, die \(c_k\) definiert, nicht durch \(n\), sondern durch \(n-k\) geteilt.

Autokorrelation – Rechenbeispiel

Beispiel: eine Reihe mit 12 Beobachtungen: 2, 4, 3, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 11, 13, 12, mit den Lags 1, 2, 3 und dem Standard-ACF-Schätzer.

\[ \bar{x} = \frac{90}{12} = 7.5, \qquad c_0 = \frac{143}{12} = 11.9167 \]

\[ c_1 = \frac{101.75}{12} = 8.4792 \;\Rightarrow\; r_1 = \frac{8.4792}{11.9167} = 0.7117 \]

\[ c_2 = \frac{69}{12} = 5.75 \;\Rightarrow\; r_2 = 0.4825, \qquad c_3 = \frac{39.75}{12} = 3.3125 \;\Rightarrow\; r_3 = 0.2780 \]

Ergebnis: \(r_1 = 0.7117\), \(r_2 = 0.4825\), \(r_3 = 0.2780\). Das 95-%-Band für weißes Rauschen beträgt \(\pm 1.96/\sqrt{12} = \pm 0.566\); signifikant ist also nur die Autokorrelation beim Lag 1: Die Reihe zeigt Persistenz — auf hohe Werte folgen hohe Werte — und die Autokorrelation klingt langsam ab, was für eine Reihe mit Trend typisch ist.

So bedienen Sie den Rechner

Geben Sie Ihre Beobachtungen unter Zeitreihenwerte (in Reihenfolge) ein, älteste zuerst. Trennen Sie die Werte durch Leerzeichen, Semikolons oder Zeilenumbrüche; Dezimalkommas sind erlaubt. Sie benötigen mindestens 3 Werte.
Tragen Sie die gewünschten Lags unter Zu berechnende Lags ein — einen einzelnen Lag (z. B. 1) oder mehrere, durch Leerzeichen oder Semikolons getrennt (z. B. 1; 2; 3; 4). Jeder Lag muss eine ganze Zahl zwischen 1 und \(n-1\) sein.
Wählen Sie den Schätzer aus: „Standard-ACF (Division durch n)“ entspricht dem, was Statistiksoftware in ACF-Diagrammen darstellt; „Erwartungstreu (Division durch n − k)“ korrigiert den kleinen Stichproben-Bias nach unten bei längeren Lags.
Lesen Sie die Ergebnistabelle ab: die Anzahl der überlappenden Paare pro Lag, den Koeffizienten \(r_k\) und ob er außerhalb des \(\pm 1.96/\sqrt{n}\)-Bandes für weißes Rauschen liegt.

Was ist Autokorrelation?

Die Autokorrelation (auch serielle Korrelation) misst, wie stark eine Zeitreihe linear mit ihrer eigenen Vergangenheit zusammenhängt. Statt zwei verschiedene Variablen zu korrelieren, korreliert man die Reihe mit einer um \(k\) Zeitschritte zurückversetzten Kopie ihrer selbst — dem Lag. Das Ergebnis \(r_k\) wird wie eine Pearson-Korrelation interpretiert: \(+1\) bedeutet, dass die verschobene Reihe exakt parallel zur ursprünglichen verläuft, \(-1\), dass sie sich exakt gegenläufig verhält, und Werte nahe 0 bedeuten, dass es bei diesem Lag keinen linearen Zusammenhang gibt.

Die Autokorrelation gehört zu den ersten diagnostischen Werkzeugen der Zeitreihenanalyse. Ein deutlich positiver Koeffizient beim Lag 1 weist auf Persistenz hin (Werte bleiben eine Weile über oder unter dem Mittelwert), ein stark negativer auf Alternation — die Reihe schwingt über den Mittelwert hinaus nach beiden Seiten aus. Trägt man \(r_k\) gegen \(k\) auf, erhält man die Autokorrelationsfunktion (ACF), das Standardwerkzeug zur Identifikation von ARIMA-Modellen und zur Erkennung von Saisonalität.

Dabei ist das Muster über die Lags hinweg wichtiger als ein einzelner Wert. Langsam abklingende positive Autokorrelationen deuten auf einen Trend oder Nichtstationarität hin — in diesem Fall sollte die Reihe zunächst differenziert werden. Ein einzelner Peak beim Lag k weist auf ein saisonales oder zyklisches Muster mit der Periode \(k\) hin (z. B. bedeutet ein Peak beim Lag 12 bei Monatsdaten einen Jahreszyklus). Bleiben die Koeffizienten bei allen Lags innerhalb des Bandes für weißes Rauschen, spricht das dafür, dass die Reihe kein lineares Gedächtnis besitzt — genau das möchte man bei Modellresiduen sehen.

Zu beachten: Die Autokorrelation erfasst nur lineare Abhängigkeiten. Eine Reihe kann durch nichtlineare Regeln gut vorhersagbar sein und dennoch eine nahezu verschwindende Autokorrelation aufweisen; eine „saubere“ ACF ist also kein Beweis für Unabhängigkeit. Will man formal prüfen, ob eine ganze Menge von Autokorrelationen mit weißem Rauschen vereinbar ist, verwendet man einen Portmanteau-Test wie den Ljung-Box-Test.

Voraussetzungen, Grenzen und praktische Hinweise

Reihenfolge und Abstände zählen. Die Werte müssen in ihrer natürlichen zeitlichen Reihenfolge und in gleichen Abständen vorliegen (gleicher Zeitschritt zwischen den Beobachtungen). Ein Durchmischen der Daten zerstört die Autokorrelation.
Stationarität. Die Koeffizienten sind nur aussagekräftig, wenn die Reihe einen annähernd stabilen Mittelwert und eine stabile Varianz hat. Eine Reihe mit Trend bläht die Autokorrelationen bei kurzen Lags auf; notfalls vorher differenzieren.
Lange Lags sind unzuverlässig. Beim Lag \(k\) fließen nur \(n-k\) überlappende Paare ein; Lags jenseits von etwa \(n/2\) beruhen daher auf sehr wenigen Paaren. Bei 12 Beobachtungen sollte man alles oberhalb von Lag 6 als Rauschen betrachten.
Wahl des Schätzers. Der Standard-Schätzer (Division durch \(n\)) liefert immer eine gültige Korrelationsfunktion und entspricht den ACF-Diagrammen in Box-Jenkins-Software. Die erwartungstreue Variante (Division durch \(n-k\)) beseitigt den Bias nach unten bei langen Lags, kann Koeffizienten aber theoretisch außerhalb von \([-1, 1]\) treten.
Das Signifikanzband ist eine Orientierung. Die Grenzen \(\pm 1.96/\sqrt{n}\) setzen voraus, dass die zugrunde liegende Reihe weißes Rauschen ist. Existiert tatsächlich Autokorrelation, unterschätzt das Band die Streuung bei benachbarten Lags.
Ausreißer verzerren die Ergebnisse. Eine einzige extreme Beobachtung kann sowohl den Mittelwert als auch die Produkte in \(c_k\) dominieren. Prüfen Sie Ihre Daten vorher oder ziehen Sie robuste Alternativen wie rangbasierte Korrelationsmaße in Betracht.

Wenn Sie zwei verschiedene Reihen vergleichen wollen statt eine Reihe mit ihrer eigenen Vergangenheit, nutzen Sie ein Korrelationswerkzeug wie den Spearman-Rangkorrelationsrechner oder den Kendalls-Tau-Rechner. Um vor der Modellierung die Form einer einzelnen Reihe zusammenzufassen, ist der Rechner für Schiefe und Kurtosis eine sinnvolle Ergänzung.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein guter oder normaler Autokorrelationswert?

Einen universell „guten“ Wert gibt es nicht — es hängt davon ab, was Sie untersuchen. Bei Rohdaten sagt die Höhe von \(r_k\) lediglich aus, wie viel lineares Gedächtnis die Reihe besitzt. Bei Modellresiduen wollen Sie Werte nahe null: Alles außerhalb des \(\pm 1.96/\sqrt{n}\)-Bandes deutet darauf hin, dass das Modell nicht die gesamte Struktur erfasst hat. Als grobe Skala gilt: \(|r_1| > 0.5\) ist stark, 0,2–0,5 moderat und unter 0,2 schwach.

Worin unterscheidet sich die Autokorrelation von der partiellen Autokorrelation (PACF)?

Die Autokorrelation beim Lag \(k\) umfasst sowohl die direkte Beziehung zwischen \(x_t\) und \(x_{t-k}\) als auch alle indirekten Verbindungen über die dazwischenliegenden Lags. Die partielle Autokorrelation rechnet den Einfluss der dazwischenliegenden Lags heraus und isoliert den direkten Effekt. Deshalb liest man ACF und PACF gemeinsam bei der Identifikation von ARIMA-Modellen: eine langsam abklingende ACF mit einem einzigen signifikanten PACF-Peak deutet auf einen AR-Prozess hin, das umgekehrte Muster auf einen MA-Prozess.

Wie viele Lags sollte ich berechnen, und wie lang muss meine Reihe sein?

Eine gängige Faustregel lautet, Lags bis etwa \(n/4\) zu betrachten und jeden Lag jenseits von \(n/2\) als unzuverlässig einzustufen, weil nur noch \(n-k\) überlappende Paare übrig bleiben. Für eine ernsthafte ACF-Analyse sollten idealerweise mindestens 50 Beobachtungen vorliegen; bei 10–20 Punkten liefern nur die ersten ein oder zwei Lags brauchbare Informationen. Bei saisonalen Daten sollten mindestens ein oder zwei volle Saisonszyklen einbezogen werden, bei Monatsdaten also z. B. Lags bis 24.

Hat die Autokorrelation eine Einheit?

Nein. Wie jeder Korrelationskoeffizient ist \(r_k\) dimensionslos und liegt stets zwischen \(-1\) und \(+1\) — egal, ob Ihre Daten in Dollar, Grad Celsius oder Stückzahlen gemessen sind. Die Autokovarianz \(c_k\) trägt zwar die quadrierten Einheiten der Daten, doch durch die Division durch die Varianz \(c_0\) heben sich diese auf. Das bedeutet auch: Eine Umskalierung Ihrer Reihe (z. B. von Celsius auf Fahrenheit) verändert keine einzige Autokorrelation.

Kann ich das in Excel berechnen, indem ich die Reihe mit einer verschobenen Kopie korreliere?

Annähernd ja: Schreiben Sie die Reihe in Spalte A, eine um \(k\) Zeilen verschobene Kopie in Spalte B und wenden Sie KORREL auf den überlappenden Bereich an. Das Ergebnis weicht leicht vom Standard-ACF ab, weil Excel bei KORREL jedes abgeschnittene Segment um seinen eigenen Mittelwert zentriert, während die ACF beide Segmente am Mittelwert der gesamten Reihe zentriert. Bei langen Reihen ist die Abweichung gering, bei kurzen deutlich — wenn Sie mit Statistiksoftware übereinstimmen müssen, nutzen Sie die Methode dieses Rechners.

Was bedeutet eine negative Autokorrelation beim Lag 1?

Ein negatives \(r_1\) zeigt Alternation an: Auf Werte über dem Mittelwert folgen tendenziell Werte darunter und umgekehrt. Das sieht man häufig nach einer Überdifferenzierung einer glatten Reihe, bei oszillierenden oder zum Mittelwert zurückkehrenden Prozessen oder wenn aufeinanderfolgende Korrekturen sich bewusst gegenseitig ausgleichen. Eine stark negative Residuen-Autokorrelation kann darauf hindeuten, dass ein Modell von Periode zu Periode überkorrigiert. Werte nahe \(-1\) beim Lag 1 sind in echten Daten selten und können darauf hindeuten, dass die Reihe künstlich konstruiert wurde.

Was tue ich, wenn meine Reihe fehlende Werte oder ungleichmäßige Zeitabstände hat?

Die Autokorrelation setzt Beobachtungen in gleichmäßigen Abständen und in strikter zeitlicher Reihenfolge voraus; Lücken verändern daher die Bedeutung eines Lags. Mögliche Lösungen: kleine Lücken interpolieren oder imputieren; unregelmäßige Daten zu regelmäßigen Intervallen aggregieren (z. B. Tagesmittel); oder, falls Zeitstempel vorliegen, Methoden für unregelmäßige Reihen verwenden. Wer die fehlenden Zeilen einfach löscht, verkürzt die sichtbare Lag-Struktur und kann die Ergebnisse verzerren. Achten Sie zudem darauf, die Werte älteste zuerst einzugeben — eine umgekehrte Reihenfolge ändert zwar keine Vorzeichen, kann aber bei asymmetrischen Analysen eine Rolle spielen.