Calculadora de regresión lineal múltiple
Introduce los valores de tu variable respuesta y dos o más columnas de predictores para ajustar una regresión lineal múltiple por mínimos cuadrados. La calculadora devuelve la ordenada en el origen, el coeficiente de cada predictor, el R², la ecuación ajustada y los valores predichos con sus residuos.
Ajusta un resultado con varios predictores
Fórmula de la regresión lineal múltiple
Donde:
- \(\hat{y}\) — el valor predicho de la variable respuesta
- \(\beta_0\) — la ordenada en el origen: el valor esperado de \(y\) cuando todos los predictores valen cero
- \(\beta_j\) — el coeficiente del predictor \(X_j\): el cambio esperado en \(y\) cuando \(X_j\) aumenta en una unidad y los demás predictores se mantienen fijos
- \(p\) — el número de predictores
- \(n\) — el número de observaciones
- \(R^2\) — la proporción de la varianza de \(y\) explicada por el modelo
Los coeficientes se estiman por mínimos cuadrados ordinarios (MCO), que eligen los valores de \(\beta\) que minimizan la suma de los residuos al cuadrado \(\sum (y - \hat{y})^2\). En forma matricial, la solución es \(\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}\); esta calculadora resuelve el mismo problema de mínimos cuadrados con una descomposición QR numéricamente estable, en lugar de construir \(\mathbf{X}^T\mathbf{X}\) explícitamente.
Regresión lineal múltiple – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: ocho observaciones con valores de la variable respuesta 7; 12; 11; 16; 15; 20; 19; 24, y dos predictores: \(X_1\), que va de 1 a 8, y \(X_2\), que alterna 0, 1, 0, 1, … — exactamente los datos que aparecen por defecto en la calculadora.
\[ \hat{y} = 5 + 2X_1 + 3X_2 \]
Resultado: ordenada en el origen \(\beta_0 = 5\), coeficientes \(\beta_1 = 2\) y \(\beta_2 = 3\), y \(R^2 = 1\). Cada valor predicho coincide con el valor observado, de modo que todos los residuos son 0 y la suma de cuadrados de los residuos es 0 sobre una suma total de cuadrados de 210. Este conjunto de datos se construyó para que el ajuste fuera perfecto, y por eso \(R^2\) alcanza su máximo de 1; los datos reales casi siempre dejan algo de variación residual y dan un \(R^2 < 1\).
Cómo usar la calculadora
- Introduce los valores de la variable respuesta (y): un valor por observación, separados por espacios, punto y coma o saltos de línea. También se aceptan comas decimales.
- Introduce las columnas de predictores (X): una observación por línea, con los valores de los predictores de esa observación separados por espacios o punto y coma. Mantén las columnas en el mismo orden en todas las líneas e introduce al menos dos columnas.
- Comprueba que el número de líneas de X coincide con el número de valores de y y que todas las líneas tienen el mismo número de valores. Necesitas al menos dos observaciones más que predictores.
- Lee los resultados: la ordenada en el origen, la tabla de coeficientes de los predictores, el R², la tabla de valores predichos con sus residuos y la ecuación ajustada con los detalles del ajuste.
¿Qué es la regresión lineal múltiple?
La regresión lineal múltiple modela una variable respuesta continua como una suma ponderada de dos o más predictores más una constante. Amplía la regresión lineal simple, que emplea un único predictor, a situaciones en las que varias variables pueden influir en el resultado a la vez: por ejemplo, predecir el precio de una vivienda a partir de su superficie, su número de habitaciones y su antigüedad, o el rendimiento de un cultivo a partir de las lluvias, la temperatura y la cantidad de fertilizante.
Su gran ventaja frente a realizar regresiones simples por separado es que cada coeficiente aísla la contribución de un predictor manteniendo fijos los demás predictores incluidos. Un coeficiente de 2 para \(X_1\) significa que se espera que la variable respuesta aumente 2 unidades por cada unidad que se incremente \(X_1\), sin importar en qué punto estén los demás predictores. Por eso los coeficientes pueden diferir notablemente de las pendientes que se obtendrían al calcular la regresión con cada predictor por separado: el modelo separa efectos que se solapan.
El R² mide lo bien que el plano ajustado (o hiperplano) sigue a los datos: es la fracción de la varianza de \(y\) que explican los predictores. Un R² de 0,80 significa que el modelo reproduce el 80 % de la variación observada. Ten en cuenta que el R² solo puede quedarse igual o aumentar al añadir predictores, de modo que un R² alto con muchos predictores no es automáticamente prueba de un buen modelo: simplemente describe el ajuste a los datos utilizados en la estimación.
Para explorar las relaciones por pares entre tus variables antes de ajustar un modelo, prueba la calculadora de correlación de rangos de Spearman o la calculadora de la tau de Kendall.
Supuestos, limitaciones y consejos prácticos
- Tamaño de la muestra: necesitas al menos \(p + 2\) observaciones para \(p\) predictores más la ordenada en el origen (la calculadora lo exige). En la práctica, apunta a 10–20 observaciones por predictor para obtener estimaciones estables.
- Sin columnas redundantes: los predictores no deben ser linealmente dependientes. Si codificas una variable categórica con columnas dummy 0/1, incluye una columna dummy menos que categorías haya: la ordenada en el origen absorbe el nivel de referencia, igual que la columna 0/1 alternada del ejemplo.
- Multicolinealidad: los predictores muy correlacionados entre sí producen coeficientes inestables y difíciles de interpretar, aunque el ajuste global pueda parecer bueno. Revisa primero las asociaciones por pares y elimina o combina las variables que se solapen.
- Linealidad: los MCO asumen que cada predictor se relaciona linealmente con la variable respuesta, manteniendo fijos los demás. Las relaciones curvadas a menudo pueden recogerse añadiendo columnas transformadas (por ejemplo, un término al cuadrado) como predictores adicionales.
- Revisión de los residuos: el modelo asume errores independientes y de varianza aproximadamente constante. Revisar los residuos de la tabla de predicciones resulta de ayuda; con datos ordenados en el tiempo, la calculadora de autocorrelación puede revelar patrones residuales, y la calculadora de asimetría y curtosis ayuda a detectar datos muy alejados de la normalidad.
- Asociación no es causalidad: los coeficientes describen asociaciones dentro de tus datos. Afirmar que existe un efecto causal requiere un diseño de estudio que lo respalde, no solo un buen ajuste.
- Quédate dentro del rango de tus datos: las predicciones muy alejadas del rango de los predictores observados son extrapolaciones y pueden ser muy erróneas.
- Sin resultados de inferencia: esta calculadora solo informa de la ecuación ajustada y del ajuste sobre los propios datos; para errores estándar, valores p e intervalos de confianza, usa un software estadístico completo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula a mano una regresión lineal múltiple?
Plantea una matriz de diseño \\(\\mathbf{X}\) con una primera columna de unos para la ordenada en el origen y resuelve después las ecuaciones normales \\((\\mathbf{X}^T\\mathbf{X})\\hat{\\boldsymbol{\\beta}} = \\mathbf{X}^T\\mathbf{y}\). Con dos predictores, esto equivale a resolver un sistema lineal de 3×3 para \\(β_0, β_1, β_2\). Calcula las predicciones con la ecuación ajustada y, a partir de las sumas de cuadrados, los residuos y el R². Con más de unas pocas observaciones el cálculo a mano se hace tedioso, y por eso las calculadoras emplean la descomposición QR para ganar estabilidad numérica.
¿Qué es un buen valor de R² en una regresión múltiple?
No existe un umbral universal. En datos de física o ingeniería es habitual un R² superior a 0,9; en estudios sociales o médicos, valores de 0,3 a 0,5 ya pueden ser significativos. Qué se considera bueno depende del ruido de medición y del ámbito. Recuerda además que el R² sube automáticamente al añadir predictores, así que compara modelos de distinto tamaño con el R² ajustado y juzga un modelo por lo bien que predice datos nuevos, no solo por cómo se ajusta a los datos con los que se construyó.
¿Por qué mis coeficientes son distintos de las pendientes de las regresiones simples con cada variable?
Es lo esperable, no un error. En la regresión múltiple, cada coeficiente mide el efecto de ese predictor manteniendo constantes los demás predictores incluidos. Si dos predictores se solapan (por ejemplo, la superficie y el número de habitaciones), el modelo reparte entre ellos su capacidad explicativa compartida, de modo que los coeficientes pueden encogerse, cambiar de signo o crecer respecto a las regresiones simples calculadas de una en una. Precisamente por eso la regresión múltiple resulta útil: separa efectos entrelazados.
¿Puedo usar variables categóricas como el género o la ciudad en esta calculadora?
Sí, pero antes codifícalas como variables dummy 0/1. Para una categoría con k niveles, crea k − 1 columnas dummy e introdúcelas como predictores separados: el nivel que se omite pasa a ser la línea base que absorbe la ordenada en el origen. Nunca introduzcas una única columna con códigos arbitrarios como 1, 2, 3 para tres ciudades, porque eso obliga al modelo a tratar las categorías como si estuvieran equidistantes numéricamente, lo cual suele ser incorrecto.
¿Cuántas observaciones necesito en comparación con el número de predictores?
El mínimo matemático son dos observaciones más que predictores (incluida la ordenada en el origen), que es lo que exige la calculadora, pero es demasiado poco para obtener resultados fiables. Una regla habitual es contar con 10–20 observaciones por predictor. Con muy pocas observaciones, los coeficientes se vuelven extremadamente sensibles a puntos concretos, el R² se infla hacia 1 de forma mecánica y el modelo generalizará mal a datos nuevos.
¿Por qué me aparece un error sobre columnas linealmente dependientes o redundantes?
Los predictores deben contener información independiente. El error aparece si una columna es constante, un múltiplo exacto de otra o la suma de otras; por ejemplo, incluir variables dummy para todos los niveles de una categoría, que siempre suman 1 y duplican la columna de la ordenada en el origen. Elimina o combina la columna redundante. Las columnas casi dependientes (por ejemplo, una columna de temperatura en °C y otra en °F) también lo provocan, porque el ajuste se vuelve numéricamente inestable.
¿Cuál es la diferencia entre el R² y el R² ajustado?
El R² mide la fracción de la varianza de y que explica el modelo, pero nunca disminuye al añadir un predictor: incluso uno inútil y aleatorio lo sube un poco. El R² ajustado penaliza el número de predictores en relación con el tamaño de la muestra, de modo que puede bajar al añadir una variable que no se lo gana. Usa el R² ajustado para comparar modelos con distinto número de predictores; esta calculadora informa del R² simple, que describe el ajuste a los datos de estimación.