Calculadora del punto medio
Calcula el punto medio de un segmento en 2D o 3D. Introduce las coordenadas de los dos extremos y obtén al instante el punto medio y la longitud del segmento.
Encuentra el punto medio de un segmento
Fórmula del punto medio
Donde:
- \(x_1, y_1, z_1\) — coordenadas del primer extremo
- \(x_2, y_2, z_2\) — coordenadas del segundo extremo
- \(M\) — el punto medio del segmento
El punto medio es, sencillamente, la media de cada coordenada: suma los dos valores y divide entre 2. La primera fórmula vale para puntos del plano (2D) y la segunda para puntos del espacio (3D). La calculadora también muestra la longitud del segmento mediante la fórmula de la distancia euclídea:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Punto medio — ejemplo de cálculo
Ejemplo: hallar el punto medio del segmento que une \(A(2, 3, 1)\) y \(B(8, 7, 5)\) en el espacio tridimensional.
\[ M_x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ M_y = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ M_z = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ d = \sqrt{(8-2)^2 + (7-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} \approx 8.246 \]
Resultado: el punto medio es \(M = (5, 5, 3)\) y la longitud del segmento es de aproximadamente 8,246 unidades.
Cómo usar la calculadora
- Introduce la coordenada X y la coordenada Y del primer punto en «Punto 1 (x₁, y₁)».
- Introduce la coordenada X y la coordenada Y del segundo punto en «Punto 2 (x₂, y₂)».
- Si tus puntos están en el espacio tridimensional, marca Trabajar en 3D (usar coordenadas Z) y rellena los campos de la coordenada Z de ambos puntos. Si dejas la casilla sin marcar, los campos de Z quedan ocultos y solo se calcula el punto medio en 2D.
- Lee los resultados: Punto medio X, Punto medio Y y, en modo 3D, Punto medio Z dan las coordenadas del punto medio, y Longitud del segmento da la distancia en línea recta entre los dos puntos.
¿Qué es un punto medio?
El punto medio de un segmento es el punto que se encuentra exactamente a mitad de camino entre los dos extremos: divide el segmento en dos trozos de la misma longitud. En geometría analítica se obtiene promediando las coordenadas: cada coordenada del punto medio es la media de las coordenadas correspondientes de los extremos. Como promediar no es más que sumar y dividir entre dos, la misma idea funciona en dos dimensiones, en tres o en cualquier número de ellas.
El punto medio tiene una propiedad geométrica muy útil: está a la misma distancia de ambos extremos, de modo que cada mitad del segmento mide exactamente la mitad de la longitud total. Además, es el centro de la circunferencia más pequeña (o de la esfera, en 3D) que tiene el segmento como diámetro. Esto lo convierte en una pieza básica de muchas construcciones: mediatrices, medianas de triángulos, centros de rectángulos o la búsqueda del centro de una ruta o de un objeto en el espacio.
Interpretar el resultado es sencillo: si el punto \(A\) es \(A(2, 3)\) y el punto \(B\) es \(B(8, 7)\), el punto medio \(M(5, 5)\) ocupa la misma posición «intermedia» tanto en la dirección horizontal como en la vertical. La longitud del segmento que se muestra junto al resultado te dice a qué distancia están los dos extremos, algo que a menudo resulta útil cuando necesitas el centro y el tamaño del segmento a la vez.
Supuestos, limitaciones y consejos
- La calculadora usa la distancia en línea recta (euclídea) para la longitud del segmento. En un mapa con carreteras reales, la distancia en coche entre los extremos será mayor que el valor en línea recta.
- Las coordenadas pueden ser negativas, enteras o decimales; por ejemplo, el punto medio de \((-4, 1)\) y \((3, 6)\) es \((-0.5, 3.5)\).
- Si ambos extremos coinciden, el punto medio es ese mismo punto y la longitud del segmento es 0.
- El punto medio es un caso particular de la media ponderada: si necesitas un punto que divida un segmento en otra razón (por ejemplo 1:2 en lugar de 1:1), tendrías que ponderar las coordenadas en consecuencia. La media ponderada es la herramienta general para ese tipo de problema, y una calculadora de promedios sencilla resuelve la aritmética básica.
- Para una comprobación mental rápida: el punto medio debe situarse siempre entre los dos extremos en cada coordenada, así que su valor de X tiene que estar entre \(x_1\) y \(x_2\), y lo mismo ocurre con Y (y con Z en 3D).
Preguntas frecuentes
¿Puedo hallar un extremo desconocido si conozco el punto medio y el otro extremo?
Sí: basta con despejar en la fórmula del punto medio. Si conoces el punto medio \(M(m_x, m_y)\) y el extremo \(A(x_1, y_1)\), el extremo que falta es \(B = (2m_x - x_1,\ 2m_y - y_1)\). Es un ejercicio muy típico de libro de texto: el punto medio es la media de los extremos, de modo que cada extremo es el doble del punto medio menos el otro extremo. El mismo truco sirve para la coordenada Z en 3D: \(z_2 = 2m_z - z_1\).
¿Importa el orden de los dos puntos?
No, el resultado es el mismo en cualquier caso. Promediar es una operación conmutativa, así que intercambiar el punto 1 y el punto 2 da el mismo punto medio: \(\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x_2 + x_1}{2}\). La longitud del segmento tampoco cambia, porque en la fórmula de la distancia las diferencias se elevan al cuadrado. Puedes introducir los puntos en el orden que quieras.
¿Puedo usar la latitud y la longitud para hallar el punto medio de una ruta?
Solo para obtener una estimación aproximada. Promediar directamente la latitud y la longitud funciona razonablemente bien para distancias cortas cerca del ecuador, pero ignora la curvatura de la Tierra y deforma la longitud en latitudes altas. Para puntos medios geográficos precisos se necesita el método del círculo máximo, que convierte las coordenadas a radianes, las promedia como vectores unitarios en 3D y las convierte de vuelta. Recuerda además que el punto medio en línea recta de un viaje rara vez cae sobre una carretera real.
¿Cuál es la diferencia entre un punto medio y un centroide?
Un punto medio es el centro del segmento que une exactamente dos puntos, mientras que un centroide es la posición media de cualquier número de puntos (o de una figura completa). El centroide de dos puntos coincide con su punto medio, pero con tres o más puntos se promedian todas las coordenadas: \(C = \left(\frac{\sum x_i}{n}, \frac{\sum y_i}{n}\right)\). Por ejemplo, el centroide de un triángulo es la media de sus tres vértices, no el punto medio de uno de sus lados.
¿Por qué promediar las coordenadas da el punto medio?
Procede de los triángulos semejantes y de la definición de punto medio. Si \(M\) está a mitad de camino entre \(A\) y \(B\), entonces en cada dirección de coordenadas \(M\) también debe quedar a mitad de camino, de modo que \(m_x - x_1 = x_2 - m_x\). Al despejar esta ecuación se obtiene \(m_x = \frac{x_1 + x_2}{2}\), y el mismo razonamiento se aplica a todas las demás coordenadas. Por eso la fórmula se generaliza a cualquier número de dimensiones.
¿Qué ocurre si los dos puntos forman una línea horizontal o vertical?
Nada especial: la fórmula sigue funcionando. En un segmento horizontal, ambos extremos comparten el mismo valor de Y, así que el punto medio también tiene ese valor de Y, y su X es la media de los dos valores de X. De forma análoga, en un segmento vertical la X del punto medio coincide con el valor de X compartido. Un error frecuente es esperar que el punto medio difiera en todas las coordenadas; en realidad, algunas coordenadas del punto medio pueden coincidir exactamente con las de los extremos.
¿Cómo se usa la fórmula del punto medio en problemas de geometría?
Aparece constantemente en construcciones y demostraciones. El punto medio es el pie de toda mediatriz, define las medianas de un triángulo (que se cortan en el centroide) y da el centro de un rectángulo a partir de sus vértices opuestos: el punto medio de la diagonal es el punto donde se cruzan las dos diagonales. En las demostraciones analíticas es habitual hallar un punto medio y comprobar después que la distancia de este a cada extremo es exactamente la mitad de la longitud del segmento.