Калькулятор формулы Ридберга
Введите начальный и конечный главные квантовые числа перехода электрона в атоме водорода — и получите длину волны, частоту и энергию фотона спектральной линии, а также её серию (Лаймана, Бальмера, Пашена…).
Расчёт длины волны линии водорода по квантовым числам
Формула Ридберга
Здесь:
- \(\lambda\) — длина волны испущенного или поглощённого фотона (м)
- \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{м}^{-1}\) — постоянная Ридберга для водорода (с поправкой на приведённую массу атома)
- \(n_i\) — начальное главное квантовое число электрона
- \(n_f\) — конечное главное квантовое число электрона
Формула даёт величину, обратную длине волны (волновое число) фотона, который возникает при переходе электрона в атоме водорода между двумя энергетическими уровнями. Соотношения \(\nu = c/\lambda\) и \(E = h\nu = hc/\lambda\) позволяют перейти от длины волны к частоте и энергии фотона.
Формула Ридберга — пример расчёта
Пример: электрон в атоме водорода переходит с уровня \(n_i = 3\) на уровень \(n_f = 2\) (переход, дающий знаменитую красную линию Hα).
\[ \frac{1}{\lambda} = 1.0967758 \times 10^7 \times \left| \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right| = 1.0967758 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.5233 \times 10^6\ \text{м}^{-1} \]
\[ \lambda = \frac{1}{1.5233 \times 10^6} \approx 6.5647 \times 10^{-7}\ \text{м} = 656.47\ \text{нм} \]
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.9979 \times 10^8}{6.5647 \times 10^{-7}} \approx 4.568 \times 10^{14}\ \text{Гц} \]
Результат: \(\lambda \approx 656.47\) нм, \(\nu \approx 456.81\) ТГц, энергия фотона \(E \approx 1.89\) эВ \((3.03 \times 10^{-19}\) Дж) — красная линия Hα серии Бальмера.
Как пользоваться калькулятором формулы Ридберга
- Введите начальный уровень (nᵢ) — главное квантовое число, с которого стартует электрон. Для линии испускания это более высокий уровень (например, 3).
- Введите конечный уровень (n_f) — уровень, на который переходит электрон. Для линии испускания это более низкий уровень (например, 2).
- Оба числа должны быть целыми от 1 до 100 и не совпадать: при одинаковых уровнях фотон не возникает.
- Ознакомьтесь с результатами: длина волны в нанометрах, частота в терагерцах и энергия фотона в эВ и джоулях, а также тип перехода, спектральная серия и диапазон длин волн.
Если \(n_i > n_f\), калькулятор описывает линию испускания (электрон переходит вниз и высвечивает фотон); если \(n_i < n_f\) — линию поглощения (электрон поднимается наверх, поглотив фотон точно такой же длины волны).
Что такое формула Ридберга
Формула Ридберга, выведенная Иоганнесом Ридбергом в 1888 году, предсказывает длины волн всех спектральных линий атомарного водорода. Она обобщила эмпирическую формулу Бальмера для видимых линий и свела весь спектр к одному выражению. В 1913 году Нильс Бор объяснил, почему формула работает: электрон в атоме водорода может находиться только на дискретных уровнях \(n = 1, 2, 3, \ldots\), а фотон испускается или поглощается при переходе между ними и несёт ровно ту энергию, которая равна разности уровней.
Поскольку энергия каждого уровня фиксирована, любой паре уровней соответствует одна строго определённая длина волны. Именно поэтому спектр водорода — не сплошная радуга, а набор узких линий, и именно эти линии служат «отпечатком пальцев» водорода как в лабораторном анализе, так и в астрономии.
Линии объединяются в серии, названные по нижнему уровню: серия Лаймана (на \(n = 1\), ультрафиолет), серия Бальмера (на \(n = 2\), видимые линии Hα 656 нм, Hβ 486 нм, Hγ 434 нм и Hδ 410 нм), серии Пашена (на \(n = 3\)), Брэкета (на \(n = 4\)) и Пфунда (на \(n = 5\)) — все в инфракрасной области. С ростом верхнего уровня линии сгущаются и сходятся к границе серии, за которой атом ионизуется. Калькулятор определяет серию автоматически и распознаёт ряд знаменитых линий, таких как Hα и лиман-альфа.
Энергию фотона полезно понимать физически: \(E \approx 1.89\) эВ для Hα — это разность между уровнями \(n = 2\) и \(n = 3\), а 13.6 эВ — граница серии Лаймана — это энергия ионизации водорода из основного состояния.
Допущения и ограничения
- Формула применима только к атому водорода (\(Z = 1\)) в газовой фазе. Для водородоподобных ионов, таких как He⁺ или Li²⁺, умножьте правую часть на \(Z^2\).
- Длины волн рассчитываются для вакуума с постоянной \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{м}^{-1}\), учитывающей приведённую массу. В воздухе линии сдвигаются примерно на 0,1–0,3 нм (Hα наблюдается при 656.28 нм вместо 656.47 нм).
- Тонкая структура, лэмбовский сдвиг и изотопные эффекты (дейтерий, тритий) не учитываются; они приводят к расщеплению менее нанометра, которое заметно только в спектроскопии высокого разрешения.
- Модель рассматривает атом как один электрон у одного ядра — она не подходит для многоэлектронных атомов, молекул и твёрдых тел.
Если вы анализируете другие типы спектров или преобразования энергии, вам могут пригодиться наши калькулятор закона Брэгга для анализа длин волн по дифракции и калькулятор стандартного электродного потенциала для электрохимических расчётов. О кинетическом поведении атомов в газовой фазе читайте в статье про калькулятор скорости молекул газа.
Часто задаваемые вопросы
Как вручную рассчитать длину волны водорода по формуле Ридберга?
Возьмите обратные квадраты квантовых чисел, вычтите одно из другого и умножьте на постоянную Ридберга: \(1/\lambda = R_H \cdot |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Затем переведите результат в длину волны, взяв обратную величину, — получится метры. Например, при \(n_i = 4, n_f = 2\): \(1/\lambda = 1.0967758\times10^7 \times 3/16 = 2.056\times10^6\ \text{м}^{-1}\), откуда \(\lambda \approx 486\) нм — голубовато-зелёная линия Hβ.
Влияет ли порядок ввода уровней — начальный и конечный?
Нет: длина волны, частота и энергия фотона будут одинаковыми, поскольку в формуле стоит модуль разности. Меняется только интерпретация: если первым указан более высокий уровень, речь идёт об испускании (электрон переходит вниз и высвечивает фотон), если первым указан более низкий — о поглощении фотона той же длины волны. Единственное, чего не стоит делать, — вводить одно и то же число дважды: при равных уровнях фотон не возникает вовсе.
Почему калькулятор не принимает ввод, когда оба квантовых числа одинаковые?
При \(n_i = n_f\) выражение \(1/n_f^2 - 1/n_i^2\) равно нулю, значит, волновое число равно нулю, а длина волны была бы бесконечной — физически никакого перехода и никакого фотона нет, потому что энергия электрона не меняется. Выберите два разных целых числа, каждое не меньше 1. Обратите внимание: n должно быть целым — значения вроде 1,5 энергетическими уровнями не являются.
В каком диапазоне длин волн могут лежать линии водорода?
Самая короткая возможная линия — граница Лаймана, около 91.2 нм (далёкий ультрафиолет); она соответствует полной энергии ионизации 13.6 эВ из основного состояния. Чем выше верхний уровень, тем длиннее волна, и линии сгущаются по мере приближения к границе каждой серии. Переходы на n = 2 лежат в интервале от 410 до 656 нм — это единственные линии водорода, видимые глазом; всё, что заканчивается на n = 1, — ультрафиолет, а на n ≥ 3 — инфракрасное излучение.
Можно ли пользоваться этим калькулятором для He⁺, Li²⁺ и других водородоподобных ионов?
Напрямую — нет, но поправка очень проста. Для одноэлектронного иона с зарядом ядра Z умножьте волновое число на \(Z^2\): \(1/\lambda = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Возьмите длину волны из этого калькулятора и разделите её на \(Z^2\). Для He⁺ (Z = 2) каждая линия вчетверо короче соответствующей линии водорода. Формула не работает для нейтрального гелия и любых многоэлектронных атомов.
Почему моя измеренная длина волны Hα немного отличается от расчётных 656.47 нм?
На это есть две типичные причины. Во-первых, калькулятор возвращает длины волн в вакууме; в воздухе линия сдвигается примерно на 0,1–0,3 нм (Hα наблюдается при 656.28 нм в стандартном воздухе). Во-вторых, приборы высокого разрешения различают тонкую структуру, лэмбовский сдвиг и изотопное расщепление, которые эта простая модель не учитывает. В астрономии линии дополнительно смещает движение газа из-за эффекта Доплера — сдвиг Hα в красную или синюю сторону — явление нормальное, на нём, кстати, и измеряют скорости.
Чем R_H отличается от постоянной Ридберга R∞ из учебников?
\(R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{м}^{-1}\) соответствует бесконечно тяжёлому ядру, тогда как \(R_H = 1.0967758\times10^7\ \text{м}^{-1}\) учитывает конечную приведённую массу системы «электрон–протон» в реальном атоме водорода. Разница составляет около 0,05% и сдвигает Hα примерно на треть нанометра. Этот калькулятор использует \(R_H\), поэтому его результаты лучше согласуются с наблюдаемыми линиями водорода; \(R_\infty\) применяйте, только если ядро считается неподвижным.