Calculadora de la ecuación de Rydberg
Introduce los números cuánticos principales inicial y final de una transición electrónica del hidrógeno y obtén la longitud de onda, la frecuencia y la energía del fotón de la línea espectral, además de su serie (Lyman, Balmer, Paschen…).
Calcula la longitud de onda de las líneas del hidrógeno a partir de los números cuánticos
Fórmula de la ecuación de Rydberg
Donde:
- \(\lambda\) — longitud de onda del fotón emitido o absorbido (m)
- \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\) — constante de Rydberg para el hidrógeno (corregida por la masa reducida del átomo)
- \(n_i\) — número cuántico principal inicial del electrón
- \(n_f\) — número cuántico principal final del electrón
La fórmula da la inversa de la longitud de onda (el número de onda) del fotón que se produce cuando un electrón de un átomo de hidrógeno salta entre dos niveles de energía. Las relaciones complementarias \(\nu = c/\lambda\) y \(E = h\nu = hc/\lambda\) convierten esa longitud de onda en frecuencia y en energía del fotón.
Ecuación de Rydberg – ejemplo de cálculo
Ejemplo: un electrón de un átomo de hidrógeno cae del nivel \(n_i = 3\) al nivel \(n_f = 2\) (la transición que produce la famosa línea roja Hα).
\[ \frac{1}{\lambda} = 1.0967758 \times 10^7 \times \left| \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right| = 1.0967758 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.5233 \times 10^6\ \text{m}^{-1} \]
\[ \lambda = \frac{1}{1.5233 \times 10^6} \approx 6.5647 \times 10^{-7}\ \text{m} = 656.47\ \text{nm} \]
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.9979 \times 10^8}{6.5647 \times 10^{-7}} \approx 4.568 \times 10^{14}\ \text{Hz} \]
Resultado: \(\lambda \approx 656.47\) nm, \(\nu \approx 456.81\) THz, energía del fotón \(E \approx 1.89\) eV \((3.03 \times 10^{-19}\) J): la línea roja Hα de la serie de Balmer.
Cómo usar la calculadora de la ecuación de Rydberg
- Introduce el nivel inicial (n_i): el número cuántico principal del que parte el electrón. Para una línea de emisión es el nivel más alto (p. ej., 3).
- Introduce el nivel final (n_f): el nivel en el que acaba el electrón. Para una línea de emisión es el nivel más bajo (p. ej., 2).
- Ambos números deben ser enteros entre 1 y 100, y tienen que ser distintos: niveles idénticos no producen ningún fotón.
- Lee los resultados: la longitud de onda en nanómetros, la frecuencia en terahercios y la energía del fotón tanto en eV como en julios, junto con el tipo de transición, la serie espectral y la región del espectro.
Si \(n_i > n_f\), la calculadora describe una línea de emisión (el electrón cae y libera un fotón); si \(n_i < n_f\), describe una línea de absorción (el electrón sube de nivel al absorber un fotón de exactamente la misma longitud de onda).
¿Qué es la ecuación de Rydberg?
La ecuación de Rydberg, formulada por Johannes Rydberg en 1888, predice las longitudes de onda de todas las líneas espectrales del hidrógeno atómico. Convirtió la fórmula empírica de Balmer para las líneas visibles en una única expresión que abarca todo el espectro. En 1913 Niels Bohr explicó por qué funciona: el electrón de un átomo de hidrógeno solo puede ocupar los niveles discretos \(n = 1, 2, 3, \ldots\), y un fotón se emite o se absorbe cuando el electrón salta entre ellos, transportando exactamente la diferencia de energía entre los dos niveles.
Como cada nivel tiene una energía fija, cada par de niveles corresponde a una longitud de onda concreta. Por eso el espectro del hidrógeno no es un arcoíris continuo, sino un conjunto de líneas nítidas —y por eso esas líneas actúan como huella dactilar del hidrógeno tanto en el análisis de laboratorio como en astronomía.
Las líneas se agrupan en series que toman el nombre de su nivel inferior: la serie de Lyman (hasta \(n = 1\), ultravioleta), la serie de Balmer (hasta \(n = 2\), con las líneas visibles Hα 656 nm, Hβ 486 nm, Hγ 434 nm y Hδ 410 nm) y las series de Paschen (hasta \(n = 3\)), Brackett (hasta \(n = 4\)) y Pfund (hasta \(n = 5\)), todas en el infrarrojo. A medida que crece el nivel superior, las líneas se apiñan y convergen hacia el límite de la serie, más allá del cual el átomo queda ionizado. La calculadora identifica la serie automáticamente y reconoce varias líneas célebres, como Hα y Lyman-alfa.
La energía del fotón merece una lectura física: \(E \approx 1.89\) eV para Hα corresponde al salto entre los niveles \(n = 2\) y \(n = 3\), y 13,6 eV —el límite de la serie de Lyman— es la energía de ionización del hidrógeno desde el estado fundamental.
Supuestos y limitaciones
- La fórmula solo se aplica al átomo de hidrógeno (\(Z = 1\)) en fase gaseosa. Para iones hidrogenoides como He⁺ o Li²⁺, multiplica el lado derecho por \(Z^2\).
- Las longitudes de onda son valores en el vacío, calculados con la constante de masa reducida \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\). En el aire, las líneas se desplazan unas 0,1–0,3 nm (Hα aparece a 656,28 nm en lugar de 656,47 nm).
- Se desprecian la estructura fina, el desplazamiento de Lamb y los efectos isotópicos (deuterio, tritio); provocan desdoblamientos inferiores al nanómetro que solo importan en espectroscopia de alta resolución.
- El modelo trata el átomo como un único electrón en torno a un único núcleo: no sirve para átomos polielectrónicos, moléculas ni sólidos.
Si analizas otro tipo de espectros o conversiones de energía, quizá te resulten útiles nuestra calculadora de la ley de Bragg para el análisis de longitudes de onda por difracción o la calculadora del potencial estándar de celda para cálculos de energía electroquímica. Para el comportamiento cinético de átomos en fase gaseosa, consulta la calculadora de la velocidad molecular de un gas.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo a mano una longitud de onda del hidrógeno con la fórmula de Rydberg?
Toma los inversos de los números cuánticos al cuadrado, réstalos y multiplica por la constante de Rydberg: \(1/\lambda = R_H \cdot |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Después invierte el resultado para obtener la longitud de onda en metros. Por ejemplo, para \(n_i = 4, n_f = 2\): \(1/\lambda = 1.0967758\times10^7 \times 3/16 = 2.056\times10^6\ \text{m}^{-1}\), de modo que \(\lambda \approx 486\) nm: la línea turquesa Hβ.
¿Importa qué nivel introduzco primero, el inicial o el final?
No: la longitud de onda, la frecuencia y la energía del fotón son idénticas en ambos casos, porque la fórmula usa un valor absoluto. Solo cambia la interpretación: si introduces primero el nivel superior, describes una emisión (el electrón cae y libera un fotón); si introduces primero el nivel inferior, describes la absorción de un fotón con la misma longitud de onda. Lo único que debes evitar es introducir dos veces el mismo número: niveles iguales no producen fotón alguno.
¿Por qué la calculadora rechaza mi dato cuando los dos números cuánticos son iguales?
Cuando \(n_i = n_f\), el término \(1/n_f^2 - 1/n_i^2\) vale cero, así que el número de onda es cero y la longitud de onda sería infinita: físicamente no hay transición ni fotón, porque la energía del electrón no cambia. Elige dos números enteros distintos, cada uno como mínimo 1. Ten en cuenta además que n debe ser un entero: valores como 1,5 no son niveles de energía válidos.
¿Entre qué longitudes de onda pueden estar las líneas del hidrógeno?
La línea más corta posible es el límite de Lyman, en torno a 91,2 nm (ultravioleta lejano), que corresponde a la energía de ionización completa de 13,6 eV desde el estado fundamental. Cuanto más alto es el nivel superior, la longitud de onda es mayor y las líneas se apiñan al acercarse al límite de cada serie. Las transiciones que terminan en n = 2 caen entre 410 nm y 656 nm: las únicas líneas del hidrógeno visibles al ojo humano; todo lo que llega a n = 1 es ultravioleta y todo lo que llega a n ≥ 3 es infrarrojo.
¿Puedo usar esta calculadora para He⁺, Li²⁺ u otros iones hidrogenoides?
No directamente, pero la corrección es sencilla. Para un ion de un solo electrón con carga nuclear Z, multiplica el número de onda por \(Z^2\): \(1/\lambda = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Toma la longitud de onda que te da esta calculadora y divídela por \(Z^2\). Para He⁺ (Z = 2), cada línea es cuatro veces más corta que la correspondiente del hidrógeno. La fórmula no funciona para el helio neutro ni para ningún átomo polielectrónico.
¿Por qué mi longitud de onda medida de Hα difiere un poco de los 656,47 nm calculados?
Por dos motivos habituales. Primero, la calculadora devuelve longitudes de onda en el vacío; en el aire la línea se desplaza unas 0,1–0,3 nm (en aire estándar, Hα se observa a 656,28 nm). Segundo, los instrumentos de alta resolución separan la estructura fina, el desplazamiento de Lamb y los desdoblamientos isotópicos, que este modelo sencillo ignora. En astronomía, el movimiento del gas también desplaza las líneas por efecto Doppler: una línea Hα desplazada hacia el rojo o hacia el azul es normal y, de hecho, se usa para medir velocidades.
¿Cuál es la diferencia entre R_H y la constante de Rydberg R∞ que veo en los libros de texto?
\(R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{m}^{-1}\) supone un núcleo de masa infinita, mientras que \(R_H = 1.0967758\times10^7\ \text{m}^{-1}\) está corregida por la masa reducida finita del sistema electrón-protón en el hidrógeno real. La diferencia ronda el 0,05 %, lo que desplaza Hα en torno a un tercio de nanómetro. Esta calculadora usa \(R_H\), de modo que sus resultados coinciden mejor con las líneas observadas del hidrógeno; usa \(R_\infty\) solo cuando el núcleo se considera fijo.