Калькулятор конечной скорости падения — максимальная скорость падения

Максимальная скорость падения тела с учётом сопротивления воздуха

Масса (m)

Масса падающего тела. По умолчанию в примере: взрослый человек средней комплекции.

Коэффициент сопротивления (Cd)

Cₑ

Насколько тело обтекаемо. Типичные значения: шар — 0,47; куб — 1,05; парашютист (плашмя) — 1,0; парашютист (головой вниз) — 0,7; хорошо обтекаемое тело — 0,04.

Плотность воздуха (ρ)

Плотность среды, сквозь которую падает тело. Воздух на уровне моря при 15 °C ≈ 1,225 kg/m³; на высоте 5 км ≈ 0,736 kg/m³.

Площадь поперечного сечения (A)

Лобовая площадь, обращённая к потоку. Парашютист, летящий плашмя, ≈ 0,7 m²; шар диаметром 10 см ≈ 0,0079 m².

Ускорение свободного падения (g)

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Результаты расчёта предельной скорости

Предельная скорость

Формула, силы и подробности

Формула конечной скорости падения

Формула

\[ v_t = \sqrt{\frac{2 m g}{\rho A C_d}} \]

Где:

\(v_t\) — конечная скорость (м/с)
\(m\) — масса тела (кг)
\(g\) — ускорение свободного падения (м/с²)
\(\rho\) — плотность среды, обычно воздуха (кг/м³)
\(A\) — площадь поперечного (лобового) сечения, обращённая к потоку (м²)
\(C_d\) — коэффициент лобового сопротивления (безразмерный)

Формула выводится из равенства двух сил: веса \(mg\), тянущего тело вниз, и аэродинамического сопротивления \(\tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A\), направленного вверх. Когда они равны, равнодействующая сила равна нулю и тело перестаёт ускоряться — эта скорость и есть конечная скорость падения.

Конечная скорость — пример расчёта

Пример: парашютист массой 80 кг падает в горизонтальном положении «на живот» сквозь воздух на уровне моря. Лобовая площадь составляет примерно 0,7 м², коэффициент сопротивления для положения лёжа на животе — около 1,0, а плотность воздуха на уровне моря (15 °C) равна 1,225 кг/м³.

\[ v_t = \sqrt{\frac{2 \times 80 \times 9.80665}{1.225 \times 0.7 \times 1.0}} = \sqrt{\frac{1569.06}{0.8575}} \approx 42.8 \text{ м/с} \]

Результат: конечная скорость составляет около 42,8 м/с, то есть примерно 154 км/ч (95,7 mph) — как раз в диапазоне, ожидаемом для парашютиста в положении лёжа на животе. При такой скорости сила сопротивления равна весу: \(F_d = 784.5\) Н, что совпадает с \(W = 80 \times 9.80665 = 784.5\) Н.

Как пользоваться калькулятором конечной скорости

Введите массу (m) падающего тела и выберите единицу измерения (кг, г или фунты).
Введите коэффициент лобового сопротивления (Cd). Используйте 0,47 для шара, около 1,0 для парашютиста лёжа на животе, 0,7 для парашютиста в положении «вниз головой» или 0,04 для обтекаемого тела.
Введите плотность воздуха (ρ) в кг/м³, г/л или фунтах на фут³. Воздух на уровне моря при 15 °C имеет плотность около 1,225 кг/м³; на высоте 5 км она падает примерно до 0,736 кг/м³.
Введите площадь поперечного сечения (A) — лобовую площадь, обращённую к потоку, — в м², см², фут² или дюйм².
Выберите ускорение свободного падения (g) для места падения: Земля, Луна, Марс или Юпитер.
Получите конечную скорость в м/с, км/ч, mph, фут/с и узлах, а также силы и баллистический коэффициент \(m/(C_d A)\).

Что такое конечная скорость падения?

Когда тело падает, сила тяжести ускоряет его вниз. Но сопротивление воздуха растёт пропорционально квадрату скорости: увеличьте скорость вдвое — и сопротивление возрастёт вчетверо. По мере разгона тела сила сопротивления продолжает расти, пока точно не уравняется с его весом. В этот момент силы компенсируют друг друга, ускорение становится нулевым, и тело продолжает падать с постоянной скоростью — своей конечной скоростью.

Конечная скорость — не фиксированное число для данного тела: она зависит от среды и ориентации тела. Парашютист лёжа на животе развивает около 50 м/с (180 км/ч), но, перейдя в положение «вниз головой» и прижав руки (меньшая площадь, меньший коэффициент сопротивления), тот же человек может превысить 90 м/с. При раскрытом парашюте площадь резко возрастает, а \(C_d\) увеличивается, снижая конечную скорость до безопасных 5–8 м/с. Мелкая градина падает со скоростью 10–30 м/с, а капля дождя — лишь около 9 м/с.

Обратите внимание, что формула говорит с физической точки зрения. Конечная скорость растёт как квадратный корень из массы и ускорения свободного падения: более тяжёлые тела или более сильная гравитация означают более быстрое падение. Она уменьшается с квадратным корнем из плотности, площади и коэффициента сопротивления: более плотный воздух, большая лобовая площадь или более «плашмя» ориентированная форма замедляют тело. Поскольку масса и площадь действуют в противоположных направлениях, плотное компактное тело (пушечное ядро) падает гораздо быстрее лёгкого и расплосканного (листа бумаги) — именно поэтому перо и молоток Галилея падают одинаково только в вакууме.

Тело никогда точно не достигает своей конечной скорости; оно приближается к ней асимптотически. На практике падающее тело достигает примерно 95% от \(v_t\) за время около \(3v_t/g\) секунд, что для большинства бытовых предметов в воздухе составляет несколько секунд.

Допущения, ограничения и практические советы

Только квадратичное сопротивление. Формула предполагает, что сопротивление пропорционально \(v^2\), что справедливо для типичных падающих тел при высоких числах Рейнольдса. Очень мелкие и медленные частицы (пыль, капельки тумана) подчиняются закону Стокса (линейное сопротивление) и падают медленнее, чем предсказывает эта формула.
Постоянные исходные данные. Реальная плотность воздуха падает с высотой — парашютист, прыгающий с 10 км, в разреженном верхнем воздухе развивает большую скорость, чем на уровне моря. Для падений с больших высот выполните расчёт с плотностью на разных высотах и посмотрите, как меняется \(v_t\).
Жёсткое тело с фиксированной ориентацией. \(C_d\) и \(A\) считаются постоянными. Кувыркающееся тело или гибкое тело (например, человек) меняет оба параметра, поэтому относитесь к результату как к хорошей оценке, а не к точной цифре.
Без учёта выталкивающей силы. Для плотных тел в воздухе выталкивание пренебрежимо мало, но для лёгких тел в воде оно существенно; в этом случае сначала вычтите выталкивающую силу из веса.
Справочные значения. Полезные коэффициенты сопротивления: шар — 0,47, куб — 1,05, обтекаемое тело — 0,04, велосипедист — 0,9–1,1, белоголовый орёл в пикировании — до 0,16.

Если вы хотите проанализировать падение до достижения конечной скорости — расстояния, времена и промежуточные скорости, — объедините этот результат с калькулятором кинематических уравнений или калькулятором конечной скорости движения. Энергетический взгляд на падение охватывается калькуляторами кинетической энергии и закона сохранения энергии, а калькулятор силы трения работает с аналогичным не зависящим от скорости сопротивлением на поверхностях.

Часто задаваемые вопросы

Какова конечная скорость человека, падающего без парашюта?

Взрослый человек в устойчивом положении «лёжа на живот» развивает около 50–55 м/с (180–200 км/ч, примерно 120 mph). В положении «вниз головой» с прижатыми руками скорость может превысить 90 м/с (320 км/ч). Точное значение зависит от массы тела, одежды и положения. Никогда не полагайтесь на эти цифры в вопросах безопасности — это физическая оценка, а не руководство по парашютному спорту.

Как вычислить площадь поперечного сечения для простой формы?

Используйте лобовую площадь, обращённую в сторону движения. Для шара диаметром d это \(A = \pi d^2/4\) — шар диаметром 10 см даёт примерно 0,0079 м². Для цилиндра, падающего плоским торцом вперёд, используйте \(\pi r^2\); для падающего куба или коробки — площадь грани, обращённой вниз. Если тело кувыркается, возьмите среднее по крайним ориентациям.

Достигает ли тело конечной скорости в вакууме?

Нет. Без воздуха нет сопротивления, поэтому ничто не уравновешивает силу тяжести, и тело ускоряется в течение всего падения. Именно поэтому перо и молоток, брошенные на Луне (это показали в эксперименте миссии «Аполлон-15»), упали на поверхность одновременно. Конечная скорость существует только в среде, например в воздухе или воде.

Можно ли использовать этот калькулятор для тел, падающих в воде?

Только как грубую оценку. Задайте плотность около 1000 кг/м³ для пресной воды, но важны две поправки: выталкивающая сила уменьшает эффективный вес (вычтите вес вытесненной воды из mg), и многие тела в воде движутся при низких числах Рейнольдса, где действует линейное сопротивление Стокса, а не квадратичное. Для тонущего шара или ныряльщика квадратичная формула обычно остаётся вполне приличным приближением.

Как перевести конечную скорость между м/с, км/ч и mph?

Умножьте м/с на 3,6, чтобы получить км/ч, или на 2,237, чтобы получить mph. В обратную сторону разделите км/ч на 3,6 или mph на 2,237. Например, 42,8 м/с — это 154 км/ч и примерно 95,7 mph. Чтобы получить футы в секунду, разделите м/с на 0,3048.

Почему более тяжёлые тела падают в воздухе быстрее, если гравитация ускоряет все тела одинаково?

Гравитация действительно ускоряет все массы одинаково, но сопротивлению воздуха нет дела до массы. Удвоение массы удваивает вес, тогда как сопротивление при тех же размерах и форме остаётся прежним, поэтому более тяжёлое тело должно падать быстрее, чтобы сопротивление уравновесило его вес — \(v_t\) растёт как \(\sqrt{m}\). Два тела равной массы также могут падать с разной скоростью, если одно компактное (малое A), а другое расплосканное (большое A).

Какой коэффициент сопротивления использовать, если форма тела неизвестна?

Для грубой оценки неправильного «плашмя» падающего тела используйте 1,0–1,2 (похоже на куб или человека). Округлая или полусферическая форма — около 0,4–0,5, а обтекаемое тело вроде пули или корпуса дирижабля — вплоть до 0,04. Поскольку \(v_t\) зависит от квадратного корня из \(C_d\), двукратная ошибка в коэффициенте сопротивления меняет результат лишь примерно на 40%, так что разумной оценки обычно достаточно.