Калькулятор формулы тонкой линзы
Решите уравнение тонкой линзы 1/f = 1/do + 1/di для расстояния до изображения, расстояния до предмета или фокусного расстояния. Введите любые два известных значения и получите третье, а также тип изображения, увеличение и высоту изображения.
Найдите недостающее расстояние или фокусное расстояние
Формула тонкой линзы
Где:
- \(f\) — фокусное расстояние линзы (м)
- \(d_o\) — расстояние до предмета: от предмета до линзы (м)
- \(d_i\) — расстояние до изображения: от линзы до изображения (м)
Решение относительно неизвестной величины даёт три эквивалентные формы: \(d_i = \dfrac{d_o f}{d_o - f}\), \(d_o = \dfrac{d_i f}{d_i - f}\) и \(f = \dfrac{d_o d_i}{d_o + d_i}\). Когда все три расстояния известны, поперечное увеличение находится как \(m = -\dfrac{d_i}{d_o}\), а высота изображения — как \(h_i = m\,h_o\).
Формула линзы — пример расчёта
Пример: предмет находится в 30 см перед собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 см, высота предмета — 5 см. Где образуется изображение и какое оно?
\[ d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} = \frac{0.30 \times 0.10}{0.30 - 0.10} = \frac{0.03}{0.20} = 0.15\ \text{м} \]
\[ m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{0.15}{0.30} = -0.5 \]
\[ h_i = m\,h_o = -0.5 \times 0.05 = -0.025\ \text{м} \]
Результат: изображение формируется в 15 см за линзой (действительное, поскольку \(d_i > 0\)). Увеличение равно \(-0.5\times\), то есть изображение перевёрнутое и вдвое меньше предмета: его высота 2,5 см.
Как пользоваться калькулятором
- В выпадающем списке «Рассчитать» выберите величину, которую нужно найти: Расстояние до изображения (di), Расстояние до предмета (do) или Фокусное расстояние (f). Поле для этой величины скрывается — вы вводите две другие.
- Введите два известных расстояния в поля Расстояние до предмета (do) и Фокусное расстояние (f) (или Расстояние до изображения (di), если ищете do) и выберите единицу измерения (мм, см, м, дюймы или футы) для каждой величины.
- При желании введите Высоту предмета (ho), если вам также нужна высота изображения. Оставьте поле пустым, чтобы пропустить этот расчёт.
- Прочитайте результаты: найденное расстояние (переведённое в метры, сантиметры, миллиметры, дюймы и футы), тип линзы, является ли изображение действительным или мнимым, а также увеличение, ориентацию и высоту изображения.
Что описывает формула тонкой линзы
Формула тонкой линзы связывает положение предмета, положение его изображения и фокусное расстояние линзы. Линза отклоняет параллельные лучи так, что они либо сходятся в точке (собирающая, или выпуклая, линза с \(f > 0\)), либо словно расходятся из неё (рассеивающая, или вогнутая, линза с \(f < 0\)). Фокусное расстояние — это расстояние от линзы до этой точки, и оно полностью определяет, как линза строит изображения предметов — при условии, что линза тонкая по сравнению с рассматриваемыми расстояниями.
Знаковая договорённость имеет большое значение. Действительный предмет перед линзой имеет \(d_o > 0\). Положительное расстояние до изображения означает действительное изображение: свет действительно сходится по другую сторону линзы, поэтому его можно поймать на экране или матрице — так работают фотоаппараты и проекторы. Отрицательное расстояние до изображения означает мнимое изображение: лучи лишь кажутся исходящими из точки со стороны предмета, поэтому увидеть его можно, только глядя сквозь линзу, как через лупу или очки.
Увеличение \(m = -d_i/d_o\) показывает, как изображение соотносится с предметом. Его абсолютное значение — это отношение размеров: \(|m| = 2\) означает, что изображение вдвое выше. Знак определяет ориентацию: отрицательное \(m\) — изображение перевёрнутое (вверх ногами), положительное \(m\) — прямое. Действительные изображения, даваемые одиночной собирающей линзой, перевёрнутые; мнимые — прямые.
Стоит запомнить два особых случая. Если предмет находится точно в фокусе (\(d_o = f\)), изображение формируется на бесконечности — это режим работы прожектора или коллиматора. Если предмет очень далеко (\(d_o \to \infty\)), то \(d_i = f\): параллельные падающие лучи собираются в фокусе — именно так камера фокусирует удалённую сцену на матрицу.
Знаковые договорённости кратко
| Величина | Положительное значение | Отрицательное значение |
|---|---|---|
| Фокусное расстояние \(f\) | Собирающая (выпуклая) линза | Рассеивающая (вогнутая) линза |
| Расстояние до предмета \(d_o\) | Действительный предмет перед линзой | Мнимый предмет (редко, например в системах линз) |
| Расстояние до изображения \(d_i\) | Действительное изображение за линзой (можно спроецировать) | Мнимое изображение со стороны предмета |
| Увеличение \(m\) | Прямое изображение | Перевёрнутое изображение |
Допущения и ограничения
- Тонкая линза: толщина линзы считается пренебрежимо малой по сравнению с \(d_o\), \(d_i\) и \(f\). Для толстых линз и систем линз расстояния, измеренные от главных плоскостей, дают небольшие поправки.
- Параксиальные лучи: формула справедлива для лучей, близких к оптической оси и идущих под малыми углами. Линзы с большой апертурой страдают от аберраций, смещающих истинный фокус.
- Одна длина волны: фокусное расстояние немного зависит от цвета света (хроматическая аберрация), поэтому результат точен только для одной длины волны.
- Калькулятор использует описанную выше стандартную знаковую договорённость. Если в вашем учебнике принята другая, преобразуйте знаки перед сравнением результатов.
- Расстояния должны быть ненулевыми, а вырожденные случаи (\(d_o = f\), \(d_i = f\) или \(d_o = -d_i\)) соответствуют изображениям или предметам на бесконечности и отклоняются с пояснением.
Связанные калькуляторы
Другие инструменты по физике: решатель кинематических уравнений для задач о движении, калькулятор перемещения для изменения положения или калькулятор мощности для переноса энергии во времени.
Часто задаваемые вопросы
Как решить уравнение тонкой линзы вручную?
Исходите из \( 1/f = 1/d_o + 1/d_i \) и решите относительно неизвестной величины. Для расстояния до изображения: \( d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} \). Для фокусного расстояния: \( f = \frac{d_o d_i}{d_o + d_i} \). Проверяйте арифметику калькулятором — он ещё и сам применяет знаковую договорённость, на чём ручные расчёты чаще всего и ошибаются.
Почему моё расстояние до изображения отрицательное — это ошибка?
Нет, отрицательное \( d_i \) означает, что изображение мнимое. Оно формируется с той же стороны линзы, что и предмет, поэтому его нельзя спроецировать на экран — его видно, только если смотреть сквозь линзу. Это происходит всегда, когда предмет ближе к собирающей линзе, чем её фокус, — именно так работает лупа. Такое изображение прямое и увеличенное.
Работает ли формула тонкой линзы для вогнутых (рассеивающих) линз?
Да, но фокусное расстояние нужно вводить как отрицательное число. Для рассеивающей линзы \( f < 0 \), и действительный предмет всегда даёт мнимое, прямое, уменьшенное изображение со стороны предмета. Именно поэтому очки при близорукости делают из отрицательных линз. Если ввести положительное фокусное расстояние для вогнутой линзы, все результаты окажутся неверными.
Как перевести фокусное расстояние в оптическую силу линзы в диоптриях?
Оптическая сила — это величина, обратная фокусному расстоянию в метрах: \( P = 1/f \), измеряется в диоптриях (дптр). Линза с \( f = 0.25 \) м имеет \( P = 4 \) дптр; рассеивающая линза с \( f = -0.5 \) м имеет \( P = -2 \) дптр. Рецепты на очки выписываются в диоптриях, а для объективов фотоаппаратов обычно указывают фокусное расстояние в миллиметрах — этот перевод связывает обе системы.
Можно ли использовать эту формулу и для зеркал?
Да. Та же формула применима к сферическим зеркалам с той же знаковой договорённостью: вогнутое зеркало ведёт себя как собирающая линза (\( f > 0\)), а выпуклое — как рассеивающая (\( f < 0\)). Фокусное расстояние зеркала равно половине его радиуса кривизны: \( f = R/2 \). Главное физическое отличие в том, что зеркало строит действительные изображения с той же стороны, где находится предмет.
Что будет, если предмет находится ровно в фокусе?
Формула перестаёт работать: при \( d_o = f \) преломлённые лучи выходят из линзы параллельно и никогда не сходятся, поэтому изображение формируется на бесконечности. Это не ошибка в ваших данных — это настоящий вырожденный случай, намеренно используемый в прожекторах и коллиматорах для получения параллельного пучка. Калькулятор распознаёт его и объясняет, вместо того чтобы выдавать бесконечное значение.
Какие ошибки при работе с этой формулой самые частые?
Три главные: потеря знака отрицательного фокусного расстояния или расстояния до изображения, смешение единиц (сантиметры вместо метров или наоборот) и путаница между расстоянием до предмета и расстоянием до изображения. Кроме того, помните, что формула предполагает тонкую линзу и малые углы — толстая линза или система с большой апертурой немного отклоняется от неё, и результаты измерений могут отличаться на несколько процентов.