Калькулятор средней длины свободного пробега молекул газа
Рассчитайте среднюю длину свободного пробега молекул газа по температуре, давлению и диаметру столкновений. Задайте условия в любых привычных единицах и получите λ в нм, мкм, мм или м.
Расчёт длины свободного пробега по температуре, давлению и диаметру столкновений
Средняя длина свободного пробега
Где:
- \(\lambda\) — средняя длина свободного пробега, то есть среднее расстояние, которое молекула пролетает между столкновениями (м)
- \(k = 1.380649\times10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана (точное значение в СИ)
- \(T\) — абсолютная температура газа (К)
- \(d\) — эффективный диаметр столкновений молекул в модели твёрдых сфер (м)
- \(p\) — абсолютное давление газа (Па)
- \(\sigma = \pi d^{2}\) — эффективное сечение столкновения (м²)
- \(n = p/(kT)\) — концентрация молекул, то есть их число в единице объёма (м⁻³)
Формула следует из кинетической теории разреженного газа: на единице пройденного пути молекула «заметает» объём столкновения \(\sigma\), а множитель \(\sqrt{2}\) учитывает относительное движение сталкивающихся пар.
Средняя длина свободного пробега — пример расчёта
Пример: азот при комнатной температуре и атмосферном давлении (25 °C, 1 атм) с диаметром столкновений 0,37 нм — это значения, установленные в калькуляторе по умолчанию.
\[ T = 25 + 273.15 = 298.15\ \text{K}, \quad p = 1\ \text{atm} = 101{,}325\ \text{Pa}, \quad d = 0.37\ \text{nm} = 3.7\times10^{-10}\ \text{m} \]
\[ \sigma = \pi d^{2} = \pi \times (3.7\times10^{-10})^{2} = 4.30\times10^{-19}\ \text{m}^{2} \]
\[ \lambda = \frac{1.380649\times10^{-23} \times 298.15}{\sqrt{2} \times \pi \times (3.7\times10^{-10})^{2} \times 101{,}325} = \frac{4.116\times10^{-21}}{6.162\times10^{-14}} \]
Результат: \(\lambda \approx 6.68\times10^{-8}\) м ≈ 66,8 нм. При комнатных условиях молекула азота в среднем пролетает около 67 нанометров — примерно 180 молекулярных диаметров — прежде чем столкнётся с другой молекулой.
Как пользоваться калькулятором
- Введите Температуру газа (T) и выберите единицу (°C, К или °F). Абсолютная шкала учитывается корректно: 25 °C автоматически переводится в 298,15 К.
- Введите Давление (p) с указанием единицы (атм, кПа, Па, бар, мм рт. ст./Торр или psi). Убедитесь, что это абсолютное давление, а не избыточное.
- Введите Диаметр столкновений (d) молекул в нм, пм или Å. Типичные значения: N₂ ≈ 0,37 нм, O₂ ≈ 0,36 нм, Ar ≈ 0,34 нм, He ≈ 0,26 нм.
- Выберите единицу вывода в поле Показать длину свободного пробега в — нанометры удобны при давлениях, близких к атмосферному, микрометры или метры — для вакуумных условий.
- Получите длину свободного пробега (λ), её значение во всех распространённых единицах длины и пошаговое описание расчёта.
Что такое средняя длина свободного пробега?
Средняя длина свободного пробега \(\lambda\) — это среднее расстояние, которое молекула газа пролетает между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами. В воздухе на уровне моря она составляет всего около 70 нм — молекула сталкивается миллиарды раз в секунду. В камере высокого вакуума у того же газа длина свободного пробега может достигать сантиметров и метров: молекулы летят почти беспрепятственно, пока не ударятся о стенки камеры.
Величина определяется двумя конкурирующими факторами. Концентрация \(n = p/(kT)\) показывает, насколько «тесно» молекулам: чем их больше в кубическом метре, тем короче перелёты. Сечение столкновения \(\sigma = \pi d^2\) показывает, насколько крупную «мишень» представляет собой каждая молекула. Вместе они дают \(\lambda = 1/(\sqrt{2}\,\sigma\,n)\) — это то же самое, что и формула через давление, которую использует калькулятор.
Результат меняется вполне предсказуемо: при снижении давления вдвое \(\lambda\) увеличивается вдвое, при росте температуры при неизменном давлении \(\lambda\) растёт пропорционально, а при увеличении диаметра молекулы вдвое \(\lambda\) уменьшается в четыре раза — ведь сечение растёт как \(d^2\). Именно поэтому длина свободного пробега — ключевой параметр вакуумной техники: она определяет, ведёт себя газ как сплошная среда или в свободномолекулярном (кнудсеновском) режиме.
Если вы хотите знать, с какой скоростью молекулы летят между столкновениями, используйте результат вместе с калькулятором скорости молекул газа — разделив среднюю скорость на длину свободного пробега, вы получите частоту столкновений.
Как интерпретировать результат
В блоке «В других единицах» также выводятся концентрация молекул \(n\) и среднее расстояние между ними, \(n^{-1/3}\). Полезная проверка на адекватность: длина свободного пробега должна быть значительно больше и диаметра молекул, и расстояния между ними (для воздуха это примерно 180 таких расстояний). Если \(\lambda\) становится сопоставимой с размером вашей установки, вы находитесь в режиме молекулярного течения, где привычный смысл вязкости и давления сплошной среды теряется.
С нашими другими инструментами вы можете рассчитать и связанные свойства газа — например, с помощью калькулятора плотности газа или калькулятора закона Авогадро, который связывает число молекул с объёмом при постоянных температуре и давлении.
Допущения и ограничения
- Модель твёрдых сфер: молекулы считаются жёсткими шариками одного диаметра. Реальные молекулы взаимодействуют через мягкие дальнодействующие потенциалы, поэтому табличные диаметры столкновений — эффективные значения, подобранные обычно по данным о вязкости; ожидайте точность порядка ±20%.
- Разреженный идеальный газ: формула предполагает \(\lambda \gg d\), то есть столкновения — короткие парные события. Для плотных газов и вблизи конденсации она не работает; для плотных и неидеальных условий см. калькулятор уравнения Ван-дер-Ваальса.
- Однокомпонентный газ: предполагается один одинаковый диаметр для всех молекул. Для смесей нужно оценивать эффективный диаметр (например, по данным о вязкости смеси).
- Распределение Максвелла — Больцмана: множитель \(\sqrt{2}\) опирается на равновесное распределение скоростей, что справедливо в большинстве практических условий.
- Требуется абсолютное давление: манометр показывает ноль при 1 атм, но физика определяется абсолютным давлением. Ничего не вычитайте: если манометр показывает 0 бар при окружающей среде, введите около 1 атм, а не 0 (нулевое давление всё равно не принимается).
Типичные значения при 25 °C
| Давление | λ для N₂ (d = 0,37 нм) | Режим |
|---|---|---|
| 1 атм (101 325 Па) | ≈ 67 нм | Течение сплошной среды |
| 1/100 атм ≈ 1013 Па | ≈ 6,7 мкм | Переходный режим |
| 1 Па | ≈ 6,8 мкм | Начало кнудсеновского течения |
| 10⁻⁶ атм (высокий вакуум) | ≈ 6,7 см | Молекулярное течение |
Обратите внимание, как быстро растёт λ при падении давления: при постоянной температуре уменьшение давления в 10 раз увеличивает длину свободного пробега в 10 раз.
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать длину свободного пробега вручную, без калькулятора?
Сначала переведите всё в единицы СИ: температуру — в кельвины, давление — в паскали, диаметр — в метры. Затем подставьте значения в \( \lambda = kT/(\sqrt{2}\pi d^2 p) \). Для быстрой оценки воздуха на уровне моря при комнатной температуре запомните ориентир \( \lambda \approx 68\ \text{nm} \) и масштабируйте его: умножьте на \( T/298 \), разделите на \( p/101325 \) (p в паскалях) и разделите на \( (d/0.37\ \text{nm})^2 \). Такой приём даёт хорошее представление об ответе ещё до полного расчёта.
Какое значение длины свободного пробега нормально для воздуха?
На уровне моря при 25 °C молекулы воздуха пролетают между столкновениями примерно 65–70 нм — около 180 молекулярных диаметров. Точное число немного зависит от того, какой эффективный диаметр вы примете для воздушной смеси (воздух состоит в основном из N₂ и O₂, поэтому разумно взять d ≈ 0,37 нм). На высоте 100 км давление настолько мало, что длина свободного пробега вырастает до нескольких сантиметров и больше — поэтому при входе космических аппаратов в атмосферу газ ведёт себя не как сплошная среда.
Почему результат неверный, если я ввожу давление в мм рт. ст., барах или psi?
Самая частая ошибка — ввод избыточного давления вместо абсолютного. Манометр в шине, показывающий 32 psi, означает примерно 46 psi абсолютных (32 + 14,7 атмосферных), а вакуумметр, показывающий 0 бар в окружающей среде, на самом деле означает 1 атм. Другая ловушка — путаница единиц: 1 мм рт. ст. (Торр) = 133,322 Па, а не 1 Па. Всегда спрашивайте себя, абсолютное ли у вас показание; если нет, прибавьте атмосферное давление перед вводом.
Можно ли пользоваться калькулятором для смесей газов — например, воздуха или природного газа?
Только приближённо. Формула предполагает единственный диаметр твёрдой сферы, поэтому для смесей нужен эффективный диаметр столкновений. Практичный подход — взять среднее диаметров компонентов с учётом их мольных долей (для воздуха, состоящего в основном из N₂ и O₂, это даст значение около 0,37 нм). Для точных работ выведите эффективный диаметр из измеренной вязкости смеси и ожидайте точности лишь в пределах примерно ±20%.
Чем длина свободного пробега отличается от числа Кнудсена?
Длина свободного пробега \( \lambda \) — свойство самого газа, а число Кнудсена \( Kn = \lambda/L \) сравнивает её с характерным размером системы \( L \), например диаметром трубы. При \( Kn \ll 1 \) газ ведёт себя как сплошная среда; при \( Kn \gg 1 \) наблюдается свободномолекулярное (кнудсеновское) течение, где молекулы сталкиваются в основном со стенками, а не друг с другом. Сначала вычислите \( \lambda \) здесь, а затем разделите её на размер вашей установки, чтобы определить режим течения.
Как по длине свободного пробега найти частоту столкновений?
Разделите среднюю скорость молекул на длину свободного пробега: \( f = \bar{v}/\lambda \). Средняя скорость по статистике Максвелла — Больцмана равна \( \bar{v} = \sqrt{8kT/(\pi m)} \), где m — масса одной молекулы. Для азота при комнатных условиях это даёт примерно 5×10⁹ столкновений в секунду. Среднюю скорость \( \bar{v} \) можно получить калькулятором скорости молекул, а затем подставить сюда значение λ.
Зависит ли длина свободного пробега от того, одноатомный газ или двухатомный?
Напрямую — нет: в формуле фигурируют только температура, давление и диаметр столкновений, а не внутреннее строение молекулы. От газа к газу меняется лишь эффективный диаметр: гелий (0,26 нм) меньше азота (0,37 нм), поэтому при тех же T и p длина свободного пробега гелия примерно вдвое больше. Вращательные и колебательные степени свободы двухатомных молекул влияют на теплоёмкость, но в выражение для длины свободного пробега в модели твёрдых сфер не входят.