Калькулятор середньої довжини вільного пробігу молекул газу
Обчисліть середню довжину вільного пробігу молекул газу за температурою, тиском і діаметром зіткнення. Введіть параметри газу в будь-яких поширених одиницях і отримайте λ у нм, мкм, мм або м.
Середня довжина вільного пробігу за температурою, тиском і діаметром зіткнень
Середня довжина вільного пробігу
Де:
- \(\lambda\) — середня довжина вільного пробігу: середня відстань, яку молекула проходить між двома послідовними зіткненнями (м)
- \(k = 1.380649\times10^{-23}\) Дж/К — стала Больцмана (точне значення в СІ)
- \(T\) — абсолютна температура газу (К)
- \(d\) — діаметр зіткнення молекул у моделі твердих сфер (м)
- \(p\) — абсолютний тиск газу (Па)
- \(\sigma = \pi d^{2}\) — переріз зіткнення (м²)
- \(n = p/(kT)\) — концентрація молекул (м⁻³)
Формула випливає з кінетичної теорії розрідженого газу: рухаючись, молекула «видмітає» об'єм зіткнення \(\sigma\) на кожну одиницю пройденого шляху, а множник \(\sqrt{2}\) враховує відносний рух молекул, що зіштовхуються.
Середня довжина вільного пробігу — приклад обчислення
Приклад: азот за кімнатної температури й атмосферного тиску (25 °C, 1 атм) з діаметром зіткнення 0,37 нм — це стандартні значення калькулятора.
\[ T = 25 + 273.15 = 298.15\ \text{К}, \quad p = 1\ \text{атм} = 101{,}325\ \text{Па}, \quad d = 0.37\ \text{нм} = 3.7\times10^{-10}\ \text{м} \]
\[ \sigma = \pi d^{2} = \pi \times (3.7\times10^{-10})^{2} = 4.30\times10^{-19}\ \text{м}^{2} \]
\[ \lambda = \frac{1.380649\times10^{-23} \times 298.15}{\sqrt{2} \times \pi \times (3.7\times10^{-10})^{2} \times 101{,}325} = \frac{4.116\times10^{-21}}{6.162\times10^{-14}} \]
Результат: \(\lambda \approx 6.68\times10^{-8}\) м ≈ 66,8 нм. Молекула азоту за кімнатних умов пролітає в середньому близько 67 нанометрів — приблизно 180 молекулярних діаметрів — перш ніж зіткнеться з іншою молекулою.
Як користуватися калькулятором
- Введіть температуру газу (T) і виберіть одиницю (°C, К або °F). Правильно використовуйте абсолютні температурні шкали — 25 °C автоматично перетворюється на 298,15 К.
- Введіть тиск (p) та його одиницю (атм, кПа, Па, бар, мм рт. ст./Тор або psi). Переконайтеся, що це абсолютний, а не надлишковий тиск.
- Введіть діаметр зіткнення (d) молекул у нм, пм або Å. Типові значення: N₂ ≈ 0,37 нм, O₂ ≈ 0,36 нм, Ar ≈ 0,34 нм, He ≈ 0,26 нм.
- Виберіть одиницю виводу в полі Показати середню довжину пробігу в — нанометри зручні для тисків, близьких до атмосферного, а мікрометри чи метри — для вакуумних умов.
- Отримайте середню довжину вільного пробігу (λ), її значення в усіх поширених одиницях довжини та покроковий хід обчислень.
Що таке середня довжина вільного пробігу?
Середня довжина вільного пробігу \(\lambda\) — це середня відстань, яку молекула газу пролітає між двома послідовними зіткненнями з іншими молекулами. У повітрі на рівні моря вона становить лише близько 70 нм — молекула зіштовхується мільярди разів на секунду. У камері високого вакууму той самий газ може мати середню довжину пробігу в сантиметри чи навіть метри: молекули здебільшого летять вільно, доки не вдаряться об стінки камери.
Значення визначають два конкуруючі чинники. Концентрація \(n = p/(kT)\) показує, наскільки «щільно заселений» газ: чим більше молекул на кубічний метр, тим коротші перельоти. Переріз зіткнення \(\sigma = \pi d^2\) показує, наскільки великою мішенню є кожна молекула. Об'єднавши їх, отримуємо \(\lambda = 1/(\sqrt{2}\,\sigma\,n)\), що еквівалентно формулі через тиск, яку використовує цей калькулятор.
Результат змінюється цілком інтуїтивно: зменшення тиску вдвічі подвоює \(\lambda\), підвищення температури за сталого тиску збільшує \(\lambda\) пропорційно, а подвоєння діаметра молекули скорочує \(\lambda\) учетверо, бо переріз зіткнення зростає як \(d^2\). Саме тому середня довжина вільного пробігу — ключовий параметр вакуумної техніки: вона визначає, чи тече газ як суцільне середовище, чи перебуває у вільномолекулярному (кнудсенівському) режимі.
Якщо ви хочете також дізнатися, з якою швидкістю молекули рухаються між цими зіткненнями, поєднайте цей результат із калькулятором швидкості молекул газу — ділення середньої швидкості на середню довжину пробігу дає частоту зіткнень.
Як інтерпретувати результат
Блок «В інших одиницях» також показує концентрацію молекул \(n\) і середню відстань між ними \(n^{-1/3}\). Корисна перевірка на здоровий глузд: середня довжина пробігу має бути значно більшою за діаметр молекули та за відстань між молекулами (для повітря це приблизно 180 таких відстаней). Якщо \(\lambda\) стає порівняною з розміром вашої установки, ви перебуваєте в режимі молекулярної течії, де поняття в'язкості та тиску суцільного середовища втрачають звичний зміст.
Інші властивості газу, які можна обчислити за допомогою наших інструментів, — це калькулятор густини газу та калькулятор закону Авогадро, що пов'язує кількість молекул з об'ємом за сталої температури й тиску.
Припущення та обмеження
- Модель твердих сфер: молекули вважаються жорсткими сферами одного діаметра. Реальні молекули взаємодіють через м'які далекодіючі потенціали, тому табличні діаметри зіткнення — це ефективні значення, які зазвичай підігнують за даними про в'язкість; розраховуйте на точність приблизно ±20%.
- Розріджений ідеальний газ: формула припускає \(\lambda \gg d\), тобто зіткнення — короткі парні події. Вона не працює для густих газів і поблизу конденсації; для густих чи неідеальних умов див. калькулятор рівняння Ван дер Ваальса.
- Однокомпонентний газ: передбачено один однаковий діаметр для всіх молекул. Для газових сумішей потрібно оцінити ефективний діаметр (наприклад, за даними про в'язкість суміші).
- Розподіл Максвелла — Больцмана: множник \(\sqrt{2}\) спирається на рівноважний розподіл швидкостей, який виконується за більшості практичних умов.
- Потрібен абсолютний тиск: манометр показує нуль за 1 атм, але фізика процесу залежить від абсолютного тиску. Нічого не віднімайте — якщо манометр показує 0 бар за атмосферного тиску, введіть ~1 атм, а не 0 (нульовий тиск усе одно не приймається).
Типові значення за 25 °C
| Тиск | λ для N₂ (d = 0,37 нм) | Режим |
|---|---|---|
| 1 атм (101 325 Па) | ≈ 67 нм | Суцільна течія |
| 1/100 атм ≈ 1 013 Па | ≈ 6,7 мкм | Перехідний режим |
| 1 Па | ≈ 6,8 мкм | Початок кнудсенівської течії |
| 10⁻⁶ атм (високий вакуум) | ≈ 6,7 см | Молекулярна течія |
Зверніть увагу, як швидко зростає λ зі зниженням тиску: за сталої температури десятикратне зменшення тиску збільшує середню довжину вільного пробігу вдесятеро.
Часті запитання
Як обчислити середню довжину вільного пробігу вручну, без калькулятора?
Спершу переведіть усе в одиниці СІ: температуру — у кельвіни, тиск — у паскалі, діаметр — у метри. Далі підставте значення в \( \lambda = kT/(\sqrt{2}\pi d^2 p) \). Для швидкої оцінки повітря на рівні моря за кімнатної температури запам'ятайте орієнтир \( \lambda \approx 68\ \text{нм} \) і масштабуйте його: помножте на \( T/298 \), поділіть на \( p/101325 \) (тиск у Па) і на \( (d/0.37\ \text{нм})^2 \). Такий прийом масштабування дає добре уявлення про відповідь ще до повних обчислень.
Яке типове значення середньої довжини вільного пробігу для повітря?
На рівні моря за 25 °C молекули повітря пролітають між зіткненнями приблизно 65–70 нм — це близько 180 молекулярних діаметрів. Точне значення дещо залежить від діаметра зіткнення, який ви приймете для ефективної суміші повітря (повітря складається переважно з N₂ та O₂, тож 0,37 нм — цілком розумне ефективне значення). На висоті 100 км тиск настільки низький, що середня довжина пробігу зростає до кількох сантиметрів і більше — саме тому під час входу космічних апаратів в атмосферу доводиться мати справу з фізикою газу поза межами моделі суцільного середовища.
Чому результат неправильний, коли я вводжу тиск у мм рт. ст., бар або psi?
Найпоширеніша помилка — введення надлишкового тиску замість абсолютного. Манометр шини, що показує 32 psi, насправді означає приблизно 46 psi абсолютних (32 + 14,7 атмосферних), а вакуумметр камери, який показує 0 бар за атмосферного тиску, насправді означає 1 атм. Інша пастка — плутанина одиниць: 1 мм рт. ст. (Тор) = 133,322 Па, а не 1 Па. Завжди перепитуйте себе, чи є показання абсолютним; якщо ні — додайте атмосферний тиск перед введенням.
Чи можна застосовувати цей калькулятор до газових сумішей, як-от повітря чи природний газ?
Лише приблизно. Формула передбачає один діаметр твердої сфери, тому для сумішей потрібен ефективний діаметр зіткнення. Практичний підхід — узяти середнє з діаметрів компонентів, зважене на мольні частки (для повітря, де домінують N₂ та O₂, це дає близько 0,37 нм). Для точних робіт виведіть ефективний діаметр із виміряної в'язкості суміші та розраховуйте на точність лише в межах приблизно ±20%.
Чим середня довжина вільного пробігу відрізняється від числа Кнудсена?
Середня довжина вільного пробігу \( \lambda \) — це властивість самого газу, а число Кнудсена \( Kn = \lambda/L \) порівнює її з характерним розміром \( L \) вашої системи, наприклад із діаметром труби. Коли \( Kn \ll 1 \), газ поводиться як суцільне середовище; коли \( Kn \gg 1 \) — маємо вільномолекулярну (кнудсенівську) течію, у якій молекули зіштовхуються переважно зі стінками, а не одна з одною. Спочатку обчисліть \( \lambda \) тут, а потім поділіть її на розмір вашої установки, щоб класифікувати режим течії.
Як знайти частоту зіткнень за середньою довжиною пробігу?
Поділіть середню швидкість молекул на середню довжину вільного пробігу: \( f = \bar{v}/\lambda \). Середня швидкість за статистикою Максвелла — Больцмана дорівнює \( \bar{v} = \sqrt{8kT/(\pi m)} \), де m — маса однієї молекули. Для азоту за кімнатних умов це дає приблизно 5×10⁹ зіткнень на секунду. Середню швидкість \( \bar{v} \) можна отримати калькулятором швидкості молекул, а потім використати λ із цього інструмента.
Чи залежить середня довжина вільного пробігу від того, чи газ одноатомний, чи двоатомний?
Безпосередньо — ні: у формулі фігурують лише температура, тиск і діаметр зіткнення, а не внутрішня будова молекули. Між газами змінюється лише ефективний діаметр: гелій (0,26 нм) менший за азот (0,37 нм), тому за однакових T і p середня довжина пробігу гелію приблизно вдвічі довша. Обертальні й коливальні моди двоатомних молекул впливають на теплоємність, але до виразу для середньої довжини пробігу в моделі твердих сфер вони не входять.